专项复习：相似三角形几何模型（一线三等角）（培优练）

相似三角形几何模型（一线三等角）（培优练）模型：一线一线三直角型一线三等角1．（2023春·北京西城·九年级北京四中校考开学考试）如图，在四边形中，，，点在上，．（1）求证：；（2）若，，，求的长．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，直角梯形中，，，点E在边上，且，，求的面积．3．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）如图，在中，，在边上，是边上一点，若，，，求的长

4．（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，矩形中，E为上一点，把沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．

（1）求证：；（2）若，，求的长．5．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．（1）求证：；（2）求的面积．6．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在中，，，E，D分别是，上的点．，若，．求的长．

7．（2023秋·甘肃白银·九年级统考期末）如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点．（1）求证：．（2）若，求的长．8．（2023秋·四川达州·九年级统考期末）如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使．（1）求证：；（2）当为直角三角形时，求线段长度．9．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，P为上一点，，连接．（1）求证：；（2）若，，，求的长．10．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）如图，有一块矩形塑料模料，长为10cm，宽为4cm．将你的手中足够大的直角三角板的直角顶点落在边上（不与、重合），在上适当移动三角板顶点．当三角板两直角边刚好分别通过点与点时，求的长．

11．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，在中，边绕点B顺时针旋转与重合，点D、E分别在边上，.（1）求证：；（2）若，，求的边长.12．（2023·福建厦门·校联考二模）如图，在正三角形中，是边上任意一点，且．（1）求证：；（2）若，，求的长．13．（2022秋·江苏南通·九年级统考阶段练习）如图，已知中，，点D，E分别在边上，．（1）求证：；（2）若，求点E到的距离．14．（2023春·四川达州·八年级校考期末）如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持

（1）当是等腰三角形时，求的长；（2）当时，求的长．15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，点在上，．（1）求证：．（2）若，，，求的长．参考答案1．（1）见分析；（2）7【分析】（1）由，，可得出，再由等角的余角相等可得出，即可证明结论；（2）根据相似三角形的性质即可求出的长度，结合即可求出的长度．解：（1）证明：∵，，∴，，∴．，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，即，解得:．∴．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．24【分析】先证明可得，再说明；设，由勾股定理可求得，进而求得，最后根据三角形的面积公式计算即可．解：，，．又，．．．，．．在中，，设∴,即，解得：．．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，根据题意证得并灵活运用相似的性质是解答本题的关键．3．【分析】根据得到，结合即可得到，从而得到，即可得到答案；解：∵，∴，∵∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质得到三角形相似．4．（1）见分析；（2）长为．【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据翻折变换的性质得到，结合图形利用角之间的互余关系推出，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）根据矩形的性质及翻折变换的性质推出，从而利用勾股定理求得，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．解：（1）证明：四边形是矩形，，沿翻折得到，，，，，；（2）解：，，，在中，，，由（1）可得：，，即，解得，故长为．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换的性质是解题的关键．5．（1）证明见分析；（2）9【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用相似三角形的性质可得，从而可得，再证，利用相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得．解：（1）证明：四边形是正方形，，，，，，在和中，，．（2）解：∵在正方形中，，点为的中点，，，，由（1）已证：，，即，解得，，又，，，即，解得，则的面积为．【点拨】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．6．【分析】由直角三角形的性质求出，，证明，由相似三角形的性质求出的长即可解答．解：在中，，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点列出等量关系是解题的关键．7．（1）见分析；（2）10【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可．解：（1）证明：四边形是正方形，，，，．（2）四边形是正方形，．为的中点，，在中，由勾股定理得，，解得．【点拨】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．8．（1）见分析；（2）或【分析】（1）由题意易得，则有，证明，进而问题可证；（2）当为直角三角形时，则可分当时和当时进行分类讨论求解．解：（1）证明：如图1，

，，，，，，；（2）解：由题意知，①当时，如图2，

由（1）知，，点为中点，，，②当时，如图3，

由（1）知，，作于点，则，，，，，，．的长是或．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．（1）见分析；（2）【分析】（1）由三角形内角和定理可得，又可得结论；（2）由相似三角形的性质可得，代入条件即可得出答案．解：（1）证明：，，，，又，．（2）解：，，，由（1）知，，，即【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键．10．2cm或8cm【分析】证明，可得，进而可得的方程，解方程即可求解．解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，即，整理得，解方程得，，所以的长为2cm或8cm．【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的求解，证明是解题的关键．11．（1）见分析；（2）3【分析】（1）首先根据旋转证明为等边三角形，然后利用等边三角形的性质与已知条件即可证明结论；（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．解：（1）在中，边绕点B顺时针旋转与重合，为等边三角形，，，，，，，；（2），，，，，，，的边长为3.【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，旋转的性质和方程思想是解题的关键．12．（1）证明见分析；（2）【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；（2）根据，，得出，证明，得出，即，求出，即可得出答案．解：（1）证明：是等边三角形，，又，，，；（2）解：是等边三角形，，，，，由（1）知，，即，，．【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两个角对应相等的两个三角形相似．13．（1）见分析；（2）点E到的距离为【分析】（1）由，可得，由，可得，进而可证；（2）如图，过点E作于M，过点A作于H，过点D作DG⊥AB于G，由，可得，由勾股定理得，则，由，可得，由，可得，由，可得，即，计算求解即可．解：（1）证明：∵，∴，∵，，∴，∵，，∴；（2）解：如图，过点E作于M，过点A作于H，过点D作于G，

∵，∴，由勾股定理得，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，即，解得，∴点E到的距离为．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，外角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14．（1）或2或1；（2）【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，得到啊，，是等腰三角形分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案；（2）取的中点，连接，根据等腰直角三角形的性质，得到，，进而得到，，再利用勾股定理，求出，然后证明，利用对应边成比例，即可求出．（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，①如图1，当时，是等腰三角形，此时，点、分别与点、重合，；②如图2，当时，是等腰三角形，此时，，，，，即是等腰三角形，，点是的中点，；③如图3，当时，是等腰三角形，，且，，在和中，，，，，，综上可知，当是等腰三角形时，的长为或2或1；

（2）解：取的中点，连接，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，由（1）③可知，，又，，．

【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题关键．15．（1）证明见分析；（2）