拓扑考试题及答案

拓扑考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设X是拓扑空间，A⊂X，则A的闭包等于（）A.A的内部的闭包B.A的边界与A的内部的并C.A的导集与A的并D.A的外部的补集答案：C2.拓扑空间X到Y的映射f连续当且仅当（）A.Y的开集在f下的原像为X的开集B.X的开集在f下的像为Y的开集C.Y的闭集在f下的原像为X的闭集D.X的闭集在f下的像为Y的闭集答案：A3.在实数空间R中，有理数集Q的内部是（）A.RB.QC.∅D.{0}答案：C4.设X={a,b,c}，拓扑T={∅,{a},{a,b}}，则点b的邻域系中最小的邻域是（）A.{a,b}B.{b}C.XD.∅答案：A5.拓扑空间X中，若A是连通子集，B是A的子集，则（）A.B一定是连通子集B.B一定不是连通子集C.B连通当且仅当A=BD.B连通当且仅当B是A的闭包的子集答案：A6.设X和Y是拓扑空间，f:X→Y是同胚映射，则（）A.X和Y的拓扑结构相同B.X的开集一定是Y的开集C.Y的闭集一定是X的闭集D.f(X)=Y且f是双射答案：A7.下列拓扑空间中，可度量化的是（）A.平凡拓扑空间（X，{∅,X}）B.离散拓扑空间C.Sorgenfrey直线D.有限补拓扑空间（X，T），其中X是无限集答案：B8.设X是拓扑空间，A⊂X，如果A既是开集又是闭集，则（）A.X是连通空间B.A=∅或者A=XC.X一定是离散拓扑空间D.A的边界为空集答案：B9.在拓扑空间X中，子空间拓扑是（）A.使得包含映射连续的最细拓扑B.使得包含映射连续的最粗拓扑C.与X的拓扑结构完全相同的拓扑D.由X的闭集族生成的拓扑答案：B10.设X是拓扑空间，A⊂X，x∈X，如果x的任意邻域与A-{x}都相交，则（）A.x是A的内点B.x是A的外点C.x是A的边界点D.x是A的聚点答案：D二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列哪些是拓扑空间的性质（）A.可分性B.紧致性C.连通性D.正则性E.完全正则性答案：ABCDE2.设X是拓扑空间，以下关于闭集的说法正确的是（）A.有限个闭集的并是闭集B.任意个闭集的交是闭集C.闭集的补集是开集D.空集和X本身是闭集E.闭集一定是有界集答案：ABCD3.设f:X→Y是拓扑空间之间的映射，则下列条件能保证f连续的有（）A.对于Y的任意子基中的元素V，f-1(V)是X的开集B.对于Y的任意开覆盖{Uα}，{f-1(Uα)}是X的开覆盖C.对于Y的任意闭集C，f-1(C)是X的闭集D.存在X的开集族{Uβ}和Y的开集族{Vβ}，使得f(Uβ)=Vβ且{Uβ}覆盖XE.对于X的任意开集U，f(U)是Y的开集答案：ABC4.下列拓扑空间中，是连通空间的有（）A.实数空间RB.单位区间[0,1]C.两个不相交的开区间的并D.圆周S1E.平面R2去掉一个点答案：ABD5.设X是拓扑空间，A⊂X，A的边界∂A满足（）A.∂A是闭集B.∂A=A-A°C.∂A=A的闭包-A的内部D.∂A∩A°=∅E.∂A=∂(X-A)答案：ACDE6.关于拓扑空间中的紧致性，下列说法正确的是（）A.紧致空间的闭子集是紧致的B.紧致空间的连续像是紧致的C.有限个紧致空间的积空间是紧致的D.实数空间R中的闭区间是紧致的E.紧致空间一定是有界的答案：ABCD7.设X是拓扑空间，下列关于同胚的说法正确的是（）A.同胚是一种等价关系B.同胚映射保持拓扑性质C.若X和Y同胚，则X和Y的基数相同D.若X和Y同胚，则X的开集和Y的开集一一对应E.若X是可度量化的，Y与X同胚，则Y也是可度量化的答案：ABCDE8.设X是拓扑空间，A⊂X，下列关于A的聚点的说法正确的是（）A.A的聚点可能属于A也可能不属于AB.A的所有聚点组成的集合是闭集C.若A是闭集，则A包含其所有聚点D.若A是开集，则A没有聚点E.若x是A的聚点，则存在A中的序列收敛到x答案：ABC9.下列关于拓扑基的说法正确的是（）A.拓扑基的元素都是开集B.由拓扑基生成的拓扑是唯一的C.拓扑空间X的任意开集都可以表示为拓扑基中元素的并D.拓扑基中的元素个数一定是有限的E.若B1和B2是X的拓扑基，则B1∪B2也是X的拓扑基答案：ABC10.设X是拓扑空间，以下关于子空间的说法正确的是（）A.子空间的开集是原空间开集与子空间的交B.子空间的闭集是原空间闭集与子空间的交C.子空间的拓扑结构依赖于原空间的拓扑结构D.若原空间是可度量化的，则子空间也是可度量化的E.若原空间是连通的，则子空间一定是连通的答案：ABCD三、判断题（每题2分，共10题）1.拓扑空间中的开集一定是无限集。（×）2.离散拓扑空间中任意子集都是既开又闭的。（√）3.若拓扑空间X是连通的，则X中不存在既开又闭的非空真子集。（√）4.设f:X→Y是拓扑空间之间的映射，若X是紧致空间，Y是Hausdorff空间，则f是闭映射。（√）5.拓扑空间X中，A⊂X，A的内部的闭包一定等于A的闭包的内部。（×）6.若X是拓扑空间，A⊂X，A的导集一定是闭集。（√）7.在任意拓扑空间中，紧致集一定是闭集。（×）8.设X是拓扑空间，A⊂X，若A是道路连通的，则A是连通的。（√）9.平凡拓扑空间一定是可度量化的。（×）10.设X是拓扑空间，A⊂X，若A的边界为空集，则A是开集或者A是闭集。（√）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述拓扑空间中连通性的定义。答案：拓扑空间X称为连通的，如果X不能表示为两个非空的不相交开集的并。2.什么是拓扑空间中的同胚映射？答案：设X和Y是拓扑空间，映射f:X→Y称为同胚映射，如果f是双射且f和f-1都是连续的。3.简述拓扑空间中紧致性的定义。答案：拓扑空间X称为紧致的，如果X的每一个开覆盖都有有限子覆盖。4.定义拓扑空间中集合A的导集。答案：设X是拓扑空间，A⊂X，A的导集是由A的所有聚点组成的集合。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论拓扑空间中可分性与第二可数性之间的关系。答案：可分性是指存在可数稠密子集，第二可数性是指存在可数拓扑基。第二可数空间一定是可分的，但可分空间不一定是第二可数的。2.讨论在拓扑空间中，闭集与紧致集的关系。答案：在一般拓扑空间中，紧致集不一定是闭集（如某些非Hausdorff空间），闭集也不一定是紧致集。但在Hausdorff空间中，紧致