2025届广东省深圳市宝安区高三4月模拟测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市宝安区2025届高三4月模拟测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于集合，将不等式变形为，即.则，所以集合.

对于集合，解不等式，得到，即集合.

所以，即.

故选：A.2.已知，，若，则实数（）A. B.3 C.6 D.【答案】A【解析】因为，，所以，因为，所以，解得，故A正确.故选：A3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数的定义域为，设，则，又单调递增，当时，，，无单调性，不成立；当时，在和上单调递增，即在和上单调递增，所以，则，即；当时，在和上单调递减，即在和上单调递减，不成立；综上所述，故选：C.4.已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，，又，所以，整理得，所以，所以双曲线E的渐近线方程为，即，故选：C.5.从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】任取4个不同数，且从大到小排列可得所有的情况有种，第2个数为7的情况有，故概率为，故选：D6.在正方体中，是棱上的点，且．平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，故台体体积为，剩余图形的体积为，设正方体的棱长为4，则正方体体积为，又，，故，，，台体的高为，故台体的体积为，故，所以.故选：D7.已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，函数在区间上有且仅有两个零点，则与在上有两个交点，则，且，不妨设，则，则，当时，有最小值.则的最小值为.故选：A8.已知函数满足：，，，若，则（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025【答案】C【解析】依题意，因为，则，令，则，因为，所以，又因为，则，即，令，则，即，令，则，所以，故得，又；又，所以，即．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知为虚数单位，以下选项正确的是（）A.若，则的充要条件是B.若复数满足，则C.D.若复数满足，则的最大值为6【答案】ACD【解析】对于A，因，则等价于，等价于，即，故A正确；对于B，由可得，当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误；对于C，因对于，，则，于是，故C正确；对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，而可看成点到该圆上点的距离，易得的最大值即，故D正确.故选：ACD.10.已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（）A. B.点是的一个顶点C. D.【答案】ACD【解析】如图1，当双曲线为焦点在轴上的标准方程时，过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点，则，，故A正确；由题意知，双曲线中，渐近线即，其斜率为，如图2，它与轴夹角的正切值，解得或（舍），，由A选项可知，，故C正确；顶点是对称轴（实轴）和双曲线的交点，，∴对称轴为，与双曲线在第一象限交于，，故B不正确，D正确.图1图2故选：ACD.11.欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（）A. B.数列单调递增C. D.数列的前项和小于【答案】ACD【解析】A选项，由题可知与4互质的数为1，3，则；与6互质的数为1，5，则；与10互质的数为1，3，7，9，则，故，即A正确；B选项，由A选项可知，，故数列不是单调递增数列，即B错误；C选项，注意到，则从1到100，这100个整数中，被2整除的有50个，被5整除的有20个，同时被2和5整除的有10个，则从1到100，这100个整数中，不能被被2或5整除的数，即与100互质的数的个数为个，则，故C正确；D选项，由C选项分析可知，与互质的数，就是从1到，这个整数中去掉所有的2的倍数.其中2的倍数有个，则，同理可得.则，即为首项为，公比为的等比数列，其前项和，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.将分别标有数字1，2，3，4，5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为________.【答案】3【解析】若甲摸出的球上面的数字为1或5，则可以推断两人摸出球上面数字的大小，所以甲摸出的球上面的数字不可能是1或5；同理，乙摸出的球上面的数字也不可能是1或5；若乙摸出的球上面的数字为2，甲摸出的球上面的数字可能为3或4，此时乙可判断大小；若乙摸出的球上面的数字为4，甲摸出的球上面的数字可能为2或3，此时乙可判断大小，所以乙摸出的球上面的数字为3.故答案为：3.13.某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的60百分位数是26，则它们的平均数为______．【答案】25【解析】因为数列为公差为1的等差数列，且，所以该组数据的分位数为，由．根据等差数列的性质，它们的平均数为．故答案为：.14.下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______（写出对应编号）．①；②；③；④．【答案】①③④【解析】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点，结合函数图象可知，对于①，的图象与直线都只有一个交点，故①正确；对于②，的图象与直线有两个交点，，故②错误；对于③，，，，所以的图象在点处的切线方程为，的图象与直线都最多只有一个交点，故③正确；对于④，的图象与直线都只有一个交点，故④正确．故答案为：①③④.四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在中，的平分线与AB交于点，.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）如图，中，由题意得，设，则，，则由余弦定理得，因为是的平分线，所以，，由二倍角公式得.（2）由（1）知，易得，所以，由余弦定理得，结合诱导公式得，在中，由正弦定理得，因为，所以，，由余弦定理得，因，所以，由正弦定理得.16.在直三棱柱中，，为平面与平面交线，为直线上一点．（1）若，求的面积；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．解：（1）因为，所以为等边三角形，所以在直三棱柱中，，又平面，平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．又，，所以．（2）解法一：如图，以的中点为原点建立空间直角坐标系．设，则．所以．设平面的一个法向量为，则，即，取，所以．因为是平面法向量，所以．解得，所以．解法二：由题意可知，平面与平面夹角，就是锐二面角，如图，取的中点，因为，所以．因为在直三棱柱中，平面，所以因为，平面，平面，所以平面．过点作的垂线，垂足为，连接，所以为二面角的平面角．因为，为正方形，所以，，又为的中点，，所以；设，所以．解得，所以．17.已知函数.（1）若时，求曲线在处的切线方程；（2）若时，在区间上的最小值为，求实数的值.解：（1）当时，且，所以，故切线方程为，即，（2），由，存在，使得，即，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故，，故在单调递减，又，故18.已知椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点．（1）求直线l被圆所截的弦长；（2）当时，．（i）求的方程；（ii）证明：对任意的，的周长为定值．解：（1）由题意得圆的圆心为，到直线的距离，则直线被圆所截弦长为.故直线被圆所截得的弦长为.（2）当时，直线的方程为，（i）联立，得，所以，又因为，所以，，所以，椭圆的方程为；（ii）设点、，则，且，所以，，同理可得，因为原点到直线的距离为，过原点作，垂足为点，如下图所示：所以，，联立可得，，当且仅当时，等号成立，此时点、关于轴对称，合乎题意，因为，则，由韦达定理可得，，故，，所以，，因此，的周长为（定值）.19.已知数列的首项，当时，，数列满足，，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列.（1）求，，的值；（2）记为数列的前n项和，求使得成立的n的最小值；（3）从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为P，证明：.附：不等式（，，且）的推广式（，，⋯，均大于0，且不全相等）成立.（1）解：数列的首项，当时，，则数列是以1为首项，公差为2的等差数列，所以，由得，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列所以数列为，所以.（2）解：由（1）知，所以等价于，因为，所以，又，则.当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意，故的最小值为7.（3）证明：由（1）知数列的前100项中无重复的项，所以，所以，设函数，则，所以在上单调递增，所以当时，，即.故，则，即，所以.广东省深圳市宝安区2025届高三4月模拟测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于集合，将不等式变形为，即.则，所以集合.

对于集合，解不等式，得到，即集合.

所以，即.

故选：A.2.已知，，若，则实数（）A. B.3 C.6 D.【答案】A【解析】因为，，所以，因为，所以，解得，故A正确.故选：A3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数的定义域为，设，则，又单调递增，当时，，，无单调性，不成立；当时，在和上单调递增，即在和上单调递增，所以，则，即；当时，在和上单调递减，即在和上单调递减，不成立；综上所述，故选：C.4.已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，，又，所以，整理得，所以，所以双曲线E的渐近线方程为，即，故选：C.5.从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】任取4个不同数，且从大到小排列可得所有的情况有种，第2个数为7的情况有，故概率为，故选：D6.在正方体中，是棱上的点，且．平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，故台体体积为，剩余图形的体积为，设正方体的棱长为4，则正方体体积为，又，，故，，，台体的高为，故台体的体积为，故，所以.故选：D7.已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，函数在区间上有且仅有两个零点，则与在上有两个交点，则，且，不妨设，则，则，当时，有最小值.则的最小值为.故选：A8.已知函数满足：，，，若，则（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025【答案】C【解析】依题意，因为，则，令，则，因为，所以，又因为，则，即，令，则，即，令，则，所以，故得，又；又，所以，即．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知为虚数单位，以下选项正确的是（）A.若，则的充要条件是B.若复数满足，则C.D.若复数满足，则的最大值为6【答案】ACD【解析】对于A，因，则等价于，等价于，即，故A正确；对于B，由可得，当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误；对于C，因对于，，则，于是，故C正确；对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，而可看成点到该圆上点的距离，易得的最大值即，故D正确.故选：ACD.10.已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（）A. B.点是的一个顶点C. D.【答案】ACD【解析】如图1，当双曲线为焦点在轴上的标准方程时，过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点，则，，故A正确；由题意知，双曲线中，渐近线即，其斜率为，如图2，它与轴夹角的正切值，解得或（舍），，由A选项可知，，故C正确；顶点是对称轴（实轴）和双曲线的交点，，∴对称轴为，与双曲线在第一象限交于，，故B不正确，D正确.图1图2故选：ACD.11.欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（）A. B.数列单调递增C. D.数列的前项和小于【答案】ACD【解析】A选项，由题可知与4互质的数为1，3，则；与6互质的数为1，5，则；与10互质的数为1，3，7，9，则，故，即A正确；B选项，由A选项可知，，故数列不是单调递增数列，即B错误；C选项，注意到，则从1到100，这100个整数中，被2整除的有50个，被5整除的有20个，同时被2和5整除的有10个，则从1到100，这100个整数中，不能被被2或5整除的数，即与100互质的数的个数为个，则，故C正确；D选项，由C选项分析可知，与互质的数，就是从1到，这个整数中去掉所有的2的倍数.其中2的倍数有个，则，同理可得.则，即为首项为，公比为的等比数列，其前项和，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.将分别标有数字1，2，3，4，5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为________.【答案】3【解析】若甲摸出的球上面的数字为1或5，则可以推断两人摸出球上面数字的大小，所以甲摸出的球上面的数字不可能是1或5；同理，乙摸出的球上面的数字也不可能是1或5；若乙摸出的球上面的数字为2，甲摸出的球上面的数字可能为3或4，此时乙可判断大小；若乙摸出的球上面的数字为4，甲摸出的球上面的数字可能为2或3，此时乙可判断大小，所以乙摸出的球上面的数字为3.故答案为：3.13.某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的60百分位数是26，则它们的平均数为______．【答案】25【解析】因为数列为公差为1的等差数列，且，所以该组数据的分位数为，由．根据等差数列的性质，它们的平均数为．故答案为：.14.下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______（写出对应编号）．①；②；③；④．【答案】①③④【解析】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点，结合函数图象可知，对于①，的图象与直线都只有一个交点，故①正确；对于②，的图象与直线有两个交点，，故②错误；对于③，，，，所以的图象在点处的切线方程为，的图象与直线都最多只有一个交点，故③正确；对于④，的图象与直线都只有一个交点，故④正确．故答案为：①③④.四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在中，的平分线与AB交于点，.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）如图，中，由题意得，设，则，，则由余弦定理得，因为是的平分线，所以，，由二倍角公式得.（2）由（1）知，易得，所以，由余弦定理得，结合诱导公式得，在中，由正弦定理得，因为，所以，，由余弦定理得，因，所以，由正弦定理得.16.在直三棱柱中，，为平面与平面交线，为直线上一点．（1）若，求的面积；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．解：（1）因为，所以为等边三角形，所以在直三棱柱中，，又平面，平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．又，，所以．（2）解法一：如图，以的中点为原点建立空间直角坐标系．设，则．所以．设平面的一个法向量为，则，即，取，所以．因为是平面法向量，所以．解得，所以．解法二：由题意可知，平面与平面夹角，就是锐二面角，如图，取的中点，因为，所以．因为在直三棱柱中，平面，所以因