苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义7.6锐角三角函数的应用(原卷版+解析)

/7.6 锐角三角函数的应用【推本溯源】1.锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，在许多实际问题中，我们可以根据其中的数量关系或位置关系找出（或构造出）一个直角三角形，利用锐角三角函数的相关知识解决问题。2.在上一章做题过程中，其实我们已经接触了一点应用，这边再总结一下几个经典的应用类型：坡度：；坡角:.

小试牛刀：如图，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤底的宽度的长为（

）米 B．米 C．米 D．米（2）方位角：

小试牛刀：数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）

（3）仰角与俯角：

小试牛刀：如图，热气球在A处测得一栋楼的楼顶端B的仰角，楼底部C的俯角，若点A到这栋楼的距离米，则这栋楼的高度为（

）（结果精确到米；参考数据：）

A．米 B．米 C．米 D．米3.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：（1）把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

（2）借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．

（3）当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解。【解惑】例1：如图，拦水坝的横断面是梯形，高米，斜面坡度为，则斜坡的长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米例2：小刚、小丽分别站在甲、乙两栋大楼的楼顶M，N处，观测地面上的点P，测得俯角分别为，则（

）A． B． C． D．例3：如图，测量河宽（假设河的两岸平行），在点测得，点测得，又，则河宽为（结果保留根号）．

例4：某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据）例5：海中有一小岛S，该岛周围内有暗礁．今有快艇以的速度向正北航行，在A处看小岛S在船的北偏东方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东方向．

(1)A到B的距离是______；(2)求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据：，，）【摩拳擦掌】1.（2023年陕西省西安莲湖区初中学业水平考试全真冲刺试卷（一））如图是河堤的横断面示意图，已知，堤高，则坡面的长度是（

）

A． B． C． D．2．（2023年浙江省金华市婺城区中考三模数学试题）如图，广场上空有一个气球A，若，，则气球A离地面的高度的长为（

）A． B． C． D．3．（2023年四川省南充市中考数学真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（

）A．米 B．米 C．米 D．米4．（鲁教版（五四制）九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系单元测试卷）如图所示，通过测量可以求得某市在冬至日正午时分的太阳入射角为，因此在规划建设楼高为的小区时，两楼间的距离最小为才能保证不挡光．（，结果精确到）

5．（浙江省杭州市上城区惠兴中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，水库大坝截面的迎水坡的坡比（与的长度之比）为4：3，背水坡坡比为1：2，大坝高，坝顶宽，则大坝横截面的周长为m．

6．（（挑战压轴）专项1.1锐角三角函数实际应用-背靠背模型-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读·专题训练》（北师大版））如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊的两条栈道，若，，则游客中心A到观景长廊的距离的长约为m（）．7．（2023年浙江省台州市仙居县中考二模数学试题）图1是外翻窗的示意图，图2是外翻窗的侧面图．当外翻窗从下面打开时，窗的一边沿AB绕点旋转到．已知，旋转角最大为．当最大时，求点到AB的距离．（精确到．参考数据：，，）

8．（2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷）长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度．电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为，由点A往前走至点B处，测得电视塔顶P处仰角为，请求出电视塔的高度．（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：，，）9．（2023年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考模拟数学试题）长沙银盆岭大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔湘江之上已知大桥主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：，）．

【知不足】1．（专题25锐角三角函数的实际应用-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．2．（浙江省宁波市镇海区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，某游乐场一滑梯长为，滑梯的坡角为，那么滑梯的高的长为（

）A． B． C． D．3．（广东省广州市第五中学2022—2023学年九年级下学期3月月考数学试题）某仓储中心有一斜坡AB，其坡比，顶部A处的高为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度为米．

4．（海南省海口市龙华区海南华侨中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）某人从水平地面沿坡度为的斜面前进，则此时他离地面的高度为．5．（山西省阳泉市山西阳泉经济开发区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，河提横断面迎水坡的坡比（坡比也叫坡度，指点B向水平面做垂线，垂足为C，）是，河提的高米，则坡面的长度是米．

6．（广东省佛山市禅城区澜石中学2019—2022学年九年级上学期第二次月考数学试题）如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手离地面高度为，风筝飞到处时的线长为，这时测得，求此时风筝离地面的高度．（精确到，）

7．（2023年吉林省白山市长白县金华乡中学、八道沟镇中学等四校中考一模数学试题）如图所示，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度（结果取整数）．(参考数据：，，)8．（山西省长治市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）一种太阳能供电监控系统示意图如图所示，为立杆，顶端A处安装摄像头，，表示两块太阳能电池板，与是两个全等的三角形支架，，，电池板的倾角．冬至日当地正午时太阳光线与水平线的夹角，此时电池板恰好能全部被太阳照射．现测得点N到地面的距离为，求点M到地面的距离的长．（结果保留整数，参考数据：，，，）

【一览众山小】1．（甘肃省兰州市城关区第十一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车上升的高度为（

）A．25米 B．米 C．米 D．50米2．（上海市青浦区实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）已知一斜坡的坡度，高度为5米，那么这一斜坡的坡长为米．3．（山西省晋城市爱物学校2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题）如图，斜坡坡面的坡比，坡面米，则水平宽度的长为米．4．（湖北省黄石市黄石港区黄石市第十五中学2022-2023学年九年级下学期6月月考数学试题）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，从旗杆正前方米处的点C出发，沿斜面坡度的斜坡前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得仪器的高为米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，．旗杆的高度为米．（参考数据：．计算结果保留根号）

5．（2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题）如图，无人机在离地面的点处，测得操控者的俯角为30°，测得教学楼顶部点的俯角为45°．已知操控者和教学楼之间的水平距离为80m，教学楼的高度是m．6．（山西省吕梁市兴县东关中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）“手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上胶类似，这种机器人一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，分别为机器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时，求点C到工作台的距离的长（参考数据：，，）

7．（上海市青浦区实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）如图，小明想测量河对岸的一幢高楼的高度，小明在河边处测得楼顶的仰角是．距处米的处有幢楼房，小明从该楼房中距地面米的处测得楼顶的仰角是(点、、在同一直线上，且、均与地面垂直)．求楼的高度．

8．（山西省阳泉市山西阳泉经济开发区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图；王红测得厘米，厘米，厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：

(1)求点到的距离；(2)求点E运动的距离．9．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，

10．（2023年浙江省嘉兴市南湖区中考二模数学试题）为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一尺（约），胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸．如图，为桌面，某同学眼睛看作业本的俯角为为身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．

(1)通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求；(2)为确保符合要求，需将作业本沿方向移动．当眼睛看作业本的俯角为时，求作业本移动的距离．（，．结果精确到0.1）11．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

12．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．

(1)求两楼之间的距离（结果保留根号）；(2)求大厦的高度（结果取整数）．（参考数据：，，，）13．（2023年吉林省松原市前郭县学区九年级第二次模拟数学试题）某住宅小区，计划在1号楼顶部和小区大门的上方之间挂一些彩灯．经测量，大门的高度，大门与1号楼的距离．在大门处测得1号楼顶部的仰角为，而当时测倾器离地面的距离．求：

(1)1号楼的高度；(2)估算大门顶部与1号楼顶部的距离．（结果保留一位小数，参考数据：）14．（2023年河南省安阳市中考一模数学试题）为了营造良好的文化氛围，及时彰显正能量，某中学在校园内安装了一块垂直于水平地面的电子屏幕．学校数学兴趣小组成员为了测量电子屏幕的宽度，如图，先在地面D处垂直于地面安放12米高的测角仪，测得电子屏幕的右侧底端B的仰角．设线段在地面上的正投影为点E，再将测角仪沿方向平移1.6米后到达处，又测得电子屏幕的右侧顶端A的仰角．已知点B到地面的距离为4.2米，请计算电子屏幕的宽度约为多少米？（参考数据：，，，）

15．（山西省阳泉市山西阳泉经济开发区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为3m的宣传牌，即．数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离．根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为31°．站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为45°．．依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请求出；若不能，请说明理由．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，）

16．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道（如图所示），使得，从点B出发按方向前进20米到达点E，即米，测得．已知，，求A、B两点间的距离．

17．（河北省保定市阜平县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）河北省博物馆坐落在省会石家庄市中心，是全国爱国主义教育示范基地，某数学小组用皮尺和测角仪测量该博物馆最高处的高度，如图，他们在地面上架设测角仪，先在点C处测得博物馆最高点A的仰角，然后沿方向前进到达点N处，测得点A的仰角（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为，请利用同学们的测量数据求的长度和该博物馆最高点A距离地面的高度．（参考数据：，，）

7.6 锐角三角函数的应用【推本溯源】1.锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，在许多实际问题中，我们可以根据其中的数量关系或位置关系找出（或构造出）一个直角三角形，利用锐角三角函数的相关知识解决问题。2.在上一章做题过程中，其实我们已经接触了一点应用，这边再总结一下几个经典的应用类型：坡度：；坡角:.

小试牛刀：如图，河堤的堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤底的宽度的长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根据坡比是，即可求解．【详解】解：在中，∵，，∴，

（2）方位角：

小试牛刀：数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）

【答案】米【详解】解：过作于，设米，

在中，即，，在中，，即，，解得分，（米）．答：河宽大约为72.6米．

（3）仰角与俯角：

小试牛刀：如图，热气球在A处测得一栋楼的楼顶端B的仰角，楼底部C的俯角，若点A到这栋楼的距离米，则这栋楼的高度为（

）（结果精确到米；参考数据：）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【详解】解：如图，

由题意可知：，，，，3.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：（1）把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

（2）借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．

（3）当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解。【解惑】例1：如图，拦水坝的横断面是梯形，高米，斜面坡度为，则斜坡的长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根据坡度求出的长度，再利用勾股定理求出．【详解】解：∵坡度，米，∴米，∴（米），故B正确．故选：B．【点睛】此题考查已知正切值求边长，勾股定理求直角三角形边长，熟记坡度定义求出是解题的关键．例2：小刚、小丽分别站在甲、乙两栋大楼的楼顶M，N处，观测地面上的点P，测得俯角分别为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，，再由，可得，即可求解．【详解】解：根据题意得：，，∵，∴，∴．故选：C【点睛】本题主要考查了仰角和俯角，理解仰角和俯角的意义是解题的关键．例3：如图，测量河宽（假设河的两岸平行），在点测得，点测得，又，则河宽为（结果保留根号）．

【答案】【分析】在中，，，则，所以，在中，通过三角函数关系求得的长．【详解】解：在中，，，∴∴在中，，∴（米），故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．例4：某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据）【答案】实验楼的高度为25米．【分析】利用正切函数的定义求得的长，即可求解．【详解】解：由题意得，四边形是矩形，∴，，∵，∴（米），∴（米），答：实验楼的高度为25米．【点睛】本题考查解直角三角形－仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．例5：海中有一小岛S，该岛周围内有暗礁．今有快艇以的速度向正北航行，在A处看小岛S在船的北偏东方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东方向．

(1)A到B的距离是______；(2)求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据：，，）【答案】(1)20(2)该快艇继续向北航行不会有触礁危险，见解析【分析】（1）根据速度、时间、路程之间的关系即可求解；（2）过点作于，由题意得，，设，在中求出即可解答．【详解】（1）解：（1）由速度、时间、路程之间的关系可得，，故答案为：20；（2）解：该快艇继续向北航行不会有触礁危险，理由如下：过作，，设，在直角三角形中，∴∴，∴该快艇继续向北航行不会有触礁危险．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，掌握锐角三角形函数的定义并灵活运用是解题的关键．【摩拳擦掌】1.（2023年陕西省西安莲湖区初中学业水平考试全真冲刺试卷（一））如图是河堤的横断面示意图，已知，堤高，则坡面的长度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，利用求出，再利用勾股定理求出的长度即可．【详解】解：在中，，，∵，∴，∴，故选：A【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求出是解题的关键．2．（2023年浙江省金华市婺城区中考三模数学试题）如图，广场上空有一个气球A，若，，则气球A离地面的高度的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得即可得到气球A离地面的高度的长．【详解】解：∵,∴，∵，∴，故选：B【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键．3．（2023年四川省南充市中考数学真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，，米.，米.故选：B.【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.4．（鲁教版（五四制）九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系单元测试卷）如图所示，通过测量可以求得某市在冬至日正午时分的太阳入射角为，因此在规划建设楼高为的小区时，两楼间的距离最小为才能保证不挡光．（，结果精确到）

【答案】【分析】由题意可知，光线，楼和地面构成一个直角三角形．已知角和对边，求邻边，用正切，即可求出两楼间的距离．【详解】解：由题意知，光线，楼和地面构成一个直角三角形，∴楼高÷楼间距，∴楼间距；故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．正确的识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．5．（浙江省杭州市上城区惠兴中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，水库大坝截面的迎水坡的坡比（与的长度之比）为4：3，背水坡坡比为1：2，大坝高，坝顶宽，则大坝横截面的周长为m．

【答案】【分析】过C点作与点F，如图，则，，根据坡比的定义得到，，则可计算出，，再利用勾股定理计算出和，然后计算大坝横截面的周长．【详解】解：过C点作与点F，如图，则，，∵水坡的坡比（与的长度之比）为4：3，∴，∴，∴，∵背水坡坡比为1：2，∴，∴，∴，∴大坝横截面的周长．故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，又叫做坡比，一般用表示，常写成的形式．6．（（挑战压轴）专项1.1锐角三角函数实际应用-背靠背模型-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读·专题训练》（北师大版））如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊的两条栈道，若，，则游客中心A到观景长廊的距离的长约为m（）．【答案】60【分析】由，则，得到，设，则，由，则，由，解方程即可得到答案，【详解】解：∵，∴，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴游客中心A到观景长廊的距离的长约为，故答案为：60．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和准确计算是解题的关键．7．（2023年浙江省台州市仙居县中考二模数学试题）图1是外翻窗的示意图，图2是外翻窗的侧面图．当外翻窗从下面打开时，窗的一边沿AB绕点旋转到．已知，旋转角最大为．当最大时，求点到AB的距离．（精确到．参考数据：，，）

【答案】米【分析】作过于点，在中，由求解即可．【详解】解：作过于点，

在中，，，

∴∴米．答：点到AB的最大距离约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形并列出相应关系式．8．（2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷）长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度．电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为，由点A往前走至点B处，测得电视塔顶P处仰角为，请求出电视塔的高度．（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：，，）【答案】电视塔的高度为【分析】在中，根据三角函数的定义得到，利用，求出的长度，根据等腰直角三角形的性质得到，于是利用得到结论．【详解】解：在中，，，，，，，，在中，，，，答：电视塔的高度为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．9．（2023年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考模拟数学试题）长沙银盆岭大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔湘江之上已知大桥主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：，）．

【答案】主塔的高度约为米．【分析】在中利用等腰三角形的性质，用表示，在中利用直角三角形的边角间关系，用表示出，最后利用线段的和差关系得结论．【详解】解：在中，，．．在中，∵，∴．∵，∴．∴米．答：主塔的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．【知不足】1．（专题25锐角三角函数的实际应用-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：在中，，，∴，，，故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．2．（浙江省宁波市镇海区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，某游乐场一滑梯长为，滑梯的坡角为，那么滑梯的高的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据正弦的三角函数比计算即可．【详解】由图可知，∴，故选D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题和解直角三角形的应用－坡度坡角问题，利用三角函数求解是解题的关键．3．（广东省广州市第五中学2022—2023学年九年级下学期3月月考数学试题）某仓储中心有一斜坡AB，其坡比，顶部A处的高为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度为米．

【答案】8【分析】根据坡比即可求解．【详解】解：由题意结合坡比，代入，∴米，故答案为：8．【点睛】本题考查了坡比的定义，属于基础题，熟练掌握坡比定义即可．4．（海南省海口市龙华区海南华侨中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）某人从水平地面沿坡度为的斜面前进，则此时他离地面的高度为．【答案】【分析】根据题意可设，再由勾股定理求出x的值，即可求解．【详解】解：如图：∵水平地面沿坡度为，∴可设，∴，解得：，即此时他离地面的高度为．故答案为：【点睛】此题主要考查了坡角问题的应用，通过构造直角三角形解答问题，利用锐角三角函数求解是解题关键．5．（山西省阳泉市山西阳泉经济开发区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，河提横断面迎水坡的坡比（坡比也叫坡度，指点B向水平面做垂线，垂足为C，）是，河提的高米，则坡面的长度是米．

【答案】20【分析】由题意得：，由勾股定理即可求得．【详解】解：∵，∴米，由勾股定理得：（米），故答案为：20．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡比的含义是关键．6．（广东省佛山市禅城区澜石中学2019—2022学年九年级上学期第二次月考数学试题）如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手离地面高度为，风筝飞到处时的线长为，这时测得，求此时风筝离地面的高度．（精确到，）

【答案】此时风筝离地面的高度为【分析】根据矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，，，

由图可知，人垂直于地面，即垂直于地面，点到地面的高度为，即垂直于地面，且，∴四边形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴此时风筝离地面的高度为．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角函数的计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．7．（2023年吉林省白山市长白县金华乡中学、八道沟镇中学等四校中考一模数学试题）如图所示，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度（结果取整数）．(参考数据：，，)【答案】该建筑的高度约为【分析】作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．【详解】如图，过点作，垂足为，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，由题意得：，，在中，，∴，在中，，．∵，∴．答：该建筑的高度约为．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．8．（山西省长治市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）一种太阳能供电监控系统示意图如图所示，为立杆，顶端A处安装摄像头，，表示两块太阳能电池板，与是两个全等的三角形支架，，，电池板的倾角．冬至日当地正午时太阳光线与水平线的夹角，此时电池板恰好能全部被太阳照射．现测得点N到地面的距离为，求点M到地面的距离的长．（结果保留整数，参考数据：，，，）

【答案】【分析】在中，由，得到的长，在中，由得到的长，在中，由得到的长，结合图中的隐含条件，求出的长．【详解】解：在中，，，，，即，．在中，，，，即在中，，，，即，，，答：两点间的距离约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【一览众山小】1．（甘肃省兰州市城关区第十一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车上升的高度为（

）A．25米 B．米 C．米 D．50米【答案】A【分析】利用坡度为可求出，即可得到米，得到答案．【详解】解：如图，，米，∵，∴，∴（米），即此时该小车上升的高度为25米．故选：A【点睛】此题考查了坡度坡比问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．2．（上海市青浦区实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）已知一斜坡的坡度，高度为5米，那么这一斜坡的坡长为米．【答案】【分析】设斜坡的水平宽度为米，根据坡度的定义可求出，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：设斜坡的水平宽度为米，则：：，解得：，这一斜坡的坡长为（米）．故答案为：．【点睛】本题考查了坡度的定义与相关计算，掌握坡度等于垂直距离与水平宽度的比，是解题的根据．3．（山西省晋城市爱物学校2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题）如图，斜坡坡面的坡比，坡面米，则水平宽度的长为米．

【答案】6【分析】先根据题意得到，设米，则米，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵斜坡坡面的坡比，∴，即，设米，则米，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴米，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确推出是解题的关键．4．（湖北省黄石市黄石港区黄石市第十五中学2022-2023学年九年级下学期6月月考数学试题）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，从旗杆正前方米处的点C出发，沿斜面坡度的斜坡前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得仪器的高为米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，．旗杆的高度为米．（参考数据：．计算结果保留根号）

【答案】【分析】如图，延长交延长线于点F，则，解求得米，米，，作，可得米，米，，再求出可得答案．【详解】解：如图，延长交延长线于点F，则，

∵斜坡斜面坡度，∴在中，∴，∵米，∴米，米，∴米，过点E作于点G，则四边形是矩形，∴米，米，又∵，∴中，米，∴米，∴旗杆的高度为米，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．5．（2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题）如图，无人机在离地面的点处，测得操控者的俯角为30°，测得教学楼顶部点的俯角为45°．已知操控者和教学楼之间的水平距离为80m，教学楼的高度是m．

【答案】【分析】过点作于点，作于点，由，得到的长，再由四边形是矩形以及，得出答案．【详解】解：过点作于点，作于点，

由题可知：，，在中，，，(米)，(米)，，四边形是矩形，(米)在，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，三角函数的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是根据题意构造直角三角形．6．（山西省吕梁市兴县东关中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）“手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上胶类似，这种机器人一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，是垂直于工作台的移动基座，分别为机器人的大，小臂，其中小臂米，大臂米，移动基座米，当，时，求点C到工作台的距离的长（参考数据：，，）

【答案】米【分析】延长，，过点B作的平行线，与，分别交于M，N，在中，解直角三角形得到，在中，解直角三角形得到，从而得到．【详解】解：如图，延长，，过点B作的平行线，与，分别交于M，N，

则，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴，∵，，∴，在中，，，∴，∴，∴的长为米．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．7．（上海市青浦区实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）如图，小明想测量河对岸的一幢高楼的高度，小明在河边处测得楼顶的仰角是．距处米的处有幢楼房，小明从该楼房中距地面米的处测得楼顶的仰角是(点、、在同一直线上，且、均与地面垂直)．求楼的高度．

【答案】楼的高度为米【分析】过点作于点，设的长度为米，则米，在和中分别求出和的长度，然后根据，代入数值求出的值．【详解】解：过点作于点，

则四边形为矩形，设的长度为米，则米，在中，，即，在中，，，，米，，解得：．答：楼的高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．8．（山西省阳泉市山西阳泉经济开发区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图；王红测得厘米，厘米，厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：

(1)求点到的距离；(2)求点E运动的距离．【答案】(1)厘米(2)厘米【分析】（1）过点作交于F，在中，可求得，由题意得四边形是矩形，且，从而可求得的长；（2）连接，由勾股定理求得扇形半径长，由弧长公式即可求得结果．【详解】（1）解：过点作交于F，如图，由旋转知，厘米∵，厘米，∴在中，厘米，由题意得四边形是矩形，∴厘米，∴厘米；

即点到BC的距离厘米；（2）解：连接，如图，由题意得：，在中，由勾股定理得：（厘米），∴点E运动的距离为：（厘米）．

9．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，

【答案】【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，

由题意得：，，设，在中，，，，，，，，，，，，，解得：，，该景观灯的高约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．（2023年浙江省嘉兴市南湖区中考二模数学试题）为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一尺（约），胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸．如图，为桌面，某同学眼睛看作业本的俯角为为身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．

(1)通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求；(2)为确保符合要求，需将作业本沿方向移动．当眼睛看作业本的俯角为时，求作业本移动的距离．（，．结果精确到0.1）【答案】(1)不符合要求(2)作业本移动的距离约为【分析】（1）依题意，，在中，求得的长，比较大小，即可求解．（2）依题意，移动后，，在中，求得的长，与在（1）中求得，求差即可求解．【详解】（1）解：如图所示，依题意，，

在中，，∴，∵∴这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求；（2）依题意，移动后，，在中，∴∴答：作业本移动的距离约为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键．11．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

【答案】堤坝高为8米，山高为20米．【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，∴设，，∴，∴，∴，过B作于F，则，设，∵．∴，∴，∵坡度i为，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤坝高为8米，山高为20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．

(1)求两楼之间的距离（结果保留根号）；(2)求大厦的高度（结果取整数）．（参考数据：，，，）【答案】(1)米(2)92米【分析】（1）作于点E，利用三角函数解即可；（2）先证四边形是矩形，再利用三角函数解求出，进而可求．【详解】（1）解：如图，作于点E，则，

由题意知，，，故，即两楼之间的距离为米；（2）解：由题意知，四边形是矩形，，，中，，，，即大厦的高度为92米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．（2023年吉林省松原市前郭县学区九年级第二次模拟数学试题）某住宅小区，计划在1号楼顶部和小区大门的上方之间挂一些彩灯．经测量，大门的高度，大门与1号楼的距离．在大门处测得1号楼顶部的仰角为，而当时测倾器离地面的距离．求：

(1)1号楼的高度；(2)估算大门顶部与1号楼顶部的距离．（结果保留一位小数，参考数据：）【答案】(1)18.8米(2)33.5米【分析】（1）过点作于，则米，米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；（2）过点作于，则米，米，从而求出米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解