河北省保定市新秀学校2021-2022学年九上期中试卷（解析版）

河北省保定市新秀学校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题一、选择题1.方程的解是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据因式分解法求解即可．【详解】∵，∴或，∴．故选D．【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键．2.如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD=2，DF=4，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】分析】根据平行线分线段成比例，先求得，继而求得．【详解】AB∥CD∥EF，BD=2，DF=4，故选A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练平行线分线段成比例是解题的关键．3.用配方法解方程，可变形为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程配方的步骤进行计算即可．【详解】解：，移项得：，配方得：，即：．故选A．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意在配方的过程中首先要把二次项的系数化为1，配方时配的是一次项系数一半的平方．4.在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（）A.2 B.3 C.5 D.8【答案】B【解析】【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近，∴解得

n=3故选：B．【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．5.已知关于的方程的一个根是．则方程的根的情况是（）A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根C.有一个根是 D.有两个相等的实数根【答案】D【解析】【分析】把代入得出c的值，从而得出方程，继而根据判别式得出方程根的情况．【详解】解：把x=-1代入方程得1-4+c=0，解得：c=3，则方程为；△=16-16=0，∴有两个相等的实数根，故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程解、根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．6.如图，证明矩形的对角线相等．已知：四边形是矩形．求证：．以下是排乱的证明过程：①∴，；②∵；③∵四边形是矩形；④∴；⑤∴．甲的证明顺序是：③①②⑤④乙的证明顺序是：②③①⑤④则下列说法正确的是（）A.甲和乙都对 B.甲和乙都不对 C.甲对乙不对 D.乙对甲不对【答案】A【解析】【分析】由证明过程可以判断顺序．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD、∠ABC=∠DCB=90°．∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC=DB，∴证明步骤正确的顺序是：③①②⑤④，∴甲的证明过程正确；证明：∵BC=CB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD、∠ABC=∠DCB=90°．∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC=DB，∴证明步骤正确的顺序是：②③①⑤④，∴乙的证明过程正确；故选：A【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，关键是灵活运用这些性质解决问题．7.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】列表得，120-11（1，1）（1，2）（1，0）（1，-1）2（2，1）（2，2）（2，0）（2，-1）0（0，1）（0，2）（0，0）（0，-1）-1（-1，1）（-1，2）（-1，0）（-1，-1）由表格可知，总共有16种结果，两个数都为正数的结果有4种，所以两个数都为正数的概率为，故选：C.【点睛】考点：用列表法（或树形图法）求概率.8.如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（）A（+1）a B.（﹣1）a C.（3﹣）a D.（﹣2）a【答案】B【解析】【分析】直接根据黄金分割的定义求解．【详解】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，∴BE=AB=2a=（﹣1）a．故选B．【点睛】考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．9.如图，菱形中，对角线、交于点O，E为边中点，菱形的面积为12，，则的长等于（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】依据菱形的性质以及勾股定理，即可求出AD的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得出OE的长．【详解】解：∵菱形的对角线AC、BD交于点O，OA＝3，∴AC＝2AO＝6，AC⊥BD，∵菱形ABCD的面积为12，∴×6×BD＝12，∴BD＝4，∴DO＝2，又∵AC⊥BD，∴AD＝，∵E为AD边中点，∴OE＝AD＝，故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解决问题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分．10.如图．两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（）．A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】如图所示，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC，先证明四边形ABCD是平行四边形，再用面积法证明BC=CD，推出平行四边形ABCD是菱形，进而证明△ABC是等边三角形，最后利用等边三角形性质和勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC，由题意得，∴四边形ABCD是平行四边形，∵长方形纸条等宽，∴AE=AF，∵，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵AE⊥BC，∴BC=AB=2BE，在Rt△ABE中，，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．11.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A.32×20﹣32x﹣20x＝540 B.（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540C.32x+20x＝540 D.（32﹣x）（20﹣x）＝540【答案】D【解析】【分析】先将图形利用平移进行转化，可得剩余图形的长等于原来的长减去小路的宽，剩余图形的宽等于原来的宽减去路宽，然后再根据矩形面积公式计算．【详解】解：利用图形平移可将原图转化为下图，设道路的宽为x米根据题意可得：故选D【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．12.如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与相交于点M，已知，则点M离地面的高度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知易得△ABM∽△CDM，可得对应高BH与HC之比，易得MHAB，可得△MCH∽△ACB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【详解】∵和表示两根直立于地面的柱子，∴AB⊥BC，CD⊥BC，MH⊥BC，∴ABCDMH，∴∠A=∠MCD，∠ABM=∠D∴△ABM∽△CDM，∴===(相似三角形对应高的比等于相似比)，∴=∴=，即=，∵MHAB，∴∠A=∠CMH，∠ABC=∠MHC，∴△MDH∽△ADB，∴==，，∴=，解得MH=．∴点M离地面的高度MH为m．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用．13.如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（）A.添加“”，则四边形是菱形B.添加“”，则四边形是矩形C.添加“”，则四边形是菱形D.添加“”，则四边形正方形【答案】B【解析】【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项．【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC，由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形；C选项添加OA=OC，由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD，∵OA=OC，∴BD也垂直平分AC，∴AB=BC，∴AB=AD=BC=DC，所以四边形ABCD是菱形；D选项添加“∠ABC=∠BCD=90°，由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，由AB=AD，∴四边形ABCD是正方形．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通．14.如图，在中，，，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，那么下列等式不正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例以及相似三角形的判定和性质逐个判断即可．【详解】解：，，∵，，∴，故A选项正确；∵，，故B选项正确；，，，故D选项正确；∵，∴，，，故C选项错误；故选：C．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的判定和性质，并注意利用数形结合思想求解．15.如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值是（）A.4.8 B.4 C.3 D.2.4【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【详解】解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分，且EF＝AP，又M为EF的中点，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，由勾股定理，得，∵，∴，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AM＝＝2.4，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．16.如图，正方形中，E为的中点，于G，延长交于点F，延长交于点H，交于N下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】【分析】根据题目已知，证明可判断①正确；证明可判断②正确；过H点作，利用，求解即可判断③正确；添加辅助线，过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，利用△BNC≌△CED，证得△BPN≌△BQE，即可判断④不正确；根据△BPN≌△BQE可得，根据正方形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，由此即可判断⑤正确．【详解】解：①∵在正方形ABCD中，，，∴∵∴∴（AAS）∴CN=DE，故①正确；②∴在正方形ABCD中，，∴，∴，∵，E为BC的中点，四边形ABCD是正方形∴，∴，故②正确；③如下图示，过H点作，∴根据，有，则：∴，即，故③正确；④过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，∴，∴四边形PBQG是矩形，∴，∵，∴∠NBP=∠QBE，由①得：△BNC≌△CED，∴EC=BN，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∴BE=BN，∵，∴△BPN≌△BQE，∴BP=BQ，∴四边形PBQG是正方形，∴，故④不正确；⑤∵△BPN≌△BQE∵四边形PBQG是正方形，在中，，故⑤正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，牢固掌握相关知识并能灵活运用是解题关键．二、填空题17.已知，则的值是___．【答案】##【解析】【分析】直接根据比例的性质进行求解即可．【详解】解：∵，∴，，；故答案为．【点睛】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．18.某商品经过连续两次降价，售价由原来的25元/件降到16元/件，则平均每次降价的百分率为_____．【答案】20%【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意，得：25（1﹣x）2＝16，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．19.已知三个边长分别为，，的正方形如图①排列，则图中阴影部分的面积为___________；若将正方形换成三个菱形如图②排列，菱形的较小锐角为，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】①.②.【解析】【分析】先根据相似三角形的性质找到阴影梯形的上下底边，然后根据梯形的面积公式即可计算．【详解】如图①，设中间空白梯形的上下底边长分别为，根据相似三角形对应边成比例得，，解得则阴影部分为上底长，下底长为，高为3的梯形面积为，故答案为：；如图②，过点作垂直,垂足为点，同理①可得,在梯形中，,∵,∴，则梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形的面积计算与菱形的性质，特殊角的三角函数值，牢固掌握相关知识并能灵活运用是解题关键．三．解答题20.解方程（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根据公式法求解即可；（2）根据因式分解法求解即可．【小问1详解】解：原方程化简为，∵，，，∴，∴，∴，；【小问2详解】解：原方程化为，∴，即，∴或，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活选择适当的解法进行求解是解题的关键．21.如图所示，甲乙丙丁戊己六个小朋友围着一圈做传球游戏，规定：球不得抛给自己，也不得传给其相邻左右两人，假定球最先在甲手上，经过两次传球（路径：甲→丁→乙）．请补全以下树状图，画出两次传球的全部可能情况，并求出球又传回甲手上的概率．【答案】图见解析，【解析】【分析】先补全树状图，从而可得两次传球的所有可能的结果，再找出球又传回到甲手上的结果，然后利用概率公式计算即可得．【详解】解：由题意，补全树状图如下所示：由图可知，两次传球共有9种等可能的结果，其中，球又传到甲手上的情况有3种，所以球又传回甲手上的概率为，答：球又传回甲手上的概率为．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．22.如图，的顶点坐标分别为、、．（1）以原点为位似中心，在原点另一侧画出，使（2）写出的坐标______．（3）的面积是______．【答案】（1）见解析；（2）；（3）10【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质即可以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使；

（2）结合（1）即可写出A1的坐标；

（3）根据网格利用割补法即可求出的面积．【详解】解：（1）如图，为所求．（2）由图可知：．故答案为：．（3）的面积是：．故答案为：10．【点睛】本题考查了作图−位似变换，解决本题的关键是掌握位似图形的性质．23.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P，求证：四边形CODP是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出结论．【详解】证明：∵DP∥AC，CP∥BD，∴四边形CODP是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，OD=BD，OC=AC，∴OD=OC，∴四边形CODP是菱形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，熟练掌握矩形的性质定理，菱形的判定定理是解题的关键．24.水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出200斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出40斤，为保证每天至少售出520斤，水果店决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是___________斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利600元，水果店需将每斤的售价降低多少元？【答案】（1）（200+400x）（2）3元【解析】【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．【小问1详解】将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是200+×40＝（200+400x）斤；故答案为：（200+400x）；【小问2详解】解：设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（200+400x）＝600，化简得解得：或，当时，销售量是；当x＝1时，销售量是200+400＝600（斤）．∵每天至少售出520斤，∴x＝1．4﹣1＝3，答：水果店需将每斤的售价定为3元．【点睛】本题考查了一元二次方程，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．25.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最值．解：∵无论x取何实数，总有．∴，即无论x取何实数，有最小值，是．（1）问题：已知，试求y的最值．（2）【知识迁移】在中，是边上的高，矩形的顶点P、N分别在边上，顶点Q、M在边上，探究一：，求出矩形的最大面积的值；（提示：由矩形我们很容易证明，可以设，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）（3）探究二：，则矩形面积S的最大值___________．（用含a，h的代数式表示）【答案】（1）11（2）18（3）【解析】【分析】（1）根据题意，使用配方法将二次三项式进行配方，再根据不等式的基本性质确定最值即可；（2）首先证明，根据相似三角形的性质，可以得到，设，则，得出，从而得出，将矩形面积S用含x的代数式表示，再进行配方，确定最值即可；（3）根据探究一，即可得出，设，则，因此，从而得到，将矩形面积S用含x的代数式表示，再进行配方，确定最值即可．【小问1详解】解：∵无论x取何实数，总有，∴，∴，即y有最大值，是11；【小问2详解】探究一：∵四边形PQMN是矩形，∴PNBC，∴∠APN＝∠ABC，∠ANP＝∠ACB，∴△APN∽△ABC，∴，设PN＝x，∴，∴，由已知可得四边形EDMN是矩形，∴，∴，∵无论x取何实数，总有，∴，∴，∴矩形PQMN的最大面积的值为18；【小问3详解】探究二：由探究一可知，△APN∽△ABC，∴，设PN