考点测试58 成对数据的统计分析

考点测试58成对数据的统计分析

高考概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题与解答题，分值为5分、12分，中、低等难

考点研读

1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系

2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的经脸回归方程系数公式建立经脸回归方程

3.了解独立性检脸的基本思想、方法及其简单应用

4.了解一元线性回归模型的基本思想、方法及其简单应用

第1步狂刷小题♦基础练

一、基础小题

1.已知经验回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4.5),则经验回归直线的

方程是()

A..y=1.23x+4B.y=1.23x4-5

C.y=1.23x4-0.08D.y=0.08.v+1.23

答案C

解析选项D显然错误.因为经验回归方程必过样本点的中心，把点(4,5)代入选项A,

B,C检验，满足的只有选项C.故选C.

2.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表:

月份⑴23456

销售额w万元15.116.317.017.218.4

根据上表可得到经验回归方程;=0.75x+；据此估计，该公司7月份这种型号产品的销

名额约为()

A.19.5万元B.19.25万元

C.19.15万元D.19.05万元

答案D

解析由表可知:=^X(2+3+4+5+6)=4,J=1x(15.1+16.3+17+17.2+18.4)=

16.8,则样本点的中心为(4,16.8),在经验回归直线上，故16.8=0.75X4+。，得a=13.8.故当

x=7时，y=0.75X7+13.3=19.05.故选D.

3.在一组样本数据5，y\）,（X2»©），…，a”，%）（仑2,如X2，…，及不全相等）的散

点图中，若所有样本点（为，＞,/）（/=1,2,…，〃）都在直线），=5+1上，则这组样本数据的样

本相关系数为（）

A.-1B.0

C.3D.1

答案D

解析由题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.故选D.

4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,8两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方

法分别求得相关系数厂与残差平方和，〃，如下表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

in106115124103

则试验结果体现A,B两变量有更强的线性相关性的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

答案D

解析「越大，，〃越小，线性相关性越强，丁同学的试验结果体现4,8两变量有更强的

线性相关性.故选D.

5.（多选）为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机拍取了

容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制

不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部

分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中正确的是（）

A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关

B.是否倾向选择生育二胎与性别有关

C.倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同

D.倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少丁•城镇户籍人数

答案ABD

解析由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎

的人群中，农村户籍人数为0.2X100=20,城镇户籍人数为0.6X100=60,农村户籍人数少

于城镇户籍人数，倾向选举生育二胎的人群中，男性人数为0.8X120=96人,女性人数为

0.6X80=48人，男性人数与女性人数不相同，C错误，故选ABD.

6.（多选）设某大学的女生体重M单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据

一组样本数据（M，y,）（z=1，2,〃），用最小二乘法建立的经验I可归方程为）A4AA4A4=0.85x

-85.71,则下列结论中正确的是（）

A.y与x具有正的线性相关关系

B.经验回归直线过样本点的中心（"J）

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg

答案ABC

解析由于经验回归方程中x的系数为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系，故A

正确.又经验回归方程必过样本点的中心（；，7）,因此B正确.由经验回归方程中系数的

意义知，x每增加1cm,其体重约增加0.85kg,故C正确.当某女生的身高为170cm时，

其体重估计值是58.79kg,而不是具体值，因此D不正确.故选ABC.

7.（多选）因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理.某大学开学后也启用封闭式

管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管理

期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生

都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统”得到如下列联表:

满意不满意

男2020

女4010

a0.1000.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

附：加方u

以下说法正确的有（）

A.满意度的调查过程采用了分层随机抽样的抽样方法

B.该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的便计值为0.6

C.有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系

D.没有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系

答案AC

解析因为男女比例为4000:5000=4:5,故A正确：满意的频率为号冷=|七Q667,

所以该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值约为0.667,所以B错误；由列联

表得茬=里攀聆鉴朕乎=9>6.635,故有99%的把握认为学生对学校的管理和服务

4U入3U入OUAJU

满意与否与性别有关系，所以c正确，D错误.故选AC.

8.以模型），=其k去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,其变换后得

到经验回归方程z=0.3x+4,则c=.

答案e4

解析因为y=ce",所以两边取对数，可得Iny=ln（ceh）=lnc+ln/=lnc+依，令z

=lny,可得z=lnc+Ax因为z=0.3x+4,所以Inc=4,所以e=e4.

二、高考小题

9.（2020・全国卷I）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率），和温度工（单

位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据尔，），,）（,・=12…，

20）得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率），和温

度x的回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.），=〃+/

C.y=a+足D.y=a~\~b\nx

答案D

解析由散点图分布可知，散点图分布在一个对数理函数图象的附近，因此最适宜作为

发芽率y和温度x的回归方程类型的是），=。+加nx.故选D.

10.（2017・山东高考）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高共单位：厘米）的关

系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可.以看出），与x之间有线性相关关

A"A1010八

系.设其回归直线方程为产队+〃.已知z为=225,z犷=1600,6=4.该班某学生的脚长为

24,据此估计其身高为（）

A.160B.163

C.166D.170

答案C

10—110

解析：Zxi=225,，x=正2为=22.5.

io

••zy=1600,/.7=*EM=160.

产t

又b=4,・・・。=7—"7=160—4X22.5=70.

・•・I可归直线方程为.；=4x+70.

A

将x=24代入上式得产4X24+70=166.

故选C.

三、模拟小题

II.（多选）（2021.河北省邯郸市高三阶段考试）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意

度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，

B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意

C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

答案AC

解析该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为记30%=]3,故A正确；该学校女

DUIJ

4043

生对食堂服务满意的概率的估计值为常历=上字故B错误；因为彳2~4.762）3.841,所以

有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C正确，D错误.故选AC.

12.（2020•南昌八一中学三模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利

用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特

色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”口所放茶叶量x克与食客的满意率），

的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型1y/。来拟合），与x的关系，根据以卜

数据：

茶叶量X克12345

In(lCOy)4.344364.444.454.51

可求得y关］「x的经验回归方程为（)

A、,二—!—Q0.043X+4.291RV-------!_,O.O43.v-4.291

-ce

^100>-100

C.yO.O43x+4.291

=eD.y=e°^x-4.29l

答案A

1+2+3+4+5

解析由表中数据可知1=5=3,

--------4.34+4.36+4.44+4.45+4.51._1__..

In(100>)=---------------------------=4.42.对于A»>f=fo6e+化简变形可得

04

100y=e。京+4291，等式两边同取对数可得In（100y）=0.043J+4.291,将7=3代入可得In（100v）

=0.043X3+4.291=4.42,而In（lOO.v）=4.42,因而A正确；对于B,y=j^e0043x-4-29化简

变形可得100〉，=*23「4291,等式两边同取对数可得in（IOO），）=O.O43x-4.291,将7=3代入

可得In（100.v）=0.043X3—4.291=—4.162,而In（lOO.v）=4.42,所以B错误；对于C,y=

e（）.O43x+4.29i,等式两边同取对数可知In），=0.043x+4.291,而表中所给为In（100），）的相关量，

所以C错误；对于D,），=°。3&「4.291,等式两边同取对数可知iny=0.043x-4.291,而表中

所给为ln（100.y）的相关量，所以D错误.故选A.

第2步精做大题・能力练

一、高考大题

1.（2020•全国卷川）某学生兴趣小组随机调查了某市：00天中每天的空气质量等级和当天

到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次

空气质屋嬴、10,200](200,4(X)J(400,6(X)J

1（优）21625

2(良)51()12

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

(I)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；

(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表)；

(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级

为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2X2列联表，并根据列

联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次W400人次＞400

空气质量好

空气质量不好

_-be)?

附:

(a+/?)(c+d)[a+c)(/?+d)>

P(。灯0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解(1)由频数分布表可知,该市一天的空气质量等级为1的概率的估计值为“

0.43,空气质量等级为2的概率的估计值为“喘上=0.27,空气质量等级为3的概率的估

IUV

H

计值为6H08=0.21,空气质量等级为4的概率的估计宜为乙需卫=().()9.

(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

1OOX2O+3OOX35+5OOX45

100=350.

(3)2X2列联表如下：

人次W400人次＞400

空气质量好3337

空气质量不好228

/100X(33X8—37X22)2

70X30X55X45%5,820>3.841,

因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

2.(2020•新高考卷I)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进

行调研，随机抽置了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：pg/nV),得卜.表：

SO2

PM2.5J~~~~[0,50](50,150](150,475]

[0,35]32184

(35,75J6812

(75,11513710

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过73且SO?浓度不超过150”的概率:

(2)根据所给数据，完成卜面的2X2列联表：

SO2

PM2.5'J—一[0J50](150,475J

[0,75]

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2

浓度有关？

附：蜉=------n(ad-hcf----,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(群泣)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解(1)由表格中的数据可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO?

浓度不超过150的天数有32+6+18+8=64天，

64

所以该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150的概率的估计值为而

=0.64.

(2)由所给数据，可得2X2列联表为

SO2

[0,1501(150,4751

PM2.5'J-----

[0,75]6416

(75,115]1010

(3)根据2X2列联表中的数据可得

依=______跃向-be)?______

(a+b)(c+")(a+c)(b+d)

=100X(64X10-16X10)^3600^

80X20X74X26481/臼皿小。"，

所以有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?浓度有关.

二、模拟大题

3.(2021.江苏省扬州力学高三月考)随着城市规模的扩大和人们生活水平的口益提高，某

市近年机动车保有量逐年递增，根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，

得到机动车每5年纯增数据情况为：

1995〜2000〜2005〜2010〜2015〜

年度周期

20002005201020152020

时间变量为12345

纯增数最"

3691527

(单位：万辆)

其中，=123,…，时间变量汨对应的机动车纯增数量为孙且通过数据分析得到时间变

量x与对应的机动车纯增数量v(单位：万辆)具有线性相关关系.

(1)求机动车纯增数量》(单位：万辆)关于时间变量x的经验回归方程，并预测2025〜2030

年间该市机动车纯增数量的值；

n-----

八八八AXXiyj—nxy

附：经验回归方程尸员中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为———=

Nx1—nx2

〃一一

(Xi-x)(>7-)A_A_

----------------------,a=y-bx.

区x)2

(2)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市

民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2X2列联表：

赞同限行不赞同限行合计

没有私家车9020110

有私家车7040110

合计16060220

依据a=0.01的独立性检验，能否认为对限行的意见与是否拥有私家车有关联？

附：*2=(a+3(c+c/)g+c)3+</y

a0.15OJO0.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解⑴由

时间变量Xi12345

纯增数量y•(单位：万辆)3691527

所以x=3,y=12,

X3+2X6+3X9+4X15+5X27=237.

n___

圻“；一篙'WL〃x)'_237—5X3X12_57_

所以“一-(12+22+32+42+52)—5X32—55—45—57

i=\

AAA_______AA

因为)二饭+。过点(x，y)»所以。=-5.1,所以y=5.7x—5.1.

2025〜2030年时，x=7,所以丁=5.7义7—5.1=348

所以2025〜2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.

(2)零假设为Ho：对限行的意见与是否拥有私家车无关联.

根据列联表，计算得

,________〃(ad-be?______

72(a+Z?)(c+c/)m+c)3+")

220X(90X40—20X70)255一

=110X110X160X60二不"9.167,

55

~7~>6,635,

O

依据小概率值。=0.01的独立性检验，我们推断为不成立，即认为对限行的意见与是否

拥有私家车有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.

4.(2020・安阳模拟)中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商

品和品牌的重要渠道.某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的

主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如图、

下表：

要购物方式网络平台实体店

年龄阶葭'总计

购物购物

40岁以下75

40岁或40岁以上55

总计

(1)根据已知条件完成上述列联表，并据此资料•，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提

下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？

(2)用分层随