2023-2024学年四川省眉山市东坡区高二下学期6月期末联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题一、单选题1.从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（）A.2 B.4 C.12 D.24【答案】C【解析】从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，不同的点的个数是种.故选：C2.设在处可导，的值是（）A. B. C. D.不一定存在【答案】C【解析】．故选：C．3.已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（）A.； B.； C.； D.【答案】C【解析】对于A，，故正确；对于B，因为，所以，故正确；对于C，因为n，m为正整数，且，所以令，则，，此时，故错误；对于D，，故正确；故选：C4.已知函数，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象，如图所示.由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由，得，即.故选：C.5.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（）A.5 B. C.10 D.【答案】A【解析】由题设，，∴当时，.∴含项的二项式系数.故选：A.6.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题给函数图象，可得当时，，则，则单调递增；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C7.某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数,且函数解析式,生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式，要使利润最大，则该产品应生产（）A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台【答案】B【解析】该产品的的利润则由得；由得则当时，取得最大值.即要使利润最大，则该产品应生产7千台.故选：B8.2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校4名大学生到三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，若大学生甲不去A社区，则不同的安排方案共有（）A.24种 B.36种 C.48种 D.72种【答案】A【解析】根据题意，首先分配甲，甲不去社区，则对甲有种分配方法;对于剩下的三人，分两种情况讨论：①其中有一人与甲在同一个社区，则三名学生分配到三个社区，每个社区一人，有种情况;②没有人与甲在同一个社区，则三人中有两人一组，另外一人单独一组，两组分配到除甲以外的另外两个地方，有种情况;所以若甲不去社区，不同的安排方案有种.故选：A.二、多选题9.设函数，则（）A.在上单调递增B.当时，取得极小值C.当只有一个零点时，的取值范围是D.当时，有三个零点【答案】AD【解析】，，令,解得：或，当，，时，，则在(0,+∞)，上单调递增，当时，，则在递减，故正确，B错误，画出函数的大致图像，如图示：且结合极大值，当只有一个零点时，的取值范围是；当时，有三个零点．故C错误，D正确；故选：AD10.若，则（）A.可以被整除B.可以被整除C.被27除的余数为6D.的个位数为6【答案】AB【解析】，可以被整除，故A正确；，可以被整除，故B正确；被27除的余数为5，故C错误；，个位数为，故D错误.故选：AB11.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】构造函数，，当时，，时，，时，，在处取最大值，，，函数图像如下：，，A正确；B错误；，，，C正确，D错误；故选：AC.三、填空题12.已知，若，则_________．【答案】4【解析】因为，令，可得，即，解得.故答案为：4.13.已知函数，，若使不等式成立，的取值范围是_________．【答案】．【解析】因为，使不等式成立，则，即，则问题转化为．设，由，令，得．当在区间内变化时，，随的变化情况如下表：＋0－单调递增极大值单调递减由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为，所以．故的取值范围是．故答案为：14.若函数在上存在最小值，则实数的取值可以是______.【答案】-2（答案不唯一）【解析】因为，所以，令得，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当，有极小值，因为函数在上存在最小值，又，所以，解得，故答案为：内任一值均可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（注：要写出算式，结果用数字表示）解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，然后再将这三组小球放入三个盒子中，因此，不同的放法种数为种；（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，所以，不同的放法种数为种；（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，所以，不同的放法种数为种.16.已知(1+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．解：（1）令x=1，则展开式中各项系数和为，又∵展开式中二项式系数和为，，即n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴，；（2）展开式，，设展开式中第r+1项系数最大，则，即，解得，因此r=4，即展开式中第5项系数最大，.17.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，且，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为（）万元，该容器的总建造费用为万元.（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的总建造费用最少时的的值.解：（1）设容器的容积为，由题意，知.又，故.由于，解得，所以，其定义域为.（2）由（1）得，.由于，所以.当时，.令，则，所以.①当，即时，若，则；若，则；若，则.所以是该函数的极小值点，也是最小值点.②当，即时，若，则（仅当时，），所以函数单调递减.所以是该函数的最小值点.综上所述，当时，总建造费用最少时；当时，总建造费用最少时.18.已知函数．（1）求在点处的切线方程；（2）求证：；（3）若函数无零点，求实数a的取值范围．解：（1）因为，所以，所以，所以在点处的切线的斜率为，故在点处的切线方程为，即.（2）依题意知，函数定义域为，，令，则，解得；令，则，解得或；所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，所以.（3）依题意得，，当时，，在定义域上无零点；满足题意.当时，，所以，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，因为无零点,所以，解得；当时，因为，所以，即，所以在定义域上无零点；满足题意.综上所述，实数a的取值范围19.已知函数．（注：是自然对数的底数）．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点．①求实数的取值范围；②求证：在区间内有唯一的零点，且．解：（1）当时，，，切线的斜率，又，所以切点为，所以，切线方程为（2）①函数，，（ⅰ）当时，当时，，，，则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；（ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上递增，即在上递增，又，，所以在上有唯一零点，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意，综上，的取值范围是．②由①知，当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以时，，则，又因为，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点．因为，由①知，所以，则，设，，则，，，所以在为单调递增，又，所以，又时，，所以．所以．由前面讨论知，，在单调递增，所以．四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题一、单选题1.从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（）A.2 B.4 C.12 D.24【答案】C【解析】从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，不同的点的个数是种.故选：C2.设在处可导，的值是（）A. B. C. D.不一定存在【答案】C【解析】．故选：C．3.已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（）A.； B.； C.； D.【答案】C【解析】对于A，，故正确；对于B，因为，所以，故正确；对于C，因为n，m为正整数，且，所以令，则，，此时，故错误；对于D，，故正确；故选：C4.已知函数，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象，如图所示.由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由，得，即.故选：C.5.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（）A.5 B. C.10 D.【答案】A【解析】由题设，，∴当时，.∴含项的二项式系数.故选：A.6.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题给函数图象，可得当时，，则，则单调递增；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C7.某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数,且函数解析式,生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式，要使利润最大，则该产品应生产（）A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台【答案】B【解析】该产品的的利润则由得；由得则当时，取得最大值.即要使利润最大，则该产品应生产7千台.故选：B8.2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校4名大学生到三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，若大学生甲不去A社区，则不同的安排方案共有（）A.24种 B.36种 C.48种 D.72种【答案】A【解析】根据题意，首先分配甲，甲不去社区，则对甲有种分配方法;对于剩下的三人，分两种情况讨论：①其中有一人与甲在同一个社区，则三名学生分配到三个社区，每个社区一人，有种情况;②没有人与甲在同一个社区，则三人中有两人一组，另外一人单独一组，两组分配到除甲以外的另外两个地方，有种情况;所以若甲不去社区，不同的安排方案有种.故选：A.二、多选题9.设函数，则（）A.在上单调递增B.当时，取得极小值C.当只有一个零点时，的取值范围是D.当时，有三个零点【答案】AD【解析】，，令,解得：或，当，，时，，则在(0,+∞)，上单调递增，当时，，则在递减，故正确，B错误，画出函数的大致图像，如图示：且结合极大值，当只有一个零点时，的取值范围是；当时，有三个零点．故C错误，D正确；故选：AD10.若，则（）A.可以被整除B.可以被整除C.被27除的余数为6D.的个位数为6【答案】AB【解析】，可以被整除，故A正确；，可以被整除，故B正确；被27除的余数为5，故C错误；，个位数为，故D错误.故选：AB11.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】构造函数，，当时，，时，，时，，在处取最大值，，，函数图像如下：，，A正确；B错误；，，，C正确，D错误；故选：AC.三、填空题12.已知，若，则_________．【答案】4【解析】因为，令，可得，即，解得.故答案为：4.13.已知函数，，若使不等式成立，的取值范围是_________．【答案】．【解析】因为，使不等式成立，则，即，则问题转化为．设，由，令，得．当在区间内变化时，，随的变化情况如下表：＋0－单调递增极大值单调递减由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为，所以．故的取值范围是．故答案为：14.若函数在上存在最小值，则实数的取值可以是______.【答案】-2（答案不唯一）【解析】因为，所以，令得，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当，有极小值，因为函数在上存在最小值，又，所以，解得，故答案为：内任一值均可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（注：要写出算式，结果用数字表示）解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，然后再将这三组小球放入三个盒子中，因此，不同的放法种数为种；（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，所以，不同的放法种数为种；（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，所以，不同的放法种数为种.16.已知(1+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．解：（1）令x=1，则展开式中各项系数和为，又∵展开式中二项式系数和为，，即n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴，；（2）展开式，，设展开式中第r+1项系数最大，则，即，解得，因此r=4，即展开式中第5项系数最大，.17.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，且，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为（）万元，该容器的总建造费用为万元.（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的总建造费用最少时的的值.解：（1）设容器的容积为，由题意，知.又，故.由于，解得，所以，其定义域为.（2）由（1）得，.由于，所以.当时，.令，则，所以.①当，即时，若，则；若，则；若，则.所以是该函数的极小值点，也是最