2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之垂径定理

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之垂径定理一．选择题（共8小题）1．（2024秋•海港区期末）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA为（）A．6米 B．274米 C．7米 D．252．（2024秋•银川校级期末）如图半径为5的⊙A与y轴交于B（0，2），C（0，10），则点A的坐标为（）A．（3，6） B．（3，5） C．（2，4） D．（2，3）3．（2024秋•谯城区期末）如图，在⊙O中，半径OA的长为42，圆心O到AB的距离OE＝4，则弦ABA．4 B．42 C．8 D．4．（2024秋•阳谷县期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，则OP的长可能是（）A．8 B．6 C．4 D．25．（2024秋•元阳县期末）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E．若AB＝16，CE＝4，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．6 D．106．（2025•武汉模拟）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（）A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm7．（2024秋•迪庆州期末）工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个槽孔的宽口AB的长度为（）A．6mm B．8mm C．10mm D．52mm8．（2025•惠城区一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm二．填空题（共4小题）9．（2024秋•蒙城县期末）如图，半径为6的⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰好经过圆心O．则弦AB的长为．10．（2025•罗湖区校级模拟）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为m．11．（2025春•惠山区期中）如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC＝5，AP＝2，则弦CD＝．12．（2025•厦门模拟）《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二面一．”即：弓形面积＝（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦AB长为12m，矢CD长为23m，用弧田术计算其面积，与实际的误差为.(3三．解答题（共3小题）13．（2024秋•阜平县期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M，已知CD＝2m，EM＝3m．（1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；（2）求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）．14．（2024秋•清苑区期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？15．（2025•河北模拟）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点．点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M．已知CD=603cm，FM＝30cm，ME＝（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之垂径定理参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DACCABBD一．选择题（共8小题）1．（2024秋•海港区期末）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA为（）A．6米 B．274米 C．7米 D．25【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】设圆的半径长是x米，由垂径定理得到AD=12AB＝6（米），由勾股定理得到x2＝（8﹣x）2+62，求出x=25【解答】解：设圆的半径长是x米，∴OA＝OC＝x米，∴OD＝CD﹣OC＝（8﹣x）米，∵CD⊥AB，∴AD=12AB=12∵OA2＝OD2+AD2，∴x2＝（8﹣x）2+62，∴x=25∴圆的半径OA为254故选：D．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点列出关于x的方程．2．（2024秋•银川校级期末）如图半径为5的⊙A与y轴交于B（0，2），C（0，10），则点A的坐标为（）A．（3，6） B．（3，5） C．（2，4） D．（2，3）【考点】垂径定理；坐标与图形性质．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】A【分析】过点A作AD⊥BC与D，连接AB，根据点B和点C的坐标求出BC，再根据垂径定理求出BD＝CD＝4，根据勾股定理求出AD即可，继而即可求解坐标【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接AB，∵⊙A的半径为5，B（0，2）、C（0，10），∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，∵AD⊥BC，AD过圆心A，∴CD＝BD＝4，∴OD＝2+4＝6，∴AD=∴A（3，6）故选：A．【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．3．（2024秋•谯城区期末）如图，在⊙O中，半径OA的长为42，圆心O到AB的距离OE＝4，则弦ABA．4 B．42 C．8 D．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】推理能力．【答案】C【分析】先由垂径定理得到AE=BE=12【解答】解：∵AB是⊙O的弦，OE⊥AB，∴由垂径定理可知AE=∵OA=42，OE＝∴AE=∴AB＝2AE＝8，故选：C．【点评】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆中求线段长的方法是解决问题的关键．4．（2024秋•阳谷县期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，则OP的长可能是（）A．8 B．6 C．4 D．2【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】C【分析】根据点P的位置，OP为半径时，最长，OP⊥AB时，最短，求出OP的取值范围，即可得出结果．【解答】解：当点P与点A或点B重合时，OP为半径，长度最长为5；当OP⊥AB时，由垂线段最短，可知此时OP最短，∵OP⊥AB，∴AP=∴OP=∴3≤OP≤5，∴OP的长可能是4；故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理，根据题意得出当点P与点A或点B重合时，OP为半径，长度最长为5；当OP⊥AB时，由垂线段最短是解题的关键．5．（2024秋•元阳县期末）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E．若AB＝16，CE＝4，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．6 D．10【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】A【分析】根据垂径定理求出AE，设⊙O的半径为r，在Rt△AOE中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．【解答】解：∵AB⊥CD，AB＝16，∴AE=12AB＝设⊙O的半径为r，则OE＝OC﹣CE＝r﹣4，在Rt△AOE中利用勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即82+（r﹣4）2＝r2，解得r＝10．故选：A．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．6．（2025•武汉模拟）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（）A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】由垂径定理求出BN，CM的长，设ON＝x，由勾股定理得到（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长．【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，∴MN＝3.5cm，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴CM=12设ON＝xcm，∴OM＝MN﹣ON＝（3.5﹣x）cm，∵OM2+MC2＝OC2，ON2+BN2＝OB2，∴OM2+MC2＝ON2+BN2，∴（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，∴12.25﹣7x+x2+4＝x2+2.25，∴7x＝14，∴x＝2，∴ON＝2（cm），∴OB=∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．故选：B．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．7．（2024秋•迪庆州期末）工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个槽孔的宽口AB的长度为（）A．6mm B．8mm C．10mm D．52mm【考点】垂径定理的应用．【专题】常规题型；圆的有关概念及性质．【答案】B【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD＝3mm，在Rt△AOD中，∵AD=OA2∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．（2025•惠城区一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm【考点】垂径定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】D【分析】连接AB、CD交于点D，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接AB、CD交于点D，由题意得，OC⊥AB，则AD=设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，则该铁球的直径为10cm，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．二．填空题（共4小题）9．（2024秋•蒙城县期末）如图，半径为6的⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰好经过圆心O．则弦AB的长为63．【考点】垂径定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】63【分析】连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于F交⊙O于E，勾股定理求出AF=【解答】解：连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于F交⊙O于E．∴AF＝BF，∵半径为6的⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰好经过圆心O，∴AB垂直平分线段OE，OF＝EF＝3，∵OA＝OE＝6，∴AF=∴AB=2故答案为：63【点评】本题考查的是翻折变换，垂径定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（2025•罗湖区校级模拟）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为134m．【考点】垂径定理的应用．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】134【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝x﹣2，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．【解答】解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝3m，设B半径OC＝xm，则DO＝（x﹣2）m，由勾股定理可得：x2＝（x﹣2）2+32，解得：x=13∴这座桥桥拱半径为134m故答案为：134【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．11．（2025春•惠山区期中）如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC＝5，AP＝2，则弦CD＝8．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】8．【分析】先根据题意得出OP的长，再由勾股定理的长PC的长，根据垂径定理即可得出结论．【解答】解：∵OC＝5，AP＝2，∴OP＝OA﹣AP＝5﹣2＝3，∵CD⊥OA于点P，∴∠OPC＝90°，CD＝2PC，∴PC=OC∴CD＝8．故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．12．（2025•厦门模拟）《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二面一．”即：弓形面积＝（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦AB长为12m，矢CD长为23m，用弧田术计算其面积，与实际的误差为1.2.(3【考点】垂径定理的应用；扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】1.2．【分析】设圆心为O，连接OA，OB，设OA＝OC＝r．利用勾股定理求出r，再利用两种方法求出弓形面积即可．【解答】解：设圆心为O，连接OA，OB，设OA＝OC＝r．∵OC⊥AB，∴AD＝DB=12AB=12×12＝6∴∠AOC＝∠BOC，在Rt△ADO中，r2＝62+（r﹣23）2，解得r＝43，∴sin∠AOD=AD∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，∴弓形实际面积=120π×(43)2360-12另外弧田术计算弓形面积=12×（12×23+23×∴用弧田术计算其面积，与实际的误差为＝16π﹣123-123-6≈故答案为：1.2．【点评】本题考查垂径定理，扇形的面积，解题的关键是理解题意，正确计算．三．解答题（共3小题）13．（2024秋•阜平县期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M，已知CD＝2m，EM＝3m．（1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；（2）求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）．【考点】垂径定理；勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）CM＝DM；（2）103m【分析】（1）由垂径定理，即可得到答案；（2）由勾股定理得到r2＝（3﹣r）2+12，求出r=5【解答】解：（1）∵EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，∴CM＝DM；（2）连接OC，设⊙O的半径是rm，∴OM＝EM＝OE＝（3﹣r）m，由（1）知CM=12CD=12×2∵OC2＝OM2+CM2，∴r2＝（3﹣r）2+12，∴r=5∴这个月亮门的最大宽度是2r＝2×53=【点评】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到CM＝DM，由垂径定理、勾股定理列出关于r的方程．14．（2024秋•清苑区期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？【考点】垂径定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】（1）5米；（2）2米．【分析】（1）作OD⊥AB于点E，根据垂径定理得AE＝3米，设圆的半径为r米，根据勾股定理得AE2+OE2＝OA2，即可求出答案；（2）当AB＝8米时，AE＝4，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D，则AE=12AB＝3米，DE＝设圆的半径为r米，在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，∴32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∴该圆的半径为5米；（2）如图，当AB＝8米时，AE=12AB＝在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，∴42+OE2＝52，∴OE＝3米，∴DE＝5﹣3＝2（米），答：水面下盛水筒的最大深度为2米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．15．（2025•河北模拟）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点．点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M．已知CD=603cm，FM＝30cm，ME＝（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】垂径定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OD，先证明OE⊥CD，再由垂径定理得到DF=303cm，然后设⊙O的半径OD＝OM＝r，在Rt△ODF中，利用勾股定理得到OD2＝OF2+（2）由OE＝OM+ME＝80，求出等边△OAB的边长，再分别求出S△OAB，S扇形POQ，最后根据S阴影＝S△OAB﹣S扇形POQ计算即可．【解答】解：（1）∵OE⊥AB，CD∥AB，∴OE⊥CD，∴DF=∵CD=60∴DF=30如图，连接OD，设⊙O的半径OD＝OM＝r，∴OF＝OM﹣FM＝r﹣30，在Rt△ODF中，r2解得r＝60，即⊙O的半径为60cm；（2）∵△OAB为等边三角形，∴∠OBE＝∠BOE＝60°，AB＝OB，∵OE⊥AB，∴∠BEO＝90°，BE=∴OE＝OM+ME＝60+20＝80cm，在Rt△BOE中，AB解得AB=∴S△∵S扇形∴S阴影【点评】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积，熟练掌握以上知识点是关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数