图形的相似（知识梳理与考点分类讲解）

图形的相似——知识梳理与考点分类讲解【知识点1】比例线段定义：在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．【知识点2】比例线段的性质（1）基本性质：；（2）合比性质：⇔＝；（3）等比性质：；【知识点3】平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则，.【知识点4】平行线分线段成比例推论推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即如图所示，若∥，则，.【知识点5】黄金分割点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．【知识点6】相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【知识点7】相似多边形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边对应成比例的两个三角形相似．(4)满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.【知识点8】相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例．（2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．【知识点9】相似三角形的应用测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子.【知识点10】相似三角形的常见模型“A“A”型斜“A”型“母子型”字型““X”型斜“X”（蝴蝶）型射影定理模型一线一线三直角型一线三等角【知识点11】位似图形的定义性质与画法定义如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似图形性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.位似图形的画法：（1）确定位似中心；（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；（3）描出新图形.【考点一】比例的基本性质与成比例线段【例1】（2023·全国·九年级假期作业）（1）若，则___________；（2）若，则___________；（3）若，则___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）对化简得，再把代入，即可；（2）根据，得，把的值代入，即可；（3）对化简，得，把的值代入，即可解：（1）∵，∴；故答案为：．（2）∵，∴，∴，故答案为：．（3）∵，∴，∴．故答案为：．【点拨】考查比例性质运用中的基本计算，关键是掌握比例的基本性质．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，则下列等式不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据比例的性质可得，然后逐项分析判断即可求解．解：∵，∴，A.，则即，成立，故该选项不符合题意；

B.，成立，故该选项不符合题意；

C.，则，即，不成立，符合题意；D.，即，成立，故该选项不符合题意；

故选：C．【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）（1）是和的比例中项，则；（2）是和的比例中项，则；（3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是．【答案】厘米【分析】（1）根据比例中项的定义求出a与b的积，再整体代入求解即可．（2）根据比例中项的定义即可求解．（3）根据比例中项的定义即可求解．解：（1）由题意可知，由此，所以；故答案为：．（2）由题意可知，可解得；故答案为：．（3）因为、都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为（厘米）．故答案为：厘米．【点拨】本题考查了比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．【考点二】黄金分割【例2】（2023秋·全国·九年级专题练习）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．（1）求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；（2）若，求的面积．（结果保留根号）【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点；（2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积．解：（1）证明：∵，，又∵，∴，∴D是的黄金分割点；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据作图可知，，，设，则，，求出，得出，即可得出结论．解：根据作图可知，，，设，则，∴根据勾股定理可得：，∴，∴，∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确．故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出．【变式2】（2022秋·四川成都·九年级校考期中）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．【答案】【分析】根据黄金分割比例进行求解即可．解：∵C是线段AB靠近B的黄金分割点，∴米，故答案为：．【点拨】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．【考点三】平行线分线段成比例及其推论【例3】（2022春·九年级课时练习）△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．【答案】（1）证明见分析，（2）作图见分析，（3）【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可证明；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根据平行得出比例式，根据F为AD的中点，得出m、n之间的等量关系即可．解：（1）证明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴＝＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴＝，∵，EG＝GC，∴＝1，∴＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴＝＝，∵，设AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m（a－an），∵EF∥DG，∴＝，∵F为AD的中点，∴即．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，利用比例式解决问题．【举一反三】【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】设交于点，由，得三角形BCM为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC为x，可得MA为，再由平行线分线段成比例求解．解：设交于点，∵，，∴，∵，∴，三角形为等腰直角三角形，在Rt△ABC中，设长为，则，∵，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点拨】本题考查平行线的性质，含特殊角直角三角形的性质及平行线分线段成比例，解题关键是掌握含特殊角的直角三角形的边长比．【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）基本事实：两条线段被一组所截，所得的对应线段成比例．如图：如果，那么，，．【答案】平行线【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．解：基本事实：两条线段被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，如图，如果，那么，，．故答案为：平行线．【点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例的知识，掌握性质定理是解题的关键．【考点四】多边形的性质及判定【例4】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．（1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．【答案】（1）不相似；证明过程见详解；（2）【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．（1）解：不相似．理由如下：∵原矩形的长，宽，∴划分后小矩形的长为，宽为，又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，∴每个小矩形与原矩形不相似．（2）∵原矩形的长，宽，∴划分后小矩形的长为，宽为，又∵每个小矩形与原矩形相似，∴∴，即．【点拨】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．解：由折叠可得：，，∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，故选：C．【点拨】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝．【答案】【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，∴，∴，∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF=，∴DF=AD-AF=，故答案为：．【点拨】本题考查了黄金分割，相似多边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．【考点五】相似三角形的性质及判定【例5】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．（1）求证：△AFE∽△ADC．（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．【答案】（1）证明见分析；（2）EB=2FD．【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果．解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴△AFE∽△ADC；（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵，∴，∴，∵，∴，∴EB=2FD．【点拨】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·内蒙古通辽·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得结论．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．∵四边形ABDC是矩形，∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，∴C（-3，0），B（0，4），∵∠CDB=90°，∴BC==5（cm），∵EH∥CD，∴△BEH∽△BCD，∴，∴，∴EH=0.3t，BH=0.4t，∴E（-0.3t，4-0.4t），∵F（0，0.4t），∵QE=QF，∴Q（-t，2），∴点Q在直线y=2上运动，∵B，D关于直线y=2对称，∴QD=QB，∴QP+QD=QB+QP，∵QP+QB≥PB，PB==2（cm），∴QP+QD≥2，∴QP+QD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动．【变式2】（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为．【答案】2或4【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标．解：如图，∵A（1,4），C（3,0），D（0,3），∴，，，∴是直角三角形∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），∽∴∴=1∴当时，CM=2；当时CM=4，故答案为：2或4．【点拨】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键．【考点六】位似图形【例6】（2021春·九年级课时练习）如图，正方形，都是正方形的位似图形，点P是位似中心．（l）哪个图形与正方形的相似比为3？（2）正方形是正方形的位似图形吗？如果是，求相似比．（3）正方形与正方形的相似比是多少？【答案】（1）正方形；（2）是，正方形与正方形的相似比为；（3）正方形与正方形的相似比为2【分析】（1）利用位似比等于相似比求解；（2）根据位似的定义和位似比等于相似比解决问题；（3）利用位似比等于相似比求解．解：（1）因为PI：PA=6：2=3：1，所以正方形IJKL与正方形ABCD的相似比为3；（2）正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形，∴相似比为：；（3）正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为：．【点拨】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，正方形和正方形是位似图形，点A的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标为（

）

A．或 B．或C． D．或【答案】D【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点，分别求出直线的函数解析式，然后求交点即可．解：∵正方形和正方形中，点A的坐标为，点的坐标为，∴，（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是与的交点.设所在的直线的解析式为解得∴所在的直线的解析式为当时，，所以与的交点为；（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是与的交点设所在的直线的解析式为解得∴所在的直线的解析式为设所在的直线的解析式为解得∴AG所在的直线的解析式为联立解得∴与的交点为综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或故选：D．【点拨】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键．【变式2】（2023秋·九年级课时练习）如图，中，，边在轴上，以为位似中心，作与位似，若的对应点，则的坐标为．【答案】【分析】根据，，推出，求出值，得到位似比，进而求出，即可得解．解：∵，，∴轴，；∵的对应点，∴，∴∴的坐标为：，即：；故答案为：．【点拨】本题考查坐标系中的位似．熟练掌握位似图形的性质，求出位似比，是解题的关键．【考点六】相似三角形综合——几何模型【例7】（2020秋·四川·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，．（1）求的长．（2）求证：．【答案】（1）5；（2）证明见分析；【分析】（1）先证明出∽，得出，假设BD为x，则DC=15-x，代入分式方程求出BD的长；（2）由（1）可知，推出≌，得出结果；解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∽，∴，∵为中点，∴，∵，设，则，即：，解得：，，∵，∴．（2）由（1）可知，∵，∴，在和中，，∴≌∴【点拨】本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．【举一反三】【变式1】（2020秋·四川遂宁·九年级射洪中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性质把它们的直角边用含x的表达式表示出来，列方程，解方程即可得到x的值．解：如图，标注字母，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形