专题11 二次函数的实际应用（举一反三）（原卷版）

专题11二次函数的实际应用

二次函数的实际应用

类型1利润最值问题AW..........................

［方法点拨】二次函数的实际应用中求利泗最值的解题思路：

1.求最大利泗就是求二次函数在自变量取值范围内的最大值；

2.根据题意，列出关于自变量的二次函数表达式,并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值应困；

3.用顶点式表示出二次函数表达式，通常函数值在顶点处或自变量取值范围内的两端点处取最大（小）值，根

据函数图象的增减性进行判断即可.

【例1】（2021•宝应县一模）某商店销售进价为30元/件的某种商品，在第x（lWxW90）天的售价与销最

的相关信息如下表:

时间X（天）1«50500W90

售价（元/件）A+4090

每天销量（件）200-2A

设销售商品的每天利润为），元.

（1）求出y与工的函数关系式；

（2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?

（3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠。元（〃>0）给贫困地区，在销售的前50天内该商店当日

最大利润为5832元，求〃的值.

【变式1-1］（2021•龙港市一模）温州某商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段

时间内，该商品的口销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如下表.

售价（元/件）455060

日销售量（件）11010080

（1）求），关于人-的函数表达式.

（2）求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少元.

（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖小元（w>0）,要想在日销售里不少丁68

件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与伐价仍然满足（1）中的函数关系，求小的值.（每件

销售利润=售价-进价）

【变式1・2】（2021•江岸区模拟）某网店经营一种热销小商品，每件成本10元，经过调研发现，这种小商

品20天内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间，（天）之间的函数关系为2=20+。（其中I

W/W20,1为整数），且其日销售量y（件）与时间，（天）的关系如表.

时间，（天）159131721

日销售量），（件）989082746658

（1）已知），与，之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间/（天）函数关系式；

（2）在20天的销售中，第几天的销售利润最大？最大日俏售利润为多少？

（3）在实际俏售的20天中，该网店每销售一件商品就捐赠。元（。为整数）利润给“精准扶贫”的对

象，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间天）的增大而增大，求a

的最小值.

【变式1-3］（2020♦海宁市一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价

格开始上涨.如图1,前四周该蔬菜每周的平均销售价格），（元/依）与周次x（x是正整数，lWx<5）的

关系可近似用函数）=|叶。刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y

（元/奴）从第5周的6元/依下降至第6周的5.6元/必，y与周次x（5WxW7）的关系可近似用函数y=

一书”2+bx+5刻画.

（I）求a,b的值.

（2）若前五周该蔬菜的销售量，〃（kg）与每周的平均销售价格y（元伙g）之间的关系可近似地用如图2

所示的函数图象刻画，第6周的销伐最与第5周相同：

①求m与y的函数表达式；

②在前六周中，哪•周的销售额3（元）最大？最大销售额是多少？

（3）若该蔬菜第7周的销售量是100依，由于受降雨的影响，此种蔬菜第8周的可销售量将比第7周减

少a%（a>0）.为此，公司又紧急从外地调运了5伙此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬

菜笫8周的销售价格比第7周仅上涨。.8“％.若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周

刚好持平，请通过计算估算出〃的整数值.

类型2抛物线形问题AV\............................

【方法点拨】在解答抛物线形问题时，求出函数的解析式是关键.若没有抛物线的函数解析式，则一般要先正

确建立平面直角坐标系，将题中的特殊位置转化为相应点的坐标，往往最高（低）点为抛物线的顶点.

【例2】（2021♦镇海区模拟）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面。处将球踢出，一运动员在离守门

员8米的A处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点M,球落地后又一次弹起.据实验测算，足

球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少

到原来最大高度的一半.

（I）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点/，和守门员（点O）的距离；

（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C,他应再向前跑多少米？（假设点。、A、8、C在同一条直线

上，结果保留根号）

【变式2-1］（2021•嘉善县一模）己知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员

接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即A8=0.4米，球的运动路线是抛物线的--部分，当球的水

平移动距离8c为6米时，球恰好到达最高点。，即CO=4.4米.以直线8c为x轴，以直线A8为），轴

建立平面直角坐标系（如图2）.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；

（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退〃?米后接球射门，击球点为4（如图3）,请直接写出

力的取值范围.

【变式2-2］（2021•海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OA8C构成.矩形一边QA的长

是12〃?，另一边OC的长是1也.抛物线上的最高点。到地血04的距离为7〃?.以。4所在直线为x轴，

以OC所在直线为），轴，建立平面直角坐标系.

（I）求该抛物线所对应的函数表达式.

（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5〃?，求两

排灯之间的水平距离.

（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于以〃的空

隙.现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2加处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度.

【变式2-3］（2020•绍兴）如图1,排球场长为18〃?，宽为9〃?，网高为2.24〃?，队员站在底线。点处发球,

球从点。的正上方19”的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时,高度为2.88”

即8A=2.88小，这时水平距离。8=7加，以直线08为x轴，直线OC为），轴，建立平面直角坐标系，如

图2.

（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度），（〃力与水平距离x（，加之间的函数

关系式（不必写出x取值范围）.并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由.

（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1,点P距底线1加，边线0.5加，问发球点

。在底线上的哪个位置？（参考数据：V2®1.4）

【方法点扰】与几何图形面积有关的二次函数实际应用题的解题步骤：

在解与几何图形面积有关的二次函数实际应用题时，先设一边长为X,再根据题中条件，用含X的代数式表示

出相关线段的长，根据周长、面积公式可列出函数表达式，再根据二次函数的性质求解.另夕卜，实际问题中的

函数，自变量的取值危国往往受到限制，这时对应的函数图象应是抛物线的一部分.

【例31（2020•连云区二模）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总

长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设

BC的长度为x米，矩形区域A8C。的面积为y米2.

（I）求证：AE=2BE-

（2）求），与工之间的函数关系式，并写出自变最x的取值范围；

（3）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【变式3-1］（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为〃米的墙，现准备用20米

的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开.小俊设计了如图甲和乙的两种方案：

方案甲中AO的长不超过墙长；方案乙中AO的长大于墙长.

（I）若。=6.

①按图甲的方案，要围成面枳为25平方米的花圃，则A。的长是多少米?

②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？

（2）若0VaV6.5,哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由.

a

A

B

图乙

【变式3-2]（2021•富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足

券长），用28〃?长的篱笆围成一个矩形花园ABCO（篱笆只围AB,8C两边），设花园的面

积为Snr.

（I）若花园的面积为192m2,求x的值;

（2）写出花园面积S与▲•的系数关系式.工为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？

（3）若在P处有一棵树与墙CD,A。的距离分别是a（14W0W22）和6〃?，要将这棵树围在花园内（含

边界，不考虑树的粗细），设花园面积S