液体流动的基本概念-学习材料

学习单元一.液体流动的基本概念

虐一、描述液体运动的两种方法______________________________________

要研究液体运动的规律，就要建立描述液体运动的方法。在流体力学中，

表达流体的运动形态和方式有两种不同的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。

1.拉格朗日法

拉格朗日法是由法国科学家J.L.拉格朗日作了独立的、完整的表述和具

体运用，又称随体法。该方法着眼于流体内部各质点的运动情况，描述流体

的运动形态。按照这个方法，在连续的流体运动中，任意流体质点的空间位

置,将是质点的起始坐标(4仇。(即当时间。等于起始值to时的坐标)以及

时间广的单值连续函数。若以r代表任意选择的质点在任意时间匕的矢径，

则：矢径与质点坐标可以表示为：

r=r{a,b,c,f)

X=x(a,b,c,t)

y=y(a,b,c,t)

z=z(a,b,c,t)

式中，,在x、y、z轴上的投影为x、y、z：a、b、c称为拉格朗

日变量。

当研究对象为某一确定的流体质点时，起始坐标久久c将为常数，r

以及Ky、z将只是时间f的函数；此时上式所表达的将是这个流体质点

运动的轨迹。

当研究的对象不是某一确定的流体质点，而是在某一确定时间中，各流

体质点的分布情况，即时间t为一常数，，及X、y、z将只是起始坐标义

仇c的函数；在这种情况下，式子所表达的将不是某流体质点的历史情况，

而是同一瞬间，由各质点所组成的整体状况.

将式上述拉格朗日表达式对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点

的速度和加速度为：

二〃(〃/,c,t)

w=—=w(a,b,c,t)

dt

dud2x/.、

A=3=*=a、(a，b,c,t)

dvd2y

怎=G"=『=%(〃，"c")

dtdr

d\vd2z

a.=—=—r=a.(a,b,c,t)

dtdt1

描述了整个流场中所有质点的规律，就可以描述整个流动。

2.欧拉法

欧拉法，又称流场法，是瑞士学者欧拉提出并发展完善的一种研究描述

流体运动的方法。是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，

来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随

时间的变化规律。所以流体质点的流动要素是空间点坐标(x,y,z)和时

间t的函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和密度可表示为：

U=u(x,y,z,t)

v=v(x,y,z,t)

w二w(x,y,z,t)

式中，u,v,w分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量：旧二行十》十族

〃=p(x,y,z")

p=p(x,z")

当参数X,y,z不变而改变时间t,则表示空间某固定点的速度随时间

的变化规律。当参数t不变，而改变x,y,z,则代表某一时刻，空间各点

的速度分布。

x,y,z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表

流体质点在空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体

质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必

然产生位移。也就是说，空间坐标x,y,z也是流体质点位移的变量，它也

是时间t的函数：

x=x(t)y=y(t)z=z(t)

将上式对时间求导可以获得速度的表达公式：

dxdydz

u=—v=-w=—

山；dt;山。

再对时间求导可以获得在三个坐标方向的加速度：

ducu包

a=—+u—++a-w

r②&

dtdx"

dvdv+8

a=——+u——十②-

■vdtdx

包

az啜

dwdw

a,=—+〃—t办

dtdx

用矢量表示法记为'=而十%"或。

由上述公式可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成；第

一部分是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为

dudvdw

当地加速度，即式中等式右端的第一项正、百、不；第二部分是某一瞬时

由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加速度，即式中等式右端的后

dudi<dudvdvdvdwdvvdw

U--FV--FW-U--FV--FW-U--FV--1-W--

三项dx/及、&本及、&8Sz等；当地加速度和迁移

加速度之和称为总加速度。为了加深对当地加速度和迁移加速度的理解，现

举例说明这两个加速度的物理意义。如下图所示，不可压缩流体流过一个中

间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的速度就要比截

面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2点时，由于截面的收缩引起

速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体

输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速度将相应发

生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。

采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三。

一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二是采用

欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运

动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分

方程比二阶偏微分方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的

来龙去脉，往往只关心在某一空间位置的液体运动要素，如水文观测，水龙

头出水速度和压力等。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被

采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象、环境污染物分析以及计算流体力学

的某些问题中还是方便的。

喧二、液体运动学的几个基本概念_______________________________________

1、流线与迹线

迹线是流场中某一质点运动的轨迹。例如在流动水中含有比较轻的浮渣

老马，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。流场

中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以

用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。迹线的研

究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲

虫=虫=里

线，其数学表达式为：〃VW

流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点

的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的

曲线，如图所示。

流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出

某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大

小。流线的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时撤一大片木屑，

这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点

的流动方向线就是流线。

1.1流线的基本特性

(1)在运动要素不随时间变化的定常流动时，因为流场中各流体质点的

速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和

迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹

线不相重合。

(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相

交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只

有在流场中速度为零或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些

点上不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称驻点，

速度为无穷大的点称为奇点。

(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。迹线可以转折和相交。

(4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示

该处的流速较小。迹线只能表示流速的方向，无法表示流速的大小。

2、流线微分方程

设在某一空间点上流体质点的速度矢量炉=〃：+a+/，通过该点流线上

的微元线段优=心7+昉+d"。由流线的定义知，空间点上流体质点的速度与

流线相切。根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即

ijk

—♦—*

Vxd£=uvvt=0

dxdvdz

udy-vdx=0

vdz一卬dy=0dr__dz

即：w(h-//(iz=0〃(x,y,zj)v(x,y,zj)vv(x,y,zj)这就是流线的微分方程，

式中时间t是个参变量。如果流速分布已知可以根据流线方程构建微分方程

求出流线的规律，从而判断流动的特征。

值三■流管.元流和总流

在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些

流线组成一个管状表面，称之为流管。如图所示。因为流管是由流线构成的，

所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线

不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。

过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。

当流束的横截面积趋近于零时，则流束达到它的极限一一流线。

在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。流线相互平行时，有

效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面，如下图所示。有效截面面

积为无限小的流束和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的

有效截面上，各点的速度可认为是相同的。

无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到的管流或渠流都

是总流。根据总流的边界情况，可以把总流流动分为三类：

(1)有压流动总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，

如压力水管中的流动。

(2)无压流动总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体

接触，形成自由液面，如明渠中的流动。

(3)射流总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。

在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度称为湿周，用符号X

表小。

总流的有效截面面积与湿周之比称为水力半径，用符号Rh表示，即

凡一

x

关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道和管束的水力计算中常常

用到。

过水断面、流量、断面平均流速

流管中与流线垂直的断面称为过水断面：单位时间内通过过水断面的流

体体积称为体积流量，以Qv表示。其单位为m3/s、m3/h等。

单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量，以Qm表示，其单

位为kg/s、t/h等。

由于微元流束有效截面上各点的流速U是相等的，所以通过微元流束有

效截面积为的体积流量dQv和质量流量dQm分别为：

dQv=udA

dQm=pudA

由于总流是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束有效截面面积为

的流体体积流量和质量流量分别由上式积分求得，即

Qv=

A

Q.n=JJ

A

以上计算必须先找出微元流束的速度u在整个流束有效截面上的分布

规律，这在大部分工程问题中是不能用解析法来确定的。在工程计算中为了

方便起见，引入平均流速的概念。平均流速是一个假想的流速，即假定在过

水断面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该过水断面上的体积流量

仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。

A4

虐四、定常流动和非定常流动___________________________________________

根据流体的流动参数是否随时间而变化，可将流体的流动分为定常流动

和非定常流动，现举例说明如下：如下图所示装置，将阀门A和B的开度

调节到使水箱中的水位保持不变，则水箱和管道中任一点（如1点、2点和3

点等）的流体质点的压强和速度都不随时间而变化,但由于1、2、3各点所

处的空间位置不同，故其压强和速度值也就各不相同。这时从管道中流出的

射流形状也不随时间而变。这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数

（压强和速度等）均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的流动，称

为定常流动。现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的水

量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速

度都逐渐减小，射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流体质

点的流动参数（压强和速度等）随时间而变化的流动，称为非定常流动。由上

可见，定常流动的流场中，流体质点的速度、压强和密度等流动参数仅是空

间点坐标X、V、Z的函数，而与时间t无关，用。表示任一流动参数（即。可

表示U,V,W,p,P等），则

(p=(p(x,y,z)

由于是定常流动，故其流动参数对时间的偏导数等于零，即

d(p

=0

~dt

因此，在定常流动中只有迁移加速度。例如上图中，当水箱的水位保持

不变时，2点到3点液体质点的速度减小，而4点到5点速度增加，都是由

于断面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为均匀流动，例如

流体质点在等截面管道中的流动（3点到4点）。

在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和

风道中的流体流动都是定常流动。又如火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在

某一工况下运行时，主蒸汽管道和给水管道中的流体流动也都是定常流动。

可见研究流体的定常流动有很大的实际意义。

流动要素（如速度）随时间的变化而变化的流动称为非定常流动，非定

常流动中，流速不仅是位置坐标的函数，也是时间的函数。

值五、一元、二元和三元流动

从运动要素的变化与多少个空间坐标变量有关的角度考虑，液体的流动

可以分为一元流动、二元流动和三元流动。

若流动要素随三个坐标方向变化的流动称为三元流动；运动要素只随两

个坐标变量变化的流动，就是二元流动；如运动要素只随一个坐标变量变化，

则称为一元流动。

实际流体力学问题，大多属于三元流或二元流。但由于考虑多维问题的

复杂性，在数学上有相当大的困难。为此，有的需要进行简化。最常用的简

化方法，就是引入过流断面平均流速的概念，把水流简化为一维流，用一维

分析方法研究实际上是多维的水流问题，但用一维流代替多维流所产生的误

差，要加以修正，修正系数一般用试验的方法来解决。

曲六、均匀流和非均匀流________________________________________________

根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同，可将总流分为均匀流和非均

匀流。若相同则称为均匀流，否则称为非均匀流。由此定义可知在均匀流中，流线是

彼此平行的直线，过水断面（有效截面）是平面。使用力的平衡原理还可以证明：对

于均匀流断面压强分布服从静压强分布，即均匀流统一断面上的测压管水头均相等。

如在等直径的直管道内的水流都是均匀流。注意在均匀流中各流线上的流速大小不定

彼此相等.在非均匀