第5章 分式（优等类型）-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

思维导图第5章分式思维导图【类型覆盖】类型一、分式与分式方程的新定义运算【解惑】设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式：①；②；③；④；成立的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】此题考查了分式的化简，各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可．【详解】解：①根据新定义得，，，∵，∴，即，故①不成立；②，，∵，∴，故②不成立；③，，∴，故③成立；④，，∵，∴．综上，成立的有③．故选：A．【融会贯通】1．定义：．已知，，则（

）A． B．8 C． D．32【答案】B【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可．【详解】解：∵∴，∴故选：B2．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为．【答案】【分析】本题考查了分式的运算，涉及到分式有意义的条件的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据新定义，对原分式进行化简整理得到为整数，则可得到，解得或，结合分式分式有意义条件，可得到．【详解】解：•，∵分式的值为整数，∴2的值为整数，∴的值为整数，∴，∴或，∵当时，分式无意义，∴．故答案为：．3．对于实数，，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是．【答案】【分析】此题考查了实数的新定义运算和解分式方程．根据新定义得到，解方程并检验即可．【详解】解：，，，，解得：，经检验，是分式方程的解，故答案为：．类型二、分式方程的解为参数【解惑】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】C【分析】本题考查了解分式方程，由分式方程解的情况求参数，先解分式方程，得，由分式方程的解为正数，得，即得，再根据分式的分母不等于，得，即得，据此即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．【详解】解：方程两边乘以，得，∴，∵分式方程的解为正数，∴，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是且，故选：．【融会贯通】1．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是非负数得，由，得，计算可得答案．此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．【详解】解：，∴，得，∵分式方程的解是非负数，∴，即，得，∵，∴，得，∴且，故选：C．2．若关于x的方程的解为正数，则的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，根据“原分式方程的解”和“解是正数”建立关于的不等式是解题的关键．先解关于的分式方程，它的解用含量的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于的不等式，求解即可．【详解】解：，解得：，∵原分式方程有解，∴，即，解得：，∵方程的解是正数，∴，解得：，∴且，故答案为：且．3．若关于的分式方程有正数解，求的取值范围．【答案】且【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．解分式方程得到，结合已知可得，同时注意，分式方程中，，所以，则可求的取值范围．【详解】解：分式方程两边同时乘以，得，整理，得，解得，方程有正数解，，，解得，，，，∴且，的取值范围是且，故答案为：且．类型三、分式方程的解为整数【解惑】关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（

）A．15 B．17 C．22 D．28【答案】B【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解．【详解】解：，去分母得：，去括号得：，移项得：，系数化为1得：，∵，且为整数，为整数，∴∴可取，，，∴的可能取值的和为，故选：B．【融会贯通】1．已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键．【详解】解：方程两边同时乘以得，，解得，∵方程有整数解，且，∴整数，，，又∵，∴，∴，∴满足条件的整数的值为，，∴所有满足条件的整数的和为，故选：．2．若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有个．【答案】3【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．【详解】解：解分式方程得且，∵分式方程的解为整数，∴的值为或，解得m的值为，，，共3个．故答案为：3．3．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为．【答案】【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．先解关于的方程，表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．【详解】解：，去分母得：，移项合并得：，解得：，由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，解得：或当时，．当时，，原方程分母为0，原方程无解．∴．故答案为：．类型四、分式方程的解为无解【解惑】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值．【详解】解：去分母，得，∵关于x的分式方程有增根，∴是分式方程的增根，当时，，解得；当时，，解得；∴或，故选：A．【融会贯通】1．若分式方程无解，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．关于x的分式方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即，据此即可求解．【详解】解：，去分母得：，解得：，分式方程无解，，，，解得：故选：A2．若关于x的分式方程无解，则a的值为．【答案】0或【分析】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，建立关于a的方程，求解即可．【详解】解：方程去分母得，，．如果原分式方程无解，那么分两种情况：①当时，方程无解，所以分式方程无解；②，解方程，得，当分母即时原分式方程无解．由，得．经检验，符合题意，故当或时，分式方程无解．故答案为：0或．3．当时，解关于的方程会产生增根．【答案】【分析】此题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的计算方法是解题的关键；增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【详解】解：去分母得：解得：；因为关于的方程会产生增根，则增根为，故，解得：；故答案为：类型五、分式方程的应用——利润问题【解惑】2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元？【答案】钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”列方程求解即可．【详解】解：设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据题意，得，解得，经检验，是所列方程的解，且符合实际，∴（元），答：前期电话询问时，钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元．【融会贯通】1．孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元．(1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？(2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值．【答案】(1)康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元(2)m的值为5【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程或方程组．（1）设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，根据“购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程组，即可解得答案；（2）根据“节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍”可列分式方程求解即可．【详解】（1）解：设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，由题意，得：，解得：，答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元．（2）解：依题意得：，解得：，经检验，是方程的解且符合题意，答：m的值为5．2．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒挂件的个数恰好与用360元购进敖丙挂件的个数相同．求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元．【答案】该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，数丙挂件的单价是9元．【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元，根据用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同，列出分式方程，解方程即可【详解】解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进数丙挂件的单价是元，由题意，得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，．答：该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，数丙挂件的单价是9元．3．某商场用3000元购进一批商品，售完后，第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件．(1)求该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格；(2)若该商场两次购进的商品售价均为70元，且全部售完，求两次售出这种商品的总利润．【答案】(1)该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为元(2)两次售出这种商品的总利润为元【分析】本题考查分式方程的实际应用，正确的列出分式方程是解题的关键：（1）设第一次购进这种商品时每件商品的价格为元，根据第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件，列出方程进行求解即可；（2）根据总利润等于总售价减去总成本，列出算式进行计算即可．【详解】（1）解：设第一次购进这种商品时每件商品的价格为元，由题意，得：，解得：；经检验是原方程的解，∴；答：该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为元；（2）由（1）可知，第一次购进商品件，第二次购进商品件，∴（元）；答：两次售出这种商品的总利润为元．类型六、分式中的倒数法【解惑】【阅读理解】已知，求的值．解：由已知可得，则，．①，②．（1）第②步运用了______公式；（A．平方差

B．完全平方）【类比探究】（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值．【答案】（1）B；（2）【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解；【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式，故答案为：B（2）由已知可得，则，∴，即，∵，∴【融会贯通】1．阅读下面的解题过程：已知，求的值．解：由知，所以，即所以：所以的值为．该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)拓展：已知，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题．（1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答；（2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得；（3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得．【详解】（1）解：∵，可知，∴，∴，∴；（2）解：∵，可知，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，，，可知，∴，，，∴，，，∴，∴，∴．2．阅读下面的解题过程：(1)感知：已知，求的值．解：由知，所以，即所以：所以的值为__________．该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：(2)应用：求，求的值；(3)拓展：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路．（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案；（2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案；（3）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案．【详解】（1）解：∵，且，∴，即∴∴；（2）解：∵，且，∴，∴，∴；∴．（3）解：∵，且∴∴∵∴．3．阅读下列解题过程：已知，求的值．解：由，知，所以，即．∴．∴的值为7的倒数，即．以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：(1)已知，则_________．(2)解分式方程组：(3)已知，，，求的值．【答案】(1)3；(2)；(3)．【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，解分式方程，倒数，理解例题的思路是解答本题的关键．（1）已知等式变形求出的值即可；（2）由，解此方程组即可得解；（3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】（1）解：由，得到，∴，∴，故答案为：3；（2）解：由得∴，得，∴，把代入得，∴，经检验，，是原方程的解，∴原方程组的解为；（3）解：∵，，，∴，，，∴，∴．类型七、分数的裂项【解惑】；；；…(1)根据上面个等式存在的规律写出第个等式；(2)用含的代数式表示出第个等式，并证明．【答案】(1)；(2)，证明见解析．【分析】（）根据前个等式特点写出第个等式；（）根据第（）结论归纳出第个等式的规律；此题考查了数字的变化规律，分式的运算，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解题的关键．【详解】（1）解：；；；∴第个等式；（2）解：；；；；第个等式；证明：左边右边．【融会贯通】1．读读做做：教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律．，，…(1)用正整数n表示这个规律，并加以证明；(2)问题解决一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)不能倒完，理由见解析【分析】本题考查了数字的变化规律、分式混合运算的应用，熟练掌握裂项相消是解答本题的关键．（1）根据发现的规律写出一般规律并验证即可；（2）根据题意，先求出倒出水总量的代数式，进行化简得到，说明不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1．【详解】（1）解：规律：，证明：右侧左侧，，等式成立．（2）解：不能倒完，理由：根据题意，得到次水倒出的总和为：不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1，这1升水倒不完，2．观察下面的变形规律：，解答下面的问题：(1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想．(2)计算：．(3)解关于n的分式方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了数字的变化规律类问题，探寻数列规律认真计算观察联想是解决这类问题的关键．（1）根据已知的算式拆项计算得出即可；（2）先根据得出的规律拆项展开，再合并，最后求出即可；（3）先根据得出的规律拆项展开，再合并，最后解方程即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）原式，故答案为：；（3）经检验是原方程的解．∴．3．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题：，，，(1)计算______；(2)探究______；（用含有的式子表示）(3)灵活利用规律解方程：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程：（1）根据题意得到原式，据此求解即可；（2）根据题意可得规律，据此裂项求解即可；（3）根据（2）的规律可得原方程为，据此解分式方程即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：，，，，以此类推，可得，∴，故答案为：；（3）解：由题意得，∴，∴，解得，经检验，是原方程的解，∴原方程的解为．类型八、分式与分式方程的规律【解惑】观察下列各个式子：，按照以上规律，解决下列问题：(1)________________；(2)________________（用含的式子填空），并证明该等式．【答案】(1)，(2)，，证明见解析【分析】（）根据已知等式写出式子即可；（）根据分式的运算法则对等式的右边进行化简即可求证；本题考查了数字规律变化问题，分式的运算，由已知等式找到变化规律是解题的关键．【详解】（1）解：由已知等式可得，，故答案为：，；（2）解：．证明：∵，∴，故答案为：，．【融会贯通】1．观察下列等式：①；②；③；④．按上述规律，回答以下问题：(1)用含n（n为正整数）的代数式表示第个等式：______；(2)______．【答案】(1)；(2)【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，正确找出数字的变化规律是解题的关键．（1）根据数字的变化规律得到；（2）根据数字的变化规律得到．【详解】（1）解：根据式子的变化规律得，故答案为：；（2）解：，故答案为：．2．下面是一些方程和它们的解．的解为，；的解为，；的解为，；……根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：(1)的解为_______；(2)关于x的方程的解为_______；(3)关于x的方程的解为_______．【答案】(1)，；(2)，；(3)，．【分析】本题考查了解分式方程．（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是；故答案为：；（2）解：猜想关于x的方程的解是，；故答案为：，；（3）解：方程变形得：，∴，可得或，解得：，．3．先阅读下面的材料，然后回答问题：阅读材料一：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，；…阅读材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．如：；再如：．(1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________；(2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________；(3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】本题考查了分式方程求解，读懂材料并且灵活运用是解题关键．（1）根据材料一的规律直接得出答案即可；（2）根据材料一的规律可得，结合已知，即可得出结果；（3）根据材料一的规律可得，进一步求出结果即可．【详解】（1）解：根据上面材料一的规律，可知x的方程的解是，，故答案为：，；（2）根据材料二：，，即，，，，故答案为：，；（3），，即，，，解得：．类型九、分式与分式方程的新定义应用【解惑】在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题．(1)已知，①求m，n的值；②若，，求的值．(2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求m，n的值和常数k．【答案】(1)①；②(2)【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键：（1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可；（2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可．【详解】（1）解：①∵，∴，∴；②∵，，∴，两式相乘可得：，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵为正整数，为常数，为任意非零有理数，∴；综上：．【融会贯通】1．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．(1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）；(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值．【答案】(1)①③④(2)(3)【分析】本题主要考查新定义运算，分式的混合运算法则，理解“和谐分式”的定义，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．（1）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可；（2）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可；（3）先根据分式的混合运算法则先化简得，再根据该式的值为整数，得到或，最后根据分式有意义的条件得到，由此即可求解．【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”；②，不属于“和谐分式”；③，属于“和谐分式”；④，属于“和谐分式”；∴属于“和谐分式”的是①③④，故答案为：①③④；（2）解：．（3）解：．∵该式的值为整数，∴或，解得或或1或．又∵，∴，∴．2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______________（填序号）．①；②；③；④．(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．(3)应用：先化简，并回答取什么整数时，该式的值为整数?【答案】(1)①③④(2)(3)时，该式的值为整数．【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题的关键．（1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；（2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答；（3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答．【详解】（1）解：①；②；③；④；上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④，故答案为：①③④；（2）解：．（3）解：，当或时，分式的值为整数，，0，或，分式有意义时，，，，，，时，该式的值为整数．3．【阅读材料】材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再将剩余的部分写成一个真分数．例如：．材料2：类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：；材料3：为了研究字母和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：－4－3－2－101234－1无意义1【学以致用】请根据上述材料完成下列问题：(1)将下面的分式写成一个整式与一个真分式的和的形式：______；______；(2)当时，随着的增大，分式的值______（填“增大”或“减小”）；(3)当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由；(4)请你将写成一个整式与一个真分式的和的形式．【答案】(1)，(2)减小(3)3，理由见解析(4)【分析】本题主要考查了分式的化简以及有关运算，解题关键是理解已知条件中的真假分式的定义．（1）把所求分式分别写成分子和分母相同的分式与另一个分式的形式，再把分子和分母相同的分式写成整式即可；（2）根据（1）中的结果，先判断分式的增减性，从而判断真分式的增减性即可；（3）把分式写成整式与真分式和的形式，然后根据所写分式的增减性，从而进行判断即可；（4）分式分子的前两项当作分子，把分式写成分母是的两个分式相加，把第一个分式约分，第二个分式写成整式与真分式和的形式，再进行化简即可．【详解】（1），，故答案为：，；（2），是随的增大而减小，是随的增大而减小，故答案为：减小；（3）分式的值无限趋近3，理由如下：，随着的增大，越来越小，无限趋近于0，随着的增大，分式的值无限趋近3；（4），．类型十、分式的加减应用【解惑】我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则．反之亦成立．本题中因为，所以．(1)如图1是边长为的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为．①用含的代数式分别表示_____，_____；②比较_____（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)已知两个等腰直角三角形（和）边长分别为和如图4放置在一起，连结．如果点是线段的中点，连结、．请比较与的面积大小．(3)甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作．甲队有一半时间每天维修公路千米，另一半时间每天维修公路千米，乙队维修前1千米公路时，每天维修千米；维修后1千米公路时，每天维修千米．问甲、乙两队哪队先完成任务？【答案】(1)①；②＜(2)(3)甲队【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键．（1）①根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值；②然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可；（2）根据和表示三角形的面积，然后运用比差法解题即可；（3）表示出甲、乙队完成任务的时间，然后运用比差法解题即可．【详解】（1）解：①，，②，∴；故答案为：，；；（2）解：，，，，，，（3）解：甲队完成任务需要的时间，乙队完成任务需要的时间，，，，，，，，，，甲队先完成任务．【融会贯通】1．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式，的大小，作差，若，则；若，则；若，则．【方法应用】（1）若，试比较与的大小；【解决问题】（2）小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？我们不妨设原有糖水克，其中含糖克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢？【答案】（1）；（2）见解析【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据题意得，又，则，进而可以判断得解；（2）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，，可得，进而可以判断得解．【详解】解：（1）；∵，∴∴，∴；（2）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为．，又∵，，，，∴，∴∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜．2．【知识背景】（1）比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．例如：比较代数式，的大小，若，则；若，则；若，则．【知识探究】（2）已知，，当时，比较与的大小，并说明理由．【迁移运用】（3）司机甲每次给自己私家车加300元的油（油箱未加满），而司机乙每次都把私家车油箱直接加满．现实生活中油价经常变动，假设两人第一次加油时的油价为元/升，第二次加油时的油价为元/升，其中．①司机甲两次加油的平均单价为______元/升，司机乙两次加油的平均单价为______元/升；（用含，的代数式表示，结果需化简）②请通过计算判断，司机甲和司机乙的两种不同的加油方式中，谁的平均单价更低？【答案】（2），理由见解析；（3）①，；②司机甲两次加油的平均单价更低【分析】本题考查了列代数式，分式的减法，能根据题意用含，的代数式分别表示出两个司机加油的平均单价及理解“作差法”是解题的关键．（2）根据题中所给“作差法”进行计算即可．（3）①根据加油量费用油的单价，平均单价两次加油花的钱两次加油的总量，列代数式即可；②根据题中所给“作差法”进行计算即可．【详解】解：（2），理由如下：，

，即（3）①司机甲两次加油的平均单价为：元/升设司机乙油箱加满能加升司机乙两次加油的平均单价为元/升②，又

即

司机甲两次加油的平均单价更低3．综合与探究【阅读理解】：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若．则．例如：当时，比较和的大小．我们采用作差法：，【类比运用】（1）当时，请用作差法比较和的大小；【知识运用】（2）①当时，请用作差法比较和的大小；②请用①的结论比较大小：______（用“>、=、<”填空）；【综合运用】（3）边长为a和b（其中）的两个正方形按如图的样子摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，请判断与的大小关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）①；②；（3），理由见解析【分析】本题考查了分式的加减运算，整式的加减计算，乘法公式，因式分解，正确利用作差法比较大小是解题的关键．（1）利用整式加减计算化简，再判断差值正负即可；（2）①利用异分母分式减法法则进行计算，再判断差值正负即可；②利用①结论即可判断；（3）先表示，由完全平方公式表示，然后作，差因式分解可得，再根据平方非负性即可判断正负．【详解】（1）解：，，；（2）解：①，；②，∴，故答案为：；（3），理由如下：由题意得，．【一览众山小】1．某养殖户饲养猪和羊，其中养猪45头，养羊的数量与饲养总数的比是．设养羊x只，则可列方程为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了列分式方程，设养羊x只，依题意列出方程即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：设养羊x只，依题意可得：，故选：C．2．甲，乙两人分别从、两地同时出发，若相向而行，则相遇；若同向而行，则甲追上乙．甲，乙两人的速度之比为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了相遇问题和追击问题，涉及分式的混合运算，正确理解题意，建立方程组是解题的关键．设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，根据题意，得，解方程组解得即可．【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，根据题意，得，解得，故，故选：C．3．已知，，若，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查等式的性质，分式的化简，完全平方公式，根据题意得，则，再代入选项中计算，化简即可求解．利用等式的基本性质得，再代入求解是解决问题的关键．【详解】解：∵，∴，则，∴，故B正确；，∵，∴，故C正确；∵，则，∴，故D正确；∵，则∴当，时，，此时，故A错误；故选：A．4．若对任意的，，都有，则．【答案】【分析】本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，先由，则有，然后解出方程组即可，掌握分式的运算法则是解题的关键．【详解】解：∵，∴，解得：，∴，故答案为：．5．若，则代数式的值为．【答案】3【分析】本题考查了分式的化简和代数式求值，熟练掌握分式化简方法和整体法求代数式值是解题的关键．先化简分式得，再将变形，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴原式．故答案为：36．若关于x的分式方程有增根，则m的值是．【答案】3【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m的值即可．【详解】解：，去分母，得：，∵方程有增根，∴，∴，∴，∴；故答案为：37．先化简，再从，0，2三个数中选一个合适的数作为m的值代入求值．【答案】，【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简,再选择一个使分式有意义的m的值代入求值即可．