适用于新教材2023版高中数学单元素养检测三第八章成对数据的统计分析新人教A版选择性必修第三册

单元素养检测（三）（第八章）

（90分钟120分）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.下列关于一独立性检验的说法正确的是（）

A.用犬独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误

R.用/独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机件错误

C.一独立性检验的方法适用普查数据

D.对于不同的小概率值。，用x，'独立性检验推断的结论相同

【蟀析】选B.对于A,独立性检验取决于样本，用x?来确定是否有把握认为“两个分类变最有关系”，样本

不司,所得结果会有差异,不会犯错误的说法太绝对,A错；

对于B,用x?独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误,B正确；

对于C,根据普查数据,我们可以通过相关的比率给出准确回答,不需要用一独立性检验，依据小概率值推

断两个分类变量的关联性,所以/独立性检验的方法不适用普查数据,C错；

对于D,对于不同的小概率值,结论可能不相同,有时有把握,有时无把握,把握率不同,D错误.

2.从某大学中随机选取8名女大学生，其身高衣（单位:cm）与体重V（单位:kg）数据如表：

x165165157170175165155170

V4857505464614359

若已知/与x的经验回归方程为六0.85尸85.71,那么选取的女大学生身高为

175cm时,相应的残差为（）

A.-0.96B.0.96

C.63.04D.-4.04

【解析】选B.已知V与x的经验回归方程为介0.85尸85.71.

当于175时，方63.04.

相应的残差为：64-63.04-0.96.

3.在对人们休闲方式的一次调杳中，根据数据建立2X2列联表：

t生另IJ合计

看电视运动

男82028

女161228

合计243256

为了判断休闲方式是否与性别有关，根据表中数据，得到/=至黑黑争24.667.因为

3.841WxW6.635,所以推断休闲方式与性别有关系，那么这种列断出错的可能性不大于（）

（参考数据:尸（炉23.841）比0.05,2（X2>6.635）^0.01）

A.0.001B.0.01

C.0.05D.0.005

【蟀析】选C.结合题意和独立性检验的结论，由于4.667>3.841,故这种判断出错的概率不大于0.05.

4.针对时下的“短视频热”，某校团委对“学生性别和喜欢短视频是否有关”做了一次调查，其中被调查

的男女生.人数相同，男生喜欢短视频的人数占男生人数的I女生喜欢短视频的人数占女生人数的:,若有95%

的把握认为是否喜欢短视频和性别有关，则调查中男生的人数可能为（）

临界值表：

0.0500.010

3.8416.635

附.n(ad-bc)2

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

A.30B.54C.62D.75

【解析】选B.设男生的人数为则女生的人数也为6f

根据题意列出2X2列联表：

短视频合计

男生女生

喜欢5/?4/?9〃

不喜欢n2/73/7

合计6n6z?12〃

贝g%2_12nx(5nx2n4nxn)、4n

6nx6nx9nx3n9"

由于有95%的把握认为是否喜欢短视频和性别有关，则3.841W/<6.635,即3.841635,得8.642

25W/K14.92875,因为〃£N’,则n的可能取值有9,10,11,12,13,14,因此,调查中男生人数的可能值为

54,60,66,72,78,84.

5.2020年初,新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了

不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：

周数(⑼12345

治愈人数(乃2173693142

由表格可得J'关于x的二次回归方程为矢6丁+&则此回归模型第4周的残差(观测值与预测值之差)为

()

A.5B.4C.1D.0

【解析】选A.设t=x,则屈(1+4+9+16+25)=11,FW(2+17+36+93+142)=58,a=58-6X11=-8,所以夕=6?8.令

产4,得e.尸必-Ji=93-6X4,8=5.

6.在变量V与x的回归模型中,它们对应的相关系数r的值如表,其中拟合效果最好的模型是()

模型1234

r0.480.150.950.30

A.模型1B.模型2

C.模型3D.模型4

【解析】选C.线性回归分析中，相关系数为|r|越接近于1,相关程度越大；|川越小,相关程度越小，四为模

型3的相关系数r最大,所以拟合效果最好.

7.(2020•全国/卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度内单位：。C)的关系，在20

个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(心匕)(了=1,2,…,20)得到下面的散点图：

由比散点图，在10C至40c之间，卜面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型

的是（）

A.尸中bxB.y=a+bx

C.y=a^bexD.尸a+blnx

【解析】选I）.由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率y和温

度x的回归方程类型的是尸a+blnx.

8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用过血清

的人一年中的感冒记录进行比较，提出假设及：“这种血清不能起到预防感置的作用”，利用2X2列联表计

算得炉-3.918,经查临界值表知P（-23.841）-0.05.对此,有以下四个结论,其中正确的是（）

A.依据小概率值。=0.05的独立件检验，可以认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

B.若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒

C.这种血清预防感冒的有效率为95%

D.这种血清预防感冒的有效率为5%

【解析】选A.因为/&3.918,/（一23.841）P（）.05,

所以依据小概率值。=0.05的独立性检验，

可以认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.

二、多项选择题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分）

9.下列叙述正确的是（）

A.相关关系是一种确定性关系，一般可分为正相关和负相关

B.经验回归直线一定过样本点的中心叵,y）

C.在回归分析中，〃为0.98的模型比〃为0.80的模型拟合的效果好

D.某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）的关系,得到经验同归方程8-2.35户146.7,则气温为2℃时,

一定可卖出142杯热饮

【解析】选BC.对于A:相关关系是不确定的关系，故A错误；

对于B:经验回归直线必过样本中心,故B正确；

对于C:决定系数越大，相关性越强,故川为0.98的模型比不为0.80的模型拟合的效果好,故C正确；

对于D:根据经验回归直线，可预测大概卖出142杯，而不是一定卖出142杯，故D错误.

10.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调杳了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服

务给出满意或不满意的评价，得到相应的列联表.经计算762,则可以推断出（）

服务

性别合计

满意不满意

L男

302050

女401050

合计7030100

a0.10.050.01

X”2.7063.8416.635

A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为|

B.调研结果显示,该学校男生比女生对食堂服务更满意

C.在犯错误的概率不大于0.05的前提下推断男、女生对该食堂服务的评价有差异

D.在犯错误的概率不大于0.（）1的前提下推断男、女生对该食堂服务的评价有差异

【解析】选AC.对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为薪胃,故A正确；对于选项&

该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为就W与，故B错误；因为*2g4.762>3.841二次05,所以在犯

错误的概率不大于0.05的前提下推断男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C正确,D错误.

11，下列结论正确的有（）

A.若随机变量f,〃满足〃=2*1,则〃（〃）=2〃（0+1

B.若随机变量f）W3,M）,且尸（f<6）=0.84,则尸（3<f<6）=0.34

C.若样本数据（加,必）（六1,2,3,…,〃）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中

心点（五亨）

D.根据分类变量¥与V的成对样本数据，计算得到y=4.712.依据。=0.05的独立性检验（依行3.841）,可

判断/与V有关且犯错误的概率不超过0.05

【解析】选BCD.对A,由方差的性质可知，若随机变量f,〃满足〃=2f+1,贝f）=4〃（f）,故A

错误；

对B,根据正态分布的图象对称性可得尸（3<<<6）=F（f<6）-0.5=0.34,故B正确;

对C,根据回归直线过样本中心点可知C正确；

对I）,由X2=4.712>3.841可知判断乃与V有关且犯错误的概率不超过0.05,故I）正确.

12,下列说法正确的是（）

A.在经验回归方程8-0.85x+2.3中，当解释变量x每增加1个单位时,响应变量9平均减少2.3个单位

B.两个具有线性相关关系的变量，决定系数汇的值越接近于0,则这两个变量的相关性就越强

C.若两个变量的决定系数〃=0.88,则说明预测值的差异有88%是由解释变量引起的

D.在经验回归方程,-0.85户2.3中，相对于样本点（1,1.2）的残差为-0.25

【解析】选CD.对于A,根据经验回归方程，当解释变量x每增加1个单位时,响应变量少平均减少0.85个单

位,A错误;

对于B,当决定系数1的值越接近于1,两个变量的相关性就越强,B错误；

对于C,由决定系数"的意义可知C正确；

对于D,当解释变量产1时，预测值A1.45,则样本点（1,1.2）的残差为-0.25,D正确.

三、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）

13.某高校“统订初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如表：

专业

性别合计

非统计专业统计专业

1男

131023

女72027

合计203050

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,计算得到/=（保留三位小数），所以判

定（填“能”或“不能”）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关

系.

【解析】根据提供的表格得

15OX（13X20-7X10）2

23x27x20x30

^4.844>3.841=^,05.

所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系.

答案：4.844能

14.某工厂为研究某种产品产量大（吨）与所需某种原材料H吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据

（用4如表所示：（残差;观测值-预测值）

x3456

Y2.534m

根据表中数据,得出J，关于X的经验回归方程为:60.7户3.据此计算出在样本（4,3）处的残差为-0.15,则表

中勿的值为.

【解析】根据题意计算出在样本（4,3）处的残差为-0.15,可得63.15,则当―4时,3.15=0.7X4+3,所以3

=0.35,

由题意可知：

产量x的平均值为元三（3+4+5+61=4.5,由经验回归方程为夕=0.7户3过样本中心点（无力，则P=0.7X4.5+3

4

=3.15+3,所以3寻-3.15上（9.5+4-3.15,

4

解得加=4.5.

答案：4.5

【补偿训练】

1.（2020•武昌高二检测）有人收集了七月份的日平均气温Z（摄氏度）与某冷饮店日销售颔y（百元）的

有关数据，为分析其关系,该店做了五次统计,所得数据如表：

日平均气温，（摄氏度）3132333435

日销售额“百元）567810

由资料可知,y关于t的线性回归方程是XL2加3,给出下列说法：

①尔-32.4;

②口销售额y（百元）与日平均气温“摄氏度）成正相关；

③当日平均气温为33摄氏度时，日销售额一定为7百元.

其中正确说法的序号是.

【解析】已知y关于t的线性回归方程是XL2什3,由工31+32+31+34+35:33,

一5+6+7+8+10r

y=——5——=7.2n,

代入上式7.2=1.2X33+3,

得尔-32.4,故①正确，因为kl.2>0,故正相关,②正确，当夕33时,y不一定为7,故③错误，

答案:①②

2.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到数据如表

单价x及88.28.48.68.89

销量功件908483807568

由表中数据，求得经验回归方程为失-20户3.若在这些样本中任取一点，则它在经验回归直线左下方的概率

为.

【解析】由表格数据可知：

-3+8.24-8.4+8.6+8.8+90u7790+84+83+80+75+68G八

X------------------=8.5,Y=----------------=8（）.

66

因为止-20,打手-应，

所以5=80+20X8.5=250,

所以经验回归方程为於-20户250.

分别将6个点的横坐标代入方程得到的切、于其观测值的点有（8.2,84）,（9,68）两个点,则在这些样本点中

任双一点,共有6种不同的取法，其中恰好在经验回归直线左下方的共有2种不同的取法，故满足条件的概

率是

63

答案：9

15.以模型广。石去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,其变换后得到线性回归方程为z=2户21n

2,则牢.

【解析】y=e'ri，\两边取以e为底的对数得z=ln产b/a,依题意可知z=2x+21n2,所以衍21n2.

答案：21n2

16.下列四个命题:

①在线性回归分析中,相关系数厂的取值范围是（T,1）；

②在线性回归分析中，相关系数，•的值越大，变量间的相关件越强；

③在线性回归分析中,相关系数1>0时，两个变量正相关；

④在对两件事进行独立性检验时，川炉作为统计量，/越大，则能判定两件事有关联的把握越大.

其中真命题的序号是.

【解析】对于①，在线性回归分析中，相关系数广的取值范围是[TJ],①错误；

对于②,在线性回归分析中,相关系数，•的绝对值越接近1,变量间的相关性越强,②错误；

对于③,在线性回归分析中，相关系数r>0时,两个变量正相关,③正确；

对于④,由独立性检验的知识可知④正确.

答案:③④

四、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知某种商品的价格爪单位:元）与需求量y（单位:件）之间的关系有如下一组数据：

x1416182022

y1210753

求y关于x的经验回归方程,并借助残差平方和与〃说明I口I归模型拟合效果的好坏.

经验回归方程X彳H3中，

S（xi-x）（yi—y）Sxiyi-nxy

g_____________________________

«S（Xj-x）2Sx^-nx2

i-li-l

a=y-3x.

台(yr*

i-1_________

残差平方和E(y-W2,决定系数*=1-2nLW.

i=l

【解析】(14+16+18+20+22)=18,y^X(12+10+7+5+3)=7.4,

所以知笑黑嗡”T.15.

1660-5X182

«=7.4+l.15X18=28.1,

所以所求经验回归方程是g-1.15x+28.1.

列出残差表为

yry,-00.3-0.4-0.10.2

yry4.62.6-0.4-2.4-4.4

2

所以士(yryt)=0.3,

*（»—火）2

i-1_________

£I（”-%）2=53.2,*=1-£（"-"2-O994,所以回归模型的拟合效果很好

18.（10分）某大学读书协会为了解本校大学生网上阅读与传统纸质阅读的情况,调杳了该大学L000名大学

生（男、女各占一半），就偏向网上阅读和偏向传统纸质阅读的情况做了调查记录.记录显示,偏向网上阅读

的男大学生比偏向传统纸质阅读的男大学生多300人，这1000名大学生中，偏向传统纸质阅读的大学生共

有400人.

（1）根据题意，完成2X2列联表：

阅读方式

性别偏向网上阅读偏向传统纸质阅读口,

男

女

合计1000

⑵依据小概率值a=0.001的独立性检验，推断该大学的大学生的阅读方式与性别是否有关联.

n(ad-bc)2

附：Q厂0+仆廿力.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

x。3.8416.63510.828

【解析】（1）根据题意,该大学1000名大学生中（男、女各占一半），

偏句网上阅读的男大学生比偏向传统纸质阅读的男大学生多300人，

这1000名大学生中，偏向传统纸质阅读的大学生共有400人,可得2X2列联表如表:

阅读方式

性别合计

偏向网上阅读偏向传统纸质阅读

男400100500

女200300500

合计6004001000

⑵由（1）中的表格中的数据,

77T俎^2.1000(400X300200x100)_5CO_

“Jrf-------------------------------/x1ivn.ooZnoo-Ab.oob

600x400x500x5003

根据小概率值＜/=（）.001的独立性检验，推断该大学的大学生的阅读方式与性别有关联.

19.（10分）某电商平台为某农产品公司的滞销产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价,用不同

的单价在平台试销,得到如下数据：

单价爪元/（牛）98.88.68.48.28

销量八万件）687580838490

（1）根据以上数据,求y关于X的经验回归方程；

⑵若单价定为7.4元,试预测一场直播带货销量能否超过100万件.

了初上厂Y/1\—9+8.8+8.6+8.4+8.24-8

【解析］(1)%=---------------------------=o8.5r,

58+75+80+83+84+90

=80,

y二6

,£(x-x)(yz-y)=(9-8.5)X(68-80)+(8.8-8.5)X(75-80)+(8.6-8.5)X(80-80)+(8.4-8.5)X(83-80)+(8.

2-8.5)X(84-80)+(8-8.5)X(90-80)=-14,

6

E(x广5)2=(9-8.5)2+(8.8-8.5)2+(8.6-8.5)2+(8.4-8.5)2+(8.2-8.5)2+(8-8.5)2=0.7,

i=l

n

....,.E(x£-x)(yf-y)_

所以——L^=-1420,

E^xrx)207

所以由歹-假=80+20X8,5=250,

所以经验回归方程为?=-20户250.

⑵若单价定为7.4元，

则A20X7.4+250=102X00,

所以若单价定为7.4元，一场直播带货销量能超过100万件.

【补偿训练】

某航空公司规定：国内航班(不构成国际运输的国内航段)托运行李每件质量上限为50kg,每件尺寸限

制为40cmX60cmXlOOcm,其中头等舱乘客免费行李额为40kg,经济舱乘客免费行李额为2Dkg.某调研

小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：

携带行李质量(kg)(0,20](20,30](30,40](40,50]

头等舱乘客人数833122

经济舱乘客人数37530

合计4538152

⑴请完成2X2列联表,试根据小概率值。=0.05的独立性检验,分析托运超额行李与乘客乘坐座位的等级

是否有关；

⑵调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客中随机抽取2

人赠送“100元超额行李补助券”，求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.

n(ad-bc)2

参考公式/二•,其中n=a+bic^d参考数据:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

XQ3.8416.63510.828

【蟀析】(1)根据表格中数据，可得头等舱乘客托运免费行李的人数为8+33+12=53(人)，头等舱乘客托运超

额行李的人数为2人，经济舱乘客托运免费行李的人数为37人，经济舱乘客托运超额行李的人数为

5+3=8(人)，

可得2X2列联表如表：

托运免费托运超额

乘客合计

行李行李

头等舱53255

经济舱37845

合计9010100

因为X1吗鬻右5.50>3.841=M.«5,所以根据小概率值。=0.05的独立性检验，推断托运超额

行李与乘客乘坐座位的等级有关.

⑵由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客有7人，其中头等舱乘客有2人,记为

经疥舱乘客有5人,记为a,b,c,d,e.

从这7人中随机抽取2人的情况有AH,Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Be,Bd、Be,ab,ac,ad、ae,be,bd、be,cd,ce,de,

共21种，其中符合条件的情况有AB,而,Ab,Ac,Ad,Ao,Ba,Bb,Be,Bd,&共11种，故所求概率氏为

20.（10分）某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数”和“区分度”两个指标，难

«二3，一年线总平均分b八的一实验班的平均分-普通班的平均分

度系数丽—'凶力及丽，

⑴某次