2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之正多边形和圆

第23页（共23页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之正多边形和圆一．选择题（共7小题）1．（2025•献县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中扇形BAF的面积是（）A．13π B．23π C．22．（2025•江海区校级一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出π≈3．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°3．（2024秋•怀仁市期末）如图，购物车和物品放在一起的形状可以近似看作正五边形，已知正五边形ABCDE，连接EC，则∠CEA的度数为（）A．50° B．60° C．62° D．72°4．（2024秋•襄都区期末）⊙O是边长为4的正六边形ABCDEF的外接圆，点M在DF上，连接BM，则BM的长可以是（）A．5 B．6 C．7 D．95．（2025•德州一模）如图，AB、AC分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边．则∠BAC的度数是（）A．4° B．5° C．6° D．12°6．（2024秋•迪庆州期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（）A．4 B．33 C．23 D7．（2024秋•绵阳期末）如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，O为正六边形ABCDEF的中心，M、N分别为AB边和CD边上的点，且∠MON＝120°，则阴影部分的面积为（）A．1 B．3 C．2 D．2二．填空题（共5小题）8．（2025•建邺区一模）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线CG，BE交于点P，则∠GPE＝°．9．（2025•海陵区一模）如图，点O是边长为1的正六边形的中心，以OA为半径的扇形的圆心角∠AOB＝60°，OA=3，则阴影部分的面积为10．（2025•合肥校级二模）如图，在正n边形中，∠1＝18°，则n的值是．11．（2025•沛县二模）如图，⊙O与正五边形OABCD的边OA，OD分别交于点E，F，则劣弧EF所对的圆周角∠EPF的大小为°．12．（2024秋•韩城市期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝°．三．解答题（共3小题）13．（2025•邯郸模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，点M是边DE的中点，连接AM并延长交CD延长线于N点．（1）求证：AF∥CN；（2）若AF＝2，求DN的长．14．（2024秋•馆陶县期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．15．（2023秋•上城区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．（1）求正六边形ABCDEF的边长；（2）求阴影部分的面积．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之正多边形和圆参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BCDCCBD一．选择题（共7小题）1．（2025•献县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中扇形BAF的面积是（）A．13π B．23π C．2【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】B【分析】根据正六边形的性质求出∠A的度数，再由扇形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF=(6-2)×180°∴S扇形故选：B．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．2．（2025•江海区校级一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出π≈3．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°【考点】正多边形和圆；解直角三角形．【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】根据正多边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系计算正多边形的周长与直径的比值即可．【解答】解：如图，连接OA1，OA2，过点O作OM⊥A1A2，垂足为M，设⊙O的半径为R，∵十二边形A1A2…A12是圆内接正十二边形，∴∠A1OA2=360°12又∵OA1＝OA2，OM⊥A1A2，∴∠A1OM＝15°，在Rt△A1OM中，∠A1OM＝15°，OA1＝R，∴A1M＝R•sin15°，∴A1A2＝2A1M＝2R•sin15°，∴正十二边形A1A2…A12的周长为12A1A2＝2R•sin15°×12，∴π=2R故选：C．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正十二边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．3．（2024秋•怀仁市期末）如图，购物车和物品放在一起的形状可以近似看作正五边形，已知正五边形ABCDE，连接EC，则∠CEA的度数为（）A．50° B．60° C．62° D．72°【考点】正多边形和圆；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；推理能力．【答案】D【分析】根据正五边形ABCDE的性质得出DE＝DC，∠D＝∠DEA＝108°，再根据三角形内角和定理、等边对等角求出∠DEC＝∠DCE，即可求出∠CEA的度数．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴DE＝DC，∠D＝∠DEA=(5-2)×180°5∴∠DEC＝∠DCE=180°-108°2∴∠CEA＝∠DEA﹣∠DEC＝108°﹣36°＝72°，故选：D．【点评】本题考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．4．（2024秋•襄都区期末）⊙O是边长为4的正六边形ABCDEF的外接圆，点M在DF上，连接BM，则BM的长可以是（）A．5 B．6 C．7 D．9【考点】正多边形和圆；勾股定理．【专题】正多边形与圆．【答案】C【分析】连接BE，BD，过点C作CH⊥BD于点H，则BM的长介于BE和BD之间，分别求出BE和BD的长，再结合选项即可得到问题答案．【解答】解：连接BE，BD，过点C作CH⊥BD于点H，由题意可得：∠BCD＝∠CDE＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∴∠CBH＝∠CDB＝30°，∠BDE＝90°，∴CH=由勾股定理可得：BH=∴BD=2∴BE=∴43故选：C．【点评】本题考查了正多边形，以及勾股定理等知识，正确进行计算是解题关键．5．（2025•德州一模）如图，AB、AC分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边．则∠BAC的度数是（）A．4° B．5° C．6° D．12°【考点】正多边形和圆；圆周角定理．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】C【分析】根据正多边形内角的计算方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，∠BAC=12×=12×（120=12＝6°．故选：C．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形、正六边形内角的计算方法是正确解答的关键．6．（2024秋•迪庆州期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（）A．4 B．33 C．23 D【考点】正多边形和圆．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出BC＝OB＝2，由垂径定理求出BM，再由勾股定理求出OM即可．【解答】解：连接OB、OC，如图所示：则∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴BM＝CM=12BC＝∴OM=62-故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．7．（2024秋•绵阳期末）如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，O为正六边形ABCDEF的中心，M、N分别为AB边和CD边上的点，且∠MON＝120°，则阴影部分的面积为（）A．1 B．3 C．2 D．2【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】由正六边形的性质可得△BOC和△COD为等边三角形，进而可得OH=3，再证明△OBM≌△ODN（ASA），得到S△OBM≌S△ODN，即得S阴影＝2S△【解答】解：边长为2的正六边形ABCDEF中，O为正六边形ABCDEF的中心，如图，连接OB、OC、OD，过点O作OH⊥BC于H，∴∠BOC＝∠COD＝60°，OB＝OC＝OD，∠ABC＝120°，∴△BOC和△COD为等边三角形，∠BOD＝120°，∴OB＝BC＝2，∠OBC＝∠ODC＝60°，∴∠OBM＝120°﹣60°＝60°，∴∠OBM＝∠ODN，∵OH⊥BC，∴BH=∴OH=∵∠MON＝120°，∠BOD＝120°，∴∠BOM+∠BON＝∠DON+∠BON，∴∠BOM＝∠DON，在△OBM和△ODN中，∠BOM∴△OBM≌△ODN（ASA），∴S△OBM≌S△ODN，∴S阴影故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正六边形的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）8．（2025•建邺区一模）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线CG，BE交于点P，则∠GPE＝67.5°．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；推理能力．【答案】67.5．【分析】根据正八边形的性质得出CG是它的一条对称轴，BE∥CD，∠BCD＝135°，即可得出∠DCG的度数，从而求出∠GPE的度数．【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴CG是它的一条对称轴，BE∥CD，∠BCD=(8-2)×180°8∴∠DCG=12∠BCD＝∴∠GPE＝∠DCG＝67.5°，故答案为：67.5．【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．9．（2025•海陵区一模）如图，点O是边长为1的正六边形的中心，以OA为半径的扇形的圆心角∠AOB＝60°，OA=3，则阴影部分的面积为2π【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】2π【分析】根据正六边形的性质，全等三角形的判定和性质以及扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，设正六边形的边长CD，连接OC，OD，则∠COD＝60°，OC＝OD＝CD＝1，∵∠AOB＝60＝∠COM＝∠CON，∠COD＝60°＝∠DON+∠CON，∴∠COM＝∠DON，∵∠ODN＝∠OCM，OC＝OD，∴△COM≌△DON（ASA），∴S四边形OMCN＝S△COD，∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S四边形OMCN＝S扇形OAB﹣S△COD=60π×(=π=2故答案为：2π【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键．10．（2025•合肥校级二模）如图，在正n边形中，∠1＝18°，则n的值是20．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；几何直观；推理能力．【答案】20．【分析】根据圆周角定理求出中心角的度数，求出n的值即可．【解答】解：在正n边形中，∠1＝18°，如图，点O为外接圆的圆心，连接OA，OB，OC，∴∠AOC＝2∠1＝36°，∠AOB＝∠BOC，∴∠AOB＝18°，∴n=故答案为：20．【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是熟练掌握正n边形的内角和定理．11．（2025•沛县二模）如图，⊙O与正五边形OABCD的边OA，OD分别交于点E，F，则劣弧EF所对的圆周角∠EPF的大小为54°．【考点】正多边形和圆；圆周角定理．【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；几何直观；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】首先求得正五边形OABCD的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．【解答】解：∵五边形OABCD是正五边形，∴∠AOD即∠EOF＝108°，∴∠EPF故答案为：54．【点评】此题考查了圆周角定理与正五边形的性质，解答本题的关键是注意掌握正五边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．12．（2024秋•韩城市期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝36°．【考点】正多边形和圆；多边形内角与外角；圆周角定理．【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接OA，OB，OB交AF于J．由垂径定理得出∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，由等腰三角形的性质得出答案．【解答】解：连接OA，OB，OB交AF于J．∵OF⊥BC，∴BF=∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，∴∠AOF＝108°，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝∠FOJ＝36°，故答案为：36．【点评】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．三．解答题（共3小题）13．（2025•邯郸模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，点M是边DE的中点，连接AM并延长交CD延长线于N点．（1）求证：AF∥CN；（2）若AF＝2，求DN的长．【考点】正多边形和圆；相似三角形的判定与性质；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；正多边形与圆；几何直观；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）43【分析】（1）连接BE，利用正六边形的对称性质证出∠FEB＝∠BED＝60°，然后得出AF∥BE，CN∥BE，进而即可得解；（2）延长AF、DE交于G点，先证出△GEF是等边三角形，再证出AG＝4，GM＝3，DM＝1，由△AGM∽△NDM得出AGDN【解答】解：（1）六边形ABCDEF是正六边形，如图1，连接BE，∴∠F＝∠CDE＝∠DEF＝120°，BE是正六边形的对称轴，∴∠FEB＝∠BED＝60°，∴∠F+∠FEB＝180°，∴AF∥BE，同理可证CN∥BE，∴AF∥CN；（2）延长AF、DE交于G点，如图2，∴∠GFE＝∠GEF＝60°，∴△GEF是等边三角形，∴FG＝GE＝EF＝AF＝2，∴AG＝4，GM＝3，DM＝1，∵AF∥CN，∴△AGM∽△NDM，∴AGDN∴DN=【点评】本题主要考查了正多边形和圆，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．14．（2024秋•馆陶县期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；圆周角定理．【专题】矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）∠BOM的度数是135°．【分析】（1）由AB＝DC，得AB=DC，而AM=DM，可推导出BM=（2）连接OB、OM、OC，由∠BOC=14×360°＝90°，得∠BOM+∠COM＝270°，由BM＝CM，得∠BOM＝∠COM，则2∠BOM＝270°，求得∠BOM【解答】（1）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝DC，∴AB=∵M为AD的中点，∴AM=∴AB+∴BM=∴BM＝CM．（2）解：连接OB、OM、OC，∵∠BOC=14×360∴∠BOM+∠COM＝360°﹣∠BOC＝270°，∵BM＝CM，∴∠BOM＝∠COM，∴2∠BOM＝270°，∴∠BOM＝135°，∴∠BOM的度数是135°．【点评】此题重点考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出BM=15．（2023秋•上城区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．（1）求正六边形ABCDEF的边长；（2）求阴影部分的面积．【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】（1）4；（2）8π3-【分析】（1）根据圆内接正六边形的性质以及正三角形的性质进行计算即可；（2）由扇形面积、三角形面积公式以及图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，则CG⊥OD，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴△COD是正三角形，∴∠COD＝60°，∵CG⊥OD，∴OG＝DG=12OD＝∴OC＝2OG＝4，即正六边形的边长为4；（2）在Rt△COD中，OG＝2，∠COG＝60°，∴CG=3OG＝23∴S阴影部分＝S扇形COD﹣S△COD=60π×42=8π3【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正多边形和圆的性质，以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．

考点卡片1．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．2．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．3．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．5．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．8．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．9．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．10．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径