高二升高三数学暑假作业03 导数的几何意义（求切线方程）与函数的单调性、极值、最值（解析版）

限时练习：90min完成时间：月日天气：作业03导数的几何意义（求切线方程）与函数的单调性、极值、最值导数的几何意义导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为；（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程．导函数与原函数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导＞0f(x)在(a，b)上单调递增＜0f(x)在(a，b)上单调递减＝0f(x)在(a，b)上是常数函数函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．（3）极值与导数的关系是极值点是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一、单选题1．曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先对函数求导，得到，再结合，即可得解．【详解】，则，又，则所求切线方程为，即．故选：A．2．已知函数，则曲线上一点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据题意可得，求出，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】由题意可得，即，所以，所以，，则，所以曲线上一点处的切线方程为，即.故选：C.3．函数在处有极小值，则的值等于（

）A．0 B． C． D．6【答案】A【分析】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案．【详解】由题意得，因为在处有极小值，所以，解得，所以，令，解得或，故函数在和上为增函数，令，解得，故函数在上为减函数，所以在处有极小值，符合题意，所以，故选：A.4．已知函数为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性求得，结合导数的几何意义计算即可求解.【详解】当时，，则，又为R上的奇函数，所以，则，所以，得，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：C5．已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断函数为奇函数，根据奇函数的性质有：要使函数在上单调，只要函数在上单调，对函数求导，代特殊值求得，结合函数在上单调，可知在上恒成立，即可知，确定值并检验即可求解.【详解】因为，且，所以为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调；又，且，又函数在上单调，故函数在上只能单调递减，由，即，解得，当时，，时，，，故有在上恒成立，经检验知，时符合题意．故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数的单调性，判断出导数的取值情况，由此确定值并检验.二、多选题6．若函数在上单调递减，则实数值可能为（）A．5 B． C．4 D．1【答案】AC【分析】函数在上单调递减等价于在上恒成立，分离参数解出实数的取值范围.【详解】由，，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即，即在上恒成立，当时，函数，单调递增，所以，所以实数，故选：AC.7．已知函数，下列关于的说法正确的是（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．有且仅有一个零点 D．存在极大值点【答案】BC【分析】利用导数的正负的单调性和极值，即可判断ABD；令可判断D.【详解】对于AB，由题意知函数的定义域为，所以，令，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故A错误.B正确；对于D，由上可知，是的极小值点，无极大值点.故D错误；令，得，当时，，故为的唯一零点，故C正确．故选：BC8．已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有一个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】ABC【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A：，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以时取得极值，故A正确；B：因为，，，所以函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确；C：令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；D：令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C，构造函数，奇函数图象关于原点对称推出的对称性是解决本题的关键.三、填空题9．曲线在点处的切线方程是．【答案】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由斜截式求出切线方程.【详解】因为，所以，，则，即切点为，切线的斜率为，所以切线方程为.故答案为：10．函数的递增区间是．【答案】，【分析】由题意求函数定义域，再求导函数，利用，求得函数的单调递增区间即可.【详解】由题意：函数，定义域为，且，令，即，解得或，所以函数的递增区间是.故答案为：，.四、解答题11．已知函数，．(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；(2)若，过点作曲线的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）对函数求导，解出在点处的切线斜率，令斜率得即可解出的值；（2）代入化简函数，求出过点的切线方程，进而解出此切线与坐标轴围成的三角形的面积即可.【详解】（1）直线的斜率为，所以切线斜率为，由，，所以，则，所以.（2）如图：由题意知：，所以，定义域为，由，则过点作曲线的切线斜率一定存在，设切点为，设切线斜率为，则，则，又因为切线过两点，所以，所以，解得，或（舍），所以，，切线方程为，即，令，，即切线横截距为，纵截距为，所以此切线与坐标轴围成的三角形的面积为.12．已知函数.(1)当时，求在上的最值；（提示：）(2)讨论的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性求出最值即可；（2）求出导函数的零点，再由零点的大小分类讨论即可得出答案.【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，综上：，；（2），当时，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，在上恒成立，所以在上单调递减；当时，令得或，令得，所以在，上单调递减，在上单调递增；当时，令得或，令得，所以在，上单调递减，在上单调递增；综上：当时在，上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在，单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减，在上单调递增.1．已知函数在上无极值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果.【详解】由题意得，，故，因为函数在上无极值，所以在R上恒成立，当时，，设，则，当时，得，当时，得，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故，当时，，则.综上，.故选：D.2．（多选）若函数在区间上有极值，则a的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】将原函数存在极值点问题转化为导函数有异号零点问题，分离参数，转化为两函数有交点问题，数形结合求解参数范围，再结合选项判断即可.【详解】由函数得，因为函数在区间上有极值，所以在区间上有异号零点，即在区间上有异号零点，所以函数与函数的图象有交点，如图：又，由图象可知，，所以，结合选项知，a的取值可能为或.故选：BC3．若关于的方程有解，则实数m的最大值为.【答案】/【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到，然后利用导数求得函数的值域即可得到结果.【详解】由题意得，，令，则，易知单调递增，所以.令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，得.所以的最大值为.故答案为：4．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）对函数求导，对导函数中的参数进行分类讨论，即得函数的单调性；（2）法一，将不等式恒成立问题转化成求时，结合（1）的结论，通过对参数分类讨论，利用求得参数的范围；法二，将不等式运用参变分离法化成，故只须求的最大值即得参数的范围.【详解】（1）函数的定义域是，因，①若，则在上单调递增；②若，则当时，单调递减；当时，单调递增；综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增（2）法（一）：恒成立，即对（*）①若则，由（1）知，在上单调递增，而，故（*）式不成立；②若由（1）知，在上单调递减，上单调递增，则由，可得设，因在上恒成立，则在为增函数，又，故需使，即的取值范围是.法（二）：因为函数的定义域是即为，可化为.设，依题意需使.因，令，因在上恒成立，则在上是减函数，又因为，所以当时，，则在上是增函数；当时，，，则在上是减函数.所以在处取得极大值，也是最大值，即，所以.故的取值范围是.5．已知函数．(1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值．(2)若存在x使得，求实数a的取值范围．【答案】(1)3；(2).【分析】（1）求出函数的导数，由是的解集，进而求出a的值.（2）变形给定不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最小值既得.【详解】（1）函数，求导得，由函数的单调递减区间为，得是的解集，于是是方程的二根，则，解得，而当时，，由，得，符合题意，所以实数a的值是3.（2）不等式，依题意，存在正数，使得，令，求导得，显然函数在上单调递增，而，则当时，，即，当时，，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则，所以实数a的取值范围.1．若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.【详解】在曲线上任取一点，，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得，令函数，则.当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.设，所以，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，所以，所以，当时，，所以，当时，，所以，的图象如图：由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.故选：B2．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为【答案】【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值.【详解】由题意得，，．设公切线与的图象切于点，与的图象切于点，∴，∴，∴，∴，∴．设，则，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴实数的最大值为，故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值.3．若函数，且，设，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．的大小不能确定【答案】A【分析】求导后再次构造，再求导求出最大值小于零可得小于零，进而得到的单调性，然后求出结果即可.【详解】由题意可得，设，则因为，所以恒成立，故在上单调递减，所以，所以当时，，为减函数，所以，即，故选：A【点睛】方法点睛：比较不等式大小问题可构造函数，求导判断单调性进而比较大小，若一次求导不能判断单调性，可二次构造函数求导分析.1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C2．（2023·全国·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【详解】（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减（2）设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.3．（2023·全国·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析.(3).【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）令，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.（3）由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，由一次函数与对数函数的性质可得，当时，，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，，单调减，当时，，单调递增，所以.令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.4．（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.（2）由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.综上可知：实数得取值范围是.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．②函