专题01 与三角形有关的线段（原卷版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练专题一与三角形有关的线段【专题导航】目录【考点一三角形】.............................................1【考点二三角形的有关线段】....................................3【考点三三角形的分类】........................................5【考点四三角形的边的关系】....................................7【聚焦考点1】1.三角形及其有关概念三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。2.三角形的表示方法一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为∆ABC【典例剖析1】【典例1-1】观察以下图形，回答问题：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有（2n﹣1）个三角形（用含n的代数式表示结论）．【典例1-2】一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长针对训练1【变式1-1】图中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形．【变式1-2】△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长【能力提升1】三角形【提升1-1】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？【提升1-2】在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）【提升1-3】如图所示，∠MBN＝45°，若△ABC的顶点A在射线BM上，且，点C在射线BN上运动（C不与B重合），请你探究：（1）若△ABC是直角三角形，试求线段BC的长，并将点C的位置标注在图形中；（2）探究：①当BC的值在什么范围时，△ABC是锐角三角形；②当BC的值在什么范围时，△ABC是钝角三角形．【聚焦考点2】1.三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。2.三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它所对应的边的中点的线段叫做三角形的中线。3.三角形的高从一个三角形顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。【典例剖析2】三角形有关线段【典例2-1】如图，在△ABC中，线段CD是△ABC的高．给出下列三个选项：①∠1＝∠2；②∠B＝∠ADG；③EF⊥AB．从上述三个选项中任选两个作为条件，另一个作为结论，使结论成立，并说明理由．已知：，结论：．（填序号）理由：见解析部分．【典例2-2】如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．【典例2-3】在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长针对训练2【变式2-1】如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．（1）求∠AEC的度数；（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝．​【变式2-2】已知△ABC（如图），按下列要求画图：（1）△ABC的中线AD；（2）△ABD的角平分线DM；（3）△ACD的高线CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝7．【变式2-3】如图已知：AD是△ABC的中线，AB＝7cm，AD＝5cm，△ABD的周长是18cm，求BC的长．【能力提升2】三角形有关线段【提升2-1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．【提升2-2】在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．【提升2-3】已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．【聚焦考点3】三角形的分类=1\*GB3①按角分类：三角形直角三角形=2\*GB3②按边分类三角形三边都不相等的三角形注：等边三角形是特殊的等腰三角形【典例剖析3】三角形的分类【典例3-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示(

)

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形【典例3-2】下列说法正确的是(

)A.所有的等腰三角形都是锐角三角形

B.等边三角形属于等腰三角形

C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形

D.一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形针对训练3【变式3-1】将一个直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能【变式3-2】下图是钝角三角形的是（

） B． C． D．【能力提升3】三角形的分类【提升3-1】△ABC中，已知：∠A=40°，∠B=45°，则△ABC中按角分类是（

）．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形【提升3-2】如图表示三角形的分类，则A表示的是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形【聚焦考点4】三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【典例剖析4】构成三角形的条件【典例4-1】已知a、b、c是三角形的三边长，①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．【典例4-2】如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．针对训练4【变式4-1】如图，在△BCD中，BC＝3，BD＝5．（1）若CD的长是偶数，请求出CD的值；（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．【变式4-2】已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长．【能力提升4】三角形边的关系【提升4-1】若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为②（填序号）．①4cm，2cm，1cm②1