2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（18）抛物线方程及其性质（新高考地区专用）（含答案或解析）

2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（18）抛物线方程及其性质一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.1．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（）A． B． C． D．2．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（）A．米 B．米C．米 D．米3．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（）A．4 B． C．5 D．4．设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.5．已知P为抛物线上的一动点，过P作y轴的垂线，垂足为B，点Q是圆上的一动点，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.56．已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（）A. B. C. D.7．已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（）A B. C. D.8．已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（）A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为810．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A．直线的斜率为 B．C． D．11．在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（）A.开口向上的抛物线的方程为B.C.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D.阴影区域的面积不大于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则.13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为.14.若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为.2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（18）抛物线方程及其性质一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.1．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设抛物线的标准方程为，将点点代入，得，解得，所以抛物线的标准方程是.故选：B2．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为，则，所以点到桥面的距离为米．故选：A.3．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（）A．4 B． C．5 D．【答案】B【解析】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去；设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得，，设，，则，因为面积是面积的两倍，所以，则，解得，则，则，解得，故，则.故选：B4．设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.5．已知P为抛物线上的一动点，过P作y轴的垂线，垂足为B，点Q是圆上的一动点，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】抛物线的焦点为F1,0,圆心,半径，连接,由抛物线定义可得,故，当且仅当三点共线，且在之间时取等号，故选：D6．已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知F1,0，直线的斜率不为0，设直线的方程为，Ax1,y1联立整理得，则，.∴.∵，∴四边形为平行四边形.∵点的横坐标为3，∴，解得.∴.点到直线的距离为，∴平行四边形的面积为.故选：A.7．已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为1，所以，即抛物线方程为，焦点为，设直线方程为，设，由得，所以，，抛物线方程为，，所以，切线方程为，又，所以切线方程为，令得，令得，，，，，∴，故选：D.8．已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由点在抛物线的准线上，可得，即，所以抛物线C的方程为，焦点，准线方程为，设则，由，可得，即，整理得，又，所以，解得或，点B位于第一象限，所以，，且，显然不满足垂直，所以，所以，所以.故选:D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（）A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8【答案】AC【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误.故选：AC10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.11．在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（）A.开口向上的抛物线的方程为B.C.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D.阴影区域的面积不大于【答案】BCD【解析】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A错误；对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，由图象的对称性，可得、，故，即B正确；对于C，设直线与抛物线相切，联立可得，由可得，且方程即为，解得，，此时，切点坐标为，设直线与抛物线相切，联立可得，由可得，此时方程即为，解得，，此时，切点坐标为2,1，两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线垂直，故当、时，取最大值，且其最大值为，C对；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.如图，对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为，所以，抛物线在点处的切线方程为，即，该切线交轴于点，所以，半个花瓣的面积必小于，故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则.【答案】5【解析】抛物线的准线方程为，设点的坐标为，则，因为点到直线的距离为，所以点到准线的距离为，由抛物线定义可得.故答案为：.13.已知抛物线的