【统考】湖南省株洲市2025届高三上学期期末考试教学质量统一检测数学参考答案

机密*启用前参考答案第Ⅰ卷12345678CABBBCDB部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得9ACD第Ⅱ卷其他名牌皆不在对应同学的手里，易知把其他五个名牌换到对应同学的手里至少需要经过4次操作，即第若甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的名牌均不在自己手里，但经过一次交换后，可使得两个字母同综上，总的排序方法有5×4×3×2×1=120种，15.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，上BAD=，且ΔPAD是边长为2的等边三角形. （2）若PB=6，求直线BD与平面PAC所成角的正弦值.解：(1)证明：取AD的中点E，连接PE，BE.……1分又∵ΔPAD为等边三角形而PE∩BE＝E，……4分 设平面PAC的法向量n=(x,y,z)∴{-—∴{-—即{设直线BD与平面PAC所成角为θ, P所以直线BD与平面PAC所成角的正弦值为.……13分P DCHEDCHEGABFABF令AB的中点为F，连接EF，交AC于G，直线BD与平面PAC所成角即为直线EF与平面PAC所成角。……9分则EH丄平面PAC所以上EGH为直线EF与平面PAC所成角……11分即直线BD与平面PAC所成角的正弦值为.……13分16.（本小题满分15分）如图，在等边三角形ΔABC中，Q为边BC上一点，BQ=2CQ，点M、N分A别是边AB，AC上的动点(不包括端点)，若上MQN=120o，且设上CNQ=θ.A恒成立.（1）求证：不论θ为何值恒成立.MNθ（2）当ΔBMQ和ΔCNQ的面积相等时，求tanθ的值.MNθBQC00−θ……1分在ΔCQN中，由正弦定理得,∴QN=分所以，不论θ为何值恒成立.6分(2)因为SΔBMQ=SΔCNQ∵BQ=2CQ，且由（1）可知，QM=2QN 整理得：3sinθ=53cosθ……14分所以，tanθ=……15分17.（本小题满分15分）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F．过焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点．抛物线C在点B处的切线为直线m，过点A作平行于直线m的直线交抛物线C于点P．设点（1）求证：x1,x2,x3成等差数列；（2）求ΔABP的面积的最小值.设AP的中点为M，由(1)可知MB丄x轴，所以ΔABP的面积是ΔABM的两倍.2y1k2{2{2所以，|AB|=22)2x2222)……10分所以点P(x3,y3)到直线l：kx−y+1=0的距离为……11分又由（1）可得：x3=2x2−x1，且y3=x322218.（本小题满分17分）已知函数f(x)=(a∈R)（1）若曲线y=f(x)在点（e，f(e)）处的切线在y轴上的截距为−e，求a的值；（2）若函数y=f(x)存在唯一极值点，求a的取值范围；（3）若函数y=f(x)存在极大值，记作h(a)，求证：ln(h(a))+a<1.（参考结论：当x→0+时，xlnx→0−.这里0+表示从0的右边逼近0，0−表示从0的左边逼近0.） x因为当x→0+时，xlnx→0−.这里0+表示从0的右边逼近0，0−表示从0的左边逼近0.s(x1)22)上递减，在(x2,+∞)递增；于是f（x）存在极大值f值f(x2)；不成立；119.（本小题满分17分）已知集合A是由m×n（m,n为大于1的整数）个连续的正整数组成的集合.现将的个数均为m个，则称对集合A进行了“n个均分拆”.进一则称对集合A进行了“条件D下n个均分拆”.（1）若集合A={1,2,3,4}，请写出对集合A进行（2）若集合A={1,2,3,...8}，试判断是否可以对集合A进行“条件D下2个均分拆”（条件D为（3）若集合A={t+1,t+2,t+3,...,t+48}，是否可以对集合A进行“条件D下16个均分拆”（条件D为法；若不能，说明理由.22假设可以对集合A进行“条件D下2个均分拆”，∵ab−cd=1则对于{1,2,3,4,5,6,7,8}的一种符合要求的拆分{a1,b1,c1,d1}和{a①若两个集合分别为{2,4,c1,d1}和{6,8,c2,d2}，则c2d2=47或49，不存在c2,d2使得{6,8,c2,d2}符合③若两个集合分别为{2,8,c1,d1}和{4,6,c2,d2}，则c2d2=23或25，不存在c2,d2使得{4,6,c2,d2}符合所以不可以对集合A进行“条件D下2个