高二升高三数学暑假作业01 等差数列、等比数列的通项公式及前n项和（解析版）

限时练习：90min完成时间：月日天气：作业01等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等差数列的定义从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示数学表达式通项公式，，，等差数列通项公式与函数关系令，，等差数列为一次函数等差中项若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项等差数列通项公式的性质（1）若，或（2）若，为等差数列，则，仍为等差数列等差数列前n项和或等差数列前n项和与函数关系令，，等差数列前项和公式是无常数项的二次函数等差数列前n项和的性质，，……仍成等差数列为等差数列推导过程：（一次函数）为等差数列证明数列为等差数列的方法（1）（为常数）为等差数列（2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数）（3）若，则，，三个数成等差数列等比数列的定义从第二项开始，后一项与前一项的比为同一个常数，这个数列是等比数列，这个常数是等比数列的公比，用表示数学表达式通项公式，，，等比数列通项公式与函数关系等比数列为指数型函数等比中项若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项等比数列通项公式的性质（1）若或（2）若，为等比数列，则，仍为等比数列等比数列前n项和等比数列前n项和与函数关系等比数列前项和公式是指数型函数等比数列前n项和的性质（1），，……仍成等比数列（2）证明数列为等比数列的方法（1）（为常数）为等比数列（2）若,则，，三个数成等比数列一、单选题1．在等差数列中，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列下标和性质直接求解即可.【详解】，，.故选：D.2．等差数列中，设前项和为，，则等于（

）A．80 B．85 C．90 D．95【答案】B【分析】由等差数列的前项和公式和等差中项的性质计算即可.【详解】由题意可得，故选：B.3．在等比数列中，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为，，解得.故选：B.4．设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差数列前项和公式及下标和定理计算即可．【详解】数列和都为等差数列，且，则，故选：B．5．已知等差数列，等比数列，满足，，则（

）．A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据等差数列和等比数列的性质计算即可得出结果.【详解】数列是等差数列，，可得，即，数列是等比数列，，可得，可得，则．故选：B．二、多选题6．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断.【详解】依题，，解得故A错误，B正确；则，，故C错误，D正确.故选：BD.7．记为等差数列的前项和，公差，则下列表述一定正确的有（

）A．，，成等差数列B．，，成等比数列C．若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则D．若，则当或时，取得最小值【答案】ACD【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质分析A、C、D，由等差数列前项和的性质以及等比数列的定义分析B．【详解】对于A，为等差数列的前项和，则，，，又，即，所以，，成等差数列，故A正确；对于B，，，，因为，即，所以，，成等差数列，因为，所以，即，故，，不成等比数列，故B错误；对于C，若等差数列的项数为，其中奇数项有项，偶数项有项，则，，所以，故C正确；对于D，若，即，则有，又由，则且单调递增，所以，所以当或时，取得最小值，故D正确．故选：ACD．8．已知正项数列是递增的等差数列，是公比为的等比数列，且满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据等差数列单调性可知A正确；利用可求得，知B正确；由基本不等式，结合等差等比数列的性质可知C正确；当时，可得，知D错误.【详解】对于A，是递增的等差数列，等差数列的公差为且，，即，A正确；对于B，，，，又，，即，，，B正确；对于C，，又，，C正确；对于D，，或；当时，，，，D错误.故选：ABC.三、填空题9．设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k=．【答案】18【分析】根据等差数列前n项和公式及下标和性质计算可得.【详解】由，所以，，即，即，由等差数列下标和性质可得.故答案为：18.10．已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为.【答案】/0.064【分析】根据条件求得，，当时，有最小值，计算求得满足此不等关系的项.【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，则，解得，则，所以.易知当时，，当时，，故的最小值为.故答案为：四、解答题11．已知等差数列满足，数列满足，数列为等比数列.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）利用等差数列基本量的运算求得公差，即可求得，再利用等比数列基本量的运算求得公比，即可求得，从而求得.（2）结合等差数列求和公式及等比数列求和公式，根据分组求和思想求解即可.【详解】（1）由数列是等差数列且，∴公差，∴，∵，∴∴数列的公比，∴，∴；（2）由得.12．已知等比数列的公比，满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据和列方程求解即可；（2）求出和，结合等差数列的通项公式，即可求出.【详解】（1）由因为，解得或（舍去），所以，所以数列的通项公式为；（2）因为，，由题意得：，即，所以．1．已知等差数列的前项和为,若，，则．【答案】【分析】设等差数列的公差为，依题意可得，求出、，即可求出，从而得到，再利用裂项相消法计算可得.【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得，所以，则，所以，所以.故答案为：2．（多选）公差为的等差数列的前项和为，若，则（

）A． B．C．中最大 D．【答案】CD【分析】由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D.【详解】A：由，得，由，得，所以，所以，故A错误；B：由选项A的分析知，，故B错误；C：因为，，，所以数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确；D：由选项A的分析知，，，，所以，且，即，所以，故D正确.故选：CD3．（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（

）A．是递减数列 B．，C． D．【答案】BCD【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，，即可判断B、C，又判断A，根据，判断D.【详解】，，∴，，∴，，∴，，且，故B、C正确；∴公差，等差数列是递增数列，故A错误；因为，，所以时，取得最小值，所以，故D正确.故选：BCD.4．已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用求出数列的公比，进而求出通项公式，求出数列的前项和，然后利用放缩法和恒成立问题的应用求出的最大值，最后得到结果．【详解】设等比数列的公比为，由，得，则，即，因为，所以，解得，所以，所以，当为奇数时，，所以，当为偶数时，，所以，所以.故选：C.5．已知各项均为正数的等比数列的首项．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可求解；（2）由错位相减法及等比数列前项和公式即可求解．【详解】（1）设数列的公比为，由已知得，，即，解得或（舍去），则．（2）数列的前项和，，上面两式相减可得所以．1．等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为.【答案】【分析】由题意，可得，进而得到，由等比数列通项公式可得，解不等式组即可求解.【详解】因为，即，所以，所以，所以，因为是公比为的等比数列，所以，解得，故.故答案为：.2．著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则，．

【答案】7/【分析】假设木桩1上原有个圆盘，要将这个圆盘全部按要求套到木桩3上，所需的最少次数为,则有如下操作：先将个圆盘从木桩1套到木桩2上，所需最少次数为，再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3上，需要1次，最后将木桩2上的个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数为，由此推出通项公式.【详解】根据题意假设木桩1上原有个圆盘，要将这个圆盘全部按要求套到木桩3上，所需的最少次数为,则有如下操作：先将个圆盘从木桩1套到木桩2上，所需最少次数为，再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3上，需要1次，最后将木桩2上的个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数为，则,,即,所以是以2为首项，1为公比的等比数列，所以,.故答案为:.3．在等差数列中，，且等差数列的公差为4.(1)求；(2)若，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；（2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论．【详解】（1）设的公差为，则，，又，所以，所以，．（2）由（1）得，所以．1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．【答案】【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：2．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.3．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.【详解】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.4．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选：B5．（2023·全国·高考真题）记为等差数