2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（3）【含答案】

2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（3）

一、解答题1．[2024届·安徽马鞍山·模拟考试]已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；②，且，有，则称F是数域.由定义知有理数集Q是数域.（1）求元素个数最小的数环；（2）证明：记，证明：是数域；（3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由.2．在平面直角坐标系中，两点，的“曼哈顿距离”定义为，记为，如点，的“曼哈顿距离”为5，记为.（1）若点，M是满足的动点Q的集合，求点集M所占区域的面积.（2）若动点P在直线上，动点Q在函数的图像上，求的最小值.（3）设点，动点Q在函数的图像上，的最大值记为，求的最小值.3．已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立.已知正项数列满足，且，，令.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求证：.4．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.①，；②，，；③，，，.（2）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则.5．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D.（1）若椭圆与椭圆E在“一簇椭圆系”中，求常数s的值；（2）设椭圆，过A作斜率为的直线与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为的直线与椭圆G有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；（3）若椭圆与椭圆E在“一簇椭圆系”中，椭圆H上的任意一点记为，求证：的垂心M必在椭圆E上.6．[2024春·高三·湖北武汉·月考]利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设，则，即，解得.这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜m局指的是一方比另一方多胜m局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.①求甲获胜的概率；②求.参考答案

一、解答题1．答案：（1）；（2）证明见详解；（3）不一定数域，证明见详解解析：（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素，若，则，可知为数环；若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；综上所述：元素个数最小的数环为.（2）设，，，可知，则有：，，，因为，则，，，，，，可知，，，所以是数环；若，可知，满足①；若，则，因为，则，可知，满足②；综上所述：是数域.（3）不一定是数域，理由如下：①若，，显然，均为数域，且是数域；②设，，，可知，则有：，，，因为，则，，，，，，可知，，，所以是数环；若，可知，满足①；若，则，因为，则，，可知，满足②；综上所述：是数域.例如：，，例如，，但，所以不是数域；综上所述：不一定数域.2．答案：（1）8（2）3（3）解析：（1）设点.由，得.的图像是以原点为中心，顺次连接四点，，，所形成的正方形.将其上移2个单位长度即得的图像.所以点集M所占区域是以四点，，，为顶点的正方形及其内部，面积为8.（2）设，，则.将看成关于的函数，则在或时取得最小值，即.令，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，则，此时.所以的最小值为3.（3）设点，，则，.若存在实数a，b，使，则对任意的成立.令，则.令，则.所以，所以.令，，则是上的偶函数.当时，若，即，则，当且仅当时等号成立；若，则，当且仅当时等号成立.所以存在实数a，b且，，使得的最小值为.3．答案：（1）的通项公式；的通项公式（2）证明见解析解析：（1）不妨设，则，，，若，即，此时，这与矛盾，，故，，在区间上单调递减，，.已知，两边同时除以，化简可得，即，是以为首项，4为公比的等比数列，.又，，当时，.又当时，，故.（2）由（1）可得.当时，，且，，，又，，即，，，即，，.4．答案：（1）①，线性相关，②，，线性相关，③，，，线性相关（2）向量，，线性无关，理由见解析（3）证明见解析解析：（1）对于①，设，则可得，所以，线性相关；对于②，设，则可得，所以，，所以，，线性相关；对于③，设，则可得，可取，符合该方程，所以，，，线性相关.（2）设，则，因为向量，，线性无关，所以，解得，所以向量，，线性无关.（3）证明：①，如果某个，，2，…，m，则，因为任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0，所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零，②因为，所以，，…，全不为零，所以由可得，代入可得，所以，所以，，，所以.5．答案：（1）或1（2）当时，取得最小值（3）证明见解析解析：（1）因为椭圆E的离心率，故由条件得，当时，，解得；当时，，解得.综上，或1.（2）易得，，所以直线，的方程分别为，，由，得，又直线与椭圆G相切，则，又，即.由，得，又直线与椭圆G相切，则，又，即，故，，当且仅当时取等号，此时.所以当时，取得最小值.（3）显然椭圆.因为椭圆H上的任意一点记为，所以.①设的垂心M的坐标为，连接CM，AM，因为，，故由得.又，，所以，（*）将代入（*），得，②由①②得.将，，代入①得，即的垂心M在椭圆E上.6．答案：（1）（2）①；②解析：（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为，所以恰好4局结束比赛的概率.（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，，同理，，，，由，，得，与联立消去，得