2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期末必刷常考题之一元一次不等式与一元一次不等式组

第16页（共16页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期末必刷常考题之一元一次不等式与一元一次不等式组一．选择题（共7小题）1．（2024秋•醴陵市期末）解不等式1-A．6﹣x﹣2＜2（2x﹣1） B．1﹣x+2＜2（2x﹣1） C．6﹣x+2＜2（2x﹣1） D．6﹣x+2＜2x﹣12．（2024秋•铁锋区期末）某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（）A．6折 B．7折 C．7.5折 D．8折3．（2025•永春县模拟）不等式组x-A． B． C． D．4．（2025春•海淀区校级期中）若点G（a，3﹣a）在第四象限内，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞3 C．0＜a＜3 D．a＜0或a＞35．（2025春•海淀区校级期中）若关于x的不等式组x≥m2(A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤16．（2025春•海淀区校级期中）已知x＜y，则下列不等式成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y7．（2025春•港北区期中）定义新运算“⊗”，规定；a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2二．填空题（共5小题）8．（2025春•毕节市期中）对于实数m，n定义一种新运算“※”为m※n＝m﹣3n，例如7※2＝7﹣3×2＝1，若﹣3≤x※(x+13)＜2，则9．（2025•茂名一模）请写出一个不等式x＞3的整数解：．10．（2024秋•醴陵市期末）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为．11．（2025春•青岛期中）已知一次函数y＝ax+b的两个变量x与y的部分对应值如下表所示：x…﹣2﹣10123…y…43210﹣1…则关于x的不等式ax+b＜0的解集是．12．（2025春•海淀区校级期中）有人问一位教师所教班级有多少人，教师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一学生在读外语，还剩下不足六位学生在操场踢足球”，则这个班有名学生．三．解答题（共3小题）13．（2025春•青岛期中）（1）解不等式：﹣x+1＞2x﹣5，并把它的解集表示在数轴上；（2）解不等式组：3(x（3）解不等式组：5x14．（2025•红桥区二模）解不等式组2x请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．15．（2025•登封市二模）体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个．（1）求足球、篮球的单价；（2）因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的14

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期末必刷常考题之一元一次不等式与一元一次不等式组参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案CBCBCCB一．选择题（共7小题）1．（2024秋•醴陵市期末）解不等式1-A．6﹣x﹣2＜2（2x﹣1） B．1﹣x+2＜2（2x﹣1） C．6﹣x+2＜2（2x﹣1） D．6﹣x+2＜2x﹣1【考点】解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】C【分析】此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可．【解答】解：去分母得：6﹣x+2＜2（2x﹣1），故选：C．【点评】本题主要考查的是解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．2．（2024秋•铁锋区期末）某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（）A．6折 B．7折 C．7.5折 D．8折【考点】一元一次不等式的应用．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】B【分析】设可打x折，根据售价＝标价×打折率和利润＝售价﹣进价＝进价×利润率，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：设可打x折，由题意得：1200×0.1x﹣800≥800×5%，解得：x≥7，即最多可打7折．故选：B．【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．3．（2025•永春县模拟）不等式组x-A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】方程与不等式．【答案】C【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1；解不等式﹣3x+6≥0，得：x≤2，所以不等式组的解集为：1＜x≤2，数轴上表示为：，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．4．（2025春•海淀区校级期中）若点G（a，3﹣a）在第四象限内，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞3 C．0＜a＜3 D．a＜0或a＞3【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．【专题】一元一次不等式（组）及应用；平面直角坐标系；运算能力．【答案】B【分析】根据点G（a，3﹣a）在第四象限，可知a＞【解答】解：∵点G（a，3﹣a）在第四象限，∴a＞解得a＞3，故选：B．【点评】本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限内的点的坐标特征，列出相应的不等式组．5．（2025春•海淀区校级期中）若关于x的不等式组x≥m2(A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1【考点】解一元一次不等式组；不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】C【分析】解第二个不等式求得其解集，再根据原不等式组无解确定m的取值范围即可．【解答】解：解第二个不等式得：x＜1，∵原不等式组无解，∴m≥1，故选：C．【点评】本题考查解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．6．（2025春•海淀区校级期中）已知x＜y，则下列不等式成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y【考点】不等式的性质．【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；数感；符号意识；运算能力．【答案】C【分析】根据不等式的性质解答即可．【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去2，不等式仍成立，即x﹣2＜y﹣2，原变形错误，故本选项不符合题意；B、在不等式x＜y的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2x＜2y，原变形错误，故本选不项符合题意；C、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，在不等式﹣2x＞﹣2y的两边同时加上3，不等式仍成立，即﹣2x+3＞﹣2y+3，原变形正确，故本选项符合题意；D、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，原变形错误，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．7．（2025春•港北区期中）定义新运算“⊗”，规定；a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】解一元一次不等式．【专题】运算能力；创新意识．【答案】B【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．【解答】解：∵a⨂b＝a﹣2b，∴x⨂m＝x﹣2m．∵x⨂m＞3，∴x﹣2m＞3，∴x＞2m+3．∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，∴2m+3＝﹣1，∴m＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．二．填空题（共5小题）8．（2025春•毕节市期中）对于实数m，n定义一种新运算“※”为m※n＝m﹣3n，例如7※2＝7﹣3×2＝1，若﹣3≤x※(x+13)＜2，则【考点】解一元一次不等式；实数的运算．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】-3【分析】由新定义运算得出x※(x+13)=-2x-1【解答】解：由题意可得：x※由条件可得﹣3≤﹣2x﹣1＜2，解得：-3故答案为：-3【点评】本题考查了新定义运算、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是关键．9．（2025•茂名一模）请写出一个不等式x＞3的整数解：x＝4（答案不唯一）．【考点】一元一次不等式的整数解．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＝4（答案不唯一）．【分析】在x＞3的范围内找一个整数即可．【解答】解：不等式x＞3的一个整数解为x＝4，故答案为：x＝4（答案不唯一）．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握不等式解及解集的概念．10．（2024秋•醴陵市期末）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为12a+3＜2【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，可以用含a的不等式表示“a的一半与3的和小于2”．【解答】解：“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为：12a+3＜2故答案为：12a+3＜2【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．11．（2025春•青岛期中）已知一次函数y＝ax+b的两个变量x与y的部分对应值如下表所示：x…﹣2﹣10123…y…43210﹣1…则关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＞2．【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力．【答案】x＞2．【分析】通过一次函数与一元一次不等式的关系可知，kx+b＜0，即为y＜0．即可得到对应的x的取值范围．【解答】解：当x＝2时y＝0，根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＜的解等是x＞2．故答案为：x＞2．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键在于通过不等式与一次函数的增减性得到x的取值范围．12．（2025春•海淀区校级期中）有人问一位教师所教班级有多少人，教师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一学生在读外语，还剩下不足六位学生在操场踢足球”，则这个班有28名学生．【考点】一元一次不等式的应用．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】28．【分析】根据题意可以列出相应的不等式，又根据一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，可知该班学生一定是2、4、7的倍数，从而可以解答本题．【解答】解：设这个班有x人，由题意可得：x-整理得，2528x＜6解得x＜56，又∵一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，∴该班学生一定是2、4、7的倍数，∴x＝28，所以这个班有28名学生，故答案为：28．【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是列出相应的不等式，注意要联系实际情况和题目中的要求．三．解答题（共3小题）13．（2025春•青岛期中）（1）解不等式：﹣x+1＞2x﹣5，并把它的解集表示在数轴上；（2）解不等式组：3(x（3）解不等式组：5x【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x＜2，数轴见解答；（2）12＜x＜（3）x≥4．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案；（2）根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可；（3）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：（1）﹣x+1＞2x﹣5，移项得：﹣2x﹣x＞﹣5﹣1，合并同类项得：﹣3x＞﹣6．系数化为1得：x＜2，数轴表示为：；（2）3(x解不等式①得x＜3，解不等式②得x＞1∴原不等式组的解集为12＜x＜（3）5x解不等式①得x＞2，解不等式②得x≥4，∴原不等式组的解集为x≥4．【点评】本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质，能正确解不等式和能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．14．（2025•红桥区二模）解不等式组2x请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤3．．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（Ⅰ）x≥﹣2；（Ⅱ）x≤3；（Ⅲ）数轴表示见解答；（Ⅳ）﹣2≤x≤3；【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤3；故答案为：（Ⅰ）x≥﹣2；（Ⅱ）x≤3；（Ⅳ）﹣2≤x≤3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．15．（2025•登封市二模）体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个．（1）求足球、篮球的单价；（2）因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的14【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．【答案】（1）篮球的单价是100元，足球的单价是50元；（2）购买80个篮球、20个足球，才能使花费最少．【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，根据购买足球数量不超过篮球数量的14，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购买篮球、足球的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据题意得：100x解得：x=100答：篮球的单价是100元，足球的单价是50元；（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，根据题意得：100﹣m≤14解得：m≥80，设再次购买篮球、足球的总费用为w元，则w＝100m+50（100﹣m），即w＝50m+5000，∵50＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝80时，w取得最小值，此时100﹣m＝100﹣80＝20（个）．答：购买80个篮球、20个足球，才能使花费最少．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

考点卡片1．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．2．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．3．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．4．不等式的解集（1）不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．（3）解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的区别和联系不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．5．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．6．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．7．一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．8．由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．9．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．10．解一元一次不等