浙江省杭州市西湖区之江中学2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省杭州市西湖区之江中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=(1+i)2的虚部为(

)A.−2 B.2 C.−2i D.2i2.直线3x−3y−1=0的倾斜角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°3.已知圆C的标准方程为(x−1)2+yA.(1,0)，r=13 B.(1,0),r=13

C.(−1,0)，r=13 4.椭圆x26+yA.106 B.104 C.5.在等差数列{an}中，a3=8，aA.19 B.18 C.17 D.206.平面向量a与b的夹角为60°，且|a|=3，b为单位向量，则|aA.3 B.19 C.19 7.在△ABC中，acosA=bcosB，则△ABC的形状是(

)A.等腰直角三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.在三棱锥O−ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA，则直线AE与平面ABC所成角的正弦值为(

)A.36 B.312 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有A.{an2} B.{an10.已知直线l1：3x+ay+1=0，l2：(a+2)x+y+a=0，则(

)A.当a=3时，直线l1的倾斜角为60° B.当a=−32时，l1⊥l2

C.若11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱A1D1，CDA.MN⊥BD

B.MN/​/A1B

C.点P的轨迹长度为π

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(x,1),x∈R,b=(2,4)，若a/​/b，则13.掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于

．14.已知两定点A(0,2)，B(2,1)，且点P是直线x+y−1=0上任意一点，则|PA|+|PB|的最小值是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据以该区间的中点值为代表)．

(1)求a的值；

(2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数(结果保留两位小数)；16.(本小题15分)

已知直线l：x−y+2=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点．

(1)求|AB|；

(2)17.(本小题15分)

已知Sn为数列{an}的前n项和，3Sn=(n+2)an，a1=1．

(1)求{an18.(本小题17分)

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，|AB|=|AD|=2，|CD|=4，M为CE的中点．

(1)求证：BF//平面CDE；

(2)求二面角M−DB−C的正切值．19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为22，点P为C上一点，△PF1F2周长为22+2，其中O为坐标原点．

(1)求C的方程；

(2)直线l：y=x+m1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】AB

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】1213.【答案】53614.【答案】3

15.【答案】根据题意可得(0.002+0.004+0.008+0.016+0.020+a+0.026)×10=1，

解得a=0.024

根据题意可得众数为60+702=65，

因为前几组的频率依次为0.02，0.08，0.2，0.26，

所以中位数为在(60,70)内，且为16.【答案】解：(1)由题意知，圆心C(0,0)，半径r=2，

所以圆心C到直线x−y+2=0的距离为d=|2|2=1，

所以12|AB|=r2−d2=3，所以|AB|=23；

(2)当切线的斜率k不存在时，因为过点P(2,−4)，其方程为x=2，

圆心到直线的距离为|2−0|=2，满足题意；

当切线斜率k存在时，设切线为y+4=k(x−2)，即kx−y−4−2k=0，

∵圆心17.【答案】由已知3Sn=(n+2)an，

当n≥2时，3Sn−1=(n+1)an−1，

则3an=3Sn−3Sn−1=(n+2)an−(n+1)an−1，

化简可得anan−1=n+1n−1，

则ana1=n+1n−118.【答案】证明：正方形ADEF中，AF/​/DE．

因为AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，所以AF//平面CDE．

梯形ABCD中，AB/​/CD．

因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB/​/平面CDE．

又AF，AB⊂平面ABF，AF∩AB=A，

所以平面ABF/​/平面CDE．

又BF⊂平面ABF，

所以BF/​/平面CDE

正方形ADEF中，DE⊥AD，

因为正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，

所以DE⊥平面ABCD．

又CD⊂平面ABCD，所以DE⊥CD．

又AD⊥CD，所以AD，CD，DE两两垂直，

所以以D为原点，以DA，CD，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，

因为M为CE的中点，所以M(0,2,1)．

则DB=(2,2,0)，DM=(0,2,1)．

设平面MDB的法向量为n=(x,y,z)，

则DB⊥nDM⊥n，则DB⋅n=0DM⋅n=0，即2x+2y=02y+z=0，

令x=1，则y=−1，z=2，所以n=(1,−1,2)．

因为DE⊥平面ABCD，所以平面BDE⊥平面ABCD，DE=(0,0,2)即为平面BCD的一个法向量．

则二面角M−DB−C为锐二面角．

设锐二面角M−DB−C的平面角为α19.【答案】解：(1)设焦距为2c，

依题意得，ca=22,2a+2c=22+2,解