用因式分解法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册

第二章

一元二次方程2.4用因式分解法求解一元二次方程复习导入将下列各式分解因式：(1)5x2－4x＝_____________；(2)x2－4x＋4＝___________；(3)4x(x－1)－2＋2x＝_________________；(4)x2－4＝_______________；(5)(2x－1)2－x2＝________________．x(5x－4)(x－2)22(x－1)(2x＋1)(x＋2)(x－2)(3x－1)(x－1)实践探究一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖、小明、小亮都设这个数为x.根据题意，可得方程x2＝3x.但他们的解法各不相同：小颖的解法：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0.这里a＝1，b＝－3，c＝0.∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×0＝9＞0，∴x＝.即x1＝3，x2＝0，∴这个数是3或0.

小明的解法：方程x2＝3x两边同时约去x，得x＝3，∴这个数是3.小亮的解法：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，即x(x－3)＝0.于是x＝0，或x－3＝0.∴x1＝3，x2＝0，∴这个数是3或0.解法分析(1)以上三种解法对吗？为什么？(2)三种解法分别用的是什么方法？(3)小亮的解法是我们以前学过的哪种变形？利用这种方法解方程的依据是什么？(4)你能总结一下什么是因式分解法吗？对于这道题，哪种解法更简便？当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x-4.9x2=0①

解：解：∵a=4.9,b=-10,c=0.

∴

b2－4ac=(－10)2－4×4.9×0

=100.公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0.4.9x2-10x=0.化为一般形式为因式分解如果a·

b=0，那么a=0或b=0.两个因式乘积为0，说明什么？或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根因式分解法是不是很简单？10x-4.9x2=0①

x(10-4.9x)=0②

x=010-4.9x=0归纳总结

这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.因式分解法的概念因式分解法的基本步骤一移—方程的右边=0;二分—方程的左边因式分解;三化—方程化为两个一元一次方程;四解—写出方程两个解;简记歌诀：右化零左分解两因式各求解

解下列方程：(1)5x2=4x；

(2)x(x–2)=x–2.解：(1)原方程可变形为5x2–4x=0，x(5x–4)=0，x=0，或5x–4=0.(2)原方程可变形为x(x–2)–(x–2)=0，(x–2)(x–1)=0，x–2

=0，或x

–1=0.x1

=2，x2=1.应用举例例1

用适当的方法解下列方程：(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；

(2)3x2＝4x＋1；

(3)5x2＝4x－1.方法指导：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解．能用因式分解法或直接开平方法的，选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法.例2解：(1)原方程可变形为3x(x＋5)－5(x＋5)＝0，(x＋5)(3x－5)＝0，x＋5＝0，或3x－5＝0，∴x1＝－5，x2＝

；

(2)将方程化为一般形式，得3x2－4x－1＝0.这里a＝3，b＝－4，c＝－1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，∴x＝

＝

＝

，即x1＝

，x2＝

；

(3)将方程化为一般形式，得5x2－4x＋1＝0.这里a＝5，b＝－4，c＝1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，∴原方程没有实数根．

用适当的方法解方程：(1)（5x+1）2=1；

(2)x2-12x=4.分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.解：开平方，得5x+1=±1.

解得，

x1=0,x2=

分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.解：配方,得

x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.开平方,得

解得x1=,x2=练一练填一填各种一元二次方程的解法及适用类型.一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0因式分解法概念步骤简记歌诀：右化零左分解两因式各求解如果a·b=0，那么a=0或b=0.原理将方程左边因式分解，右边=0.因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2±2ab+b2=(a±b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).课堂小结与作业随堂练习知识点1

用因式分解法求解一元二次方程1.方程(x－2)(x＋3)＝0的解是()A.x1＝x2＝2 B.x1＝x2＝－3C.x1＝2，x2＝3 D.x1＝2，x2＝－3D2.(2025·丹东东港期中)方程x2＝3x的解为()A.x1＝x2＝0 B.x1＝x2＝3C.x1＝x2＝－3 D.x1＝0，x2＝3D3.一元二次方程x(x＋1)－2(x＋1)＝0的根是________________.

x1＝－1，x2＝2

4.用因式分解法解下列方程：(1)3x(x－1)＝2(x－1)；

4.用因式分解法解下列方程：(2)x(x－3)＝5x－15；解：移项，得x(x－3)－5x＋15＝0，∴x(x－3)－5(x－3)＝0.因式分解，得(x－3)(x－5)＝0，∴x－3＝0或x－5＝0，∴x1＝3，x2＝5.4.用因式分解法解下列方程：(3)(3x－2)2＝x2.解：移项，得(3x－2)2－x2＝0.因式分解，得(3x－2＋x)(3x－2－x)＝0，∴4x－2＝0或2x－2＝0，∴x1＝0.5，x2＝1.知识点2

用适当的方法解一元二次方程5.

在下列各题的横线上填写适当的解法.(1)解方程4(x－1)2－1＝24，用_______________法较合适；(2)解方程x2＋4x＝3，用________法较合适；(3)解方程3x2－5x＋1＝0，用________法较合适；(4)解方程(x－3)2－2(x－3)＝0，用___________法较合适.

直接开平方

配方

公式

因式分解6.用适当的方法解下列方程：(1)5(x－1)2＝125；解：两边都除以5，得(x－1)2＝25.两边开平方，得x－1＝±5，即x－1＝5或x－1＝－5，∴x1＝6，x2＝－4.6.用适当的方法解下列方程：(2)x2－2x＝2x－1；

6.用适当的方法解下列方程：(3)x2－5x－1＝0；

6.用适当的方法解下列方程：(4)x2－1＝2(x＋1).解：原方程变形为(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0.因式分解，得(x＋1)(x－1－2)＝0，∴x＋1＝0或x－3＝0，∴x1＝－1，x2＝3.

易错点

方程两边都除以含未知数的式子，导致失根7.【新考法·过程性学习】小敏与小霞解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下：你认为她们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程.小敏：两边同除以x－3，得3＝x－3，∴x＝6.小霞：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0.因式分解，得(x－3)(3－x－3)＝0，∴x－3＝0或3－x－3＝0，∴x1＝3，x2＝0.解：两人的解法都错误.正确的解答过程如下：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0.因式分解，得(x－3)[3－(x－3)]＝0，即(x－3)(6－x)＝0，∴x－3＝0或6－x＝0，∴x1＝3，x2＝6.8.已知(m2＋n2)(m2＋n2＋2)－8＝0，则m2＋n2的值为()A.－4或2 B.－2或4C.4 D.2D9.三角形的两边长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程x2－25＝2(x－5)2的一个实数根，则该三角形的周长是()A.23 B.23或33C.24 D.24或30B10.用因式分解法解下列方程：(1)2(t－1)2＋t＝1；

10.用因式分解法解下列方程：(2)(2x－1)2＝(x－2)2.解：移项，得(2x－1)2－(x－2)2＝0.因式分解，得[(2x－1)－(x－2)][(2x－1)＋(x－2)]＝0，即(x＋1)(3x－3)＝0，∴x＋1＝0或3x－3＝0，∴x1＝－1，x2＝1.11.(2025·沈阳浑南区期中)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称该方程为“倍根方程”.例如，方程x