第八章 立体几何初步 单元测试（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步单元测试一、单选题1．如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是（

）A．相交直线 B．异面直线C．平行直线 D．相交或异面直线2．已知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列说法正确的是（

）A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形B．以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥C．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台D．空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球4．A，B，C为空间三点，经过这三点()A．能确定一个平面B．能确定无数个平面C．能确定一个或无数个平面D．能确定一个平面或不能确定平面5．如果直线，与平面满足，那么必有（

）A．和 B．和C．且 D．和6．下列命题正确的是（

）A．与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直B．过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行C．正四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合D．各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥7．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形.其中正确的结论是（

）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④8．如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=A．8 B．9 C．10 D．11二、多选题9．下列关于圆柱的说法中，正确的是（

）（多选）A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的面所围成的几何体是圆柱10．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．如图为正方体，下列说法中正确的是（

）A．三棱锥为正四面体B．与互为异面直线且所成的角为C．与互为异面直线且所成的角为D．与互为异面直线且所成的角为三、填空题12．称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，已知圆柱的轴截面是正方形，且面积为，则圆柱的母线长为，底面面积为.13．若一个圆柱的轴截面是面积为的正方形，则该圆柱的表面积为．14．将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为.四、解答题15．我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？你能从生活中的哪些例子中找到启发？16．用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图.17．如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点．求异面直线AN，CM所成角的余弦值．18．如图，在长方体中，E，F，G分别为，，DC的中点，．求证：(1)平面；(2)平面平面．19．求证：如果两条行直线中的一条线垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.《第八章立体几何初步单元测试》参考答案题号12345678910答案DBADACBAABDABD题号11答案ACD1．D【分析】根据空间两条直线的位置关系可得答案.【详解】如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是相交直线、异面直线，不可能是平行直线.故选：D.2．B【分析】由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断.【详解】“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件.故选：B3．A【分析】对于A，根据棱柱的定义可判断；对于B，以直角三角形的斜边为旋转轴；对于C，用垂直于底面的平面去截圆锥；对于D，由球的定义可判断.【详解】解：对于A，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，得棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故A正确；对于B，以直角三角形的斜边为旋转轴，旋转所得的旋转体不是圆锥，故B不正确；对于C，用垂直于底面的平面去截圆锥，得到的是不是一个圆锥和一个圆台，故C不正确；对于D，空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球面，而不是球体，故D不正确，故选：A．4．D【分析】分类讨论，A，B，C三点共线和A，B，C三点不共线分别判断.【详解】由于题设中并没有指明这三点之间的位置关系，所以在应用公理2时要注意条件“不共线的三点”．当A，B，C三点共线时，经过这三点就不能确定平面，当A，B，C三点不共线时，经过这三点就可以确定唯一一个平面．故答案为：D5．A【解析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理判断即可.【详解】故选：A【点睛】本题考查了空间中的平行、垂直关系，考查了学生逻辑推理和空间想象能力，属于中档题.6．C【分析】由线面垂直的定义可判断A；由平行公理可判断B；证明正四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合可判断C；举反例可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：与平面任意一条直线都垂直的直线与该平面垂直，故选项A不正确；对于B：过直线外一点可以作一数条直线与该直线平行，故选项B不正确；对于C：如图为棱长为的正四面体，设的中心为，连接，则面，设正四面体外接球的球心为，则点在上，如图，则，因为，所以四个小三棱锥，三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥全等，所以四个小三棱锥体积相等，因为四个等边三角形作为底面且面积相等，所以点到四个面的距离相等，所以外接球的球心为也即是内切球的球心，故选项C正确；对于D：如图：三棱锥中，，，两两垂直且相等，则，可满足各面都是等腰三角形，但不是正三棱锥，故选项D不正确，故选：C.7．B【解析】正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，从而将问题转化为过正方体中心，作正方体的截面问题.【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，过正方体的一条棱和中心可作截面，截面形状可以是矩形，所以②是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以④是正确的；过正方体的中心的平面截正方体得到的截面不可能是三角形和五边形，故选：B.【点睛】本题考查在正方体中作截面问题、考查实践操作能力、空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.8．A【分析】因为过EF做垂直于CD（AB）的平面垂直平分CD，所以该平面与过AB中点并与AB垂直的平面平行，平面和正方体的4个侧面相交，由于EF和正方体的侧棱不平行，所以它与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.同理与CE相交的平面有4个，共8个，故选：A.考点：该题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查空间直线与平面的平行与相交，考查空间想象能力和逻辑思维能力.【详解】9．ABD【解析】根据旋转体的定义，判断正确；由圆柱的结构特征，可判断正确，错误.【详解】用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，故C错误，显然A，B，D正确.故选:ABD.【点睛】本题考查圆柱的定义以及结构特征，属于基础题.10．ABD【解析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A：，、不一定平行，错误.B：，n不一定垂直于，错误.C：由线面垂直的性质：，则必有，正确.D：，m、n不一定平行，错误.故选：ABD11．ACD【分析】根据三棱锥各条棱相等即可判断A；连接，可知与所成角即为与所成角，求出即可判断B；可知即为与所成角，求出可判断C；由平面可判断D.【详解】对于A，因为三棱锥的各条棱都是正方体表面正方形的对角线，即各条棱相等，故三棱锥为正四面体，故A正确；对于B，连接，可知在正方体中，，所以四边形是平行四边形，所以，因为，故异面直线与所成角为，故B错误；对于C，由图可得与互为异面直线，连接，易得四边形是平行四边形，则，则即为所成角，由是等边三角形可得，故C正确；对于D，由图可知与互为异面直线，因为在正方体中，平面，且平面，故，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查异面直线的判断和异面直线所成角的求解，属于基础题.12．2cm【分析】根据圆柱轴截面的性质，结合正方形的面积公式，可得线段长，根据圆的面积公式，可得答案.【详解】由正方形的面积公式，可得其边长为，即圆柱的母线长为，且底面圆的直径为，则面积为.故答案为：；13．【分析】设圆柱的底面半径为，母线长为，分别计算出底面积和侧面积，即可出表面积.【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，因为，所以．所以．所以．故答案为：14．【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h，底面半径为r，用r表示h，从而求出圆柱侧面积的最大值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h，底面半径为r，则，解得；所以；当时，取得最大值为故答案为：.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.15．答案见解析【详解】不在同一条直线上的三点；三条腿的凳子比四条腿的凳子在凹凸不平的地面上更稳定等.16．见解析【分析】根据斜二测画法的规则，在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，进而得到正方体的直观图，得到答案.【详解】如图所示：在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，擦除坐标轴，即可得到直方图的直观图.

【点睛】题主要考查了空间几何体的的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则，同时注意“一变两不变”的原则是解答此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，属于基础题.17．【分析】连结，取的中点，连结，推导出异面直线，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出结果．【详解】连结，取的中点，连结，则，是异面直线，所成的角，，，，又，，，异面直线，所成的角的余弦值为．18．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)如图，根据题意和中位线的性质和长方体的特征可得四边形是平行四边形，，进而得出，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)根据题意和中位线的性质和长方体的特征可得四边形CGFH是平行四边形，，进而得出，结合(1)与面面平行的判定定理即可证明.【详解】（1）如图，取的中点H，分别连接FH，，因为F、H分别是的中点，所以且，在长方体中，E是的中点，则且，所以且，所以四边形是平行四边形，故，又平面，所以平面；（2）因