《高等数学》上册课件12-02概率的定义与计算

12.2概率的定义与计算第十二章概率论

基础教学部概率的定义01概率的运算公式02目录事件的独立性03贝努利概型0412.2.1概率的定义3一个随机试验有许多可能结果，我们常常希望知道某些结果出现的可能性有多大，这种可能性的大小就是通常我们所说的概率．以下分别给出概率的几种定义．

1.概率的统计定义12.2.1概率的定义4历史上，有人做过抛掷硬币的试验，结果如表所示：试验者投掷次数n“正面向上”的次数m蒲

丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维

尼30000149940.4998

72088361240.5011

12.2.1概率的定义5人们从不同的试验中发现，当试验次数较少时，事件A发生的频率摆动较大，随机性较大；当试验次数充分大时，事件A发生的频率就在一个确定的常数附近作较小的摆动，通常把这一规律性叫作频率的稳定性．

因此有下面定义：12.2.1概率的定义6

以上定义是通过频率来描述事件发生的可能性大小的，所以叫作概率的统计定义．12.2.1概率的定义7频率是个试验值，具有偶然性，可能取多个不同值，它近似地反映了事件发生可能性的大小；概率是个理论值，只能取唯一值，只有概率，才精确地反映出事件发生可能性的大小．

12.2.1概率的定义8

概率的统计定义是用频率来估算概率的，但频率必须通过大量的重复试验才能得到，这是比较困难的．在许多情况下，不需要进行大量的重复试验，只根据事件的特点，对事件及其相互关系进行分析，就可以直接计算出它的概率．2.概率的古典定义

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2.概率的古典定义

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从以上例中，我们看到一种简单而又直观地计算概率的方法，但在应用这个方法时，要求随机试验具备以下两个特点：2.概率的古典定义（1）所有的基本事件只有n个（n为有限数）；

12.2.1概率的定义11

3.概率的公理化定义

在进行理论研究时，我们不可能对每一个事件，都做大量的试验从中得到频率的稳定值，况且有些试验是破坏性的（如测验灯泡的使用寿命），或停留在古典概型上．所以，我们采取抽象化的方法从以上的分析中吸取最本质的素材，给出以下度量事件发生可能性大小的概率的公理化定义．12.2.1概率的定义12

3.概率的公理化定义12.2.1概率的定义13

3.概率的公理化定义12.2.1概率的定义14例1

在100件产品中，有95件合格品，5件次品．从中任取2件，求：（1）2件都是合格品的概率；（2）2件都是次品的概率；（3）1件是合格品，1件是次品的概率.4.古典概率的计算

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4.古典概率的计算

12.2.1概率的定义16例2

同时抛掷2枚均匀的骰子，求：（1）点数之和等于7点的概率；（2）出现两个6点的概率.

12.2.1概率的定义17例2

同时抛掷2枚均匀的骰子，求：（1）点数之和等于7点的概率；（2）出现两个6点的概率.

12.2.1概率的定义18例3

设袋中有10个相同的球，上面依次编号为1、2、…、10，每次从袋中任取一球，取后不放回，求第5次取到1号球的概率．

而第5次必须取到1号球，只有1种取法，

12.2.1概率的定义19例4

在一个装有4个红球，6个黑球的袋子中，有放回地取球3次，求前两次取到黑球、第三次取到红球的概率．

概率的定义01概率的运算公式02目录事件的独立性03贝努利概型0412.2.2概率的运算公式21

1.概率的加法公式例5

在一个盒子内放有20个大小相同的小球，其中有15个红球，5个白球，从中任取3个，求至少有1个白球的概率.

12.2.2概率的运算公式22

12.2.2概率的运算公式23有时我们直接计算事件的概率比较麻烦，转而去求它的对立事件的概率，往往可以简化计算，起到事半功倍的作用．

12.2.2概率的运算公式24例6某班有50名学生，求至少有1名学生的生日在1月1日的概率.

12.2.2概率的运算公式25

12.2.2概率的运算公式26例7

一个线路上装有甲、乙两根保险丝，当电流超过一定量时，甲、乙保险丝被烧断的概率分别为0.85和0.74，两根同时烧断的概率为0.63，求至少有一根被烧断的概率.

12.2.2概率的运算公式27例8

在1，2，…，100中任取一数，求它能被2整除，或能被5整除的概率．

12.2.2概率的运算公式28

前面我们讨论了在一定条件下，事件发生的概率．但有些事件发生的概率，除具有一定的条件外，还附有其他的限制条件．2.条件概率和概率的乘法公式例9

10只产品中有7只正品，3只次品，从中取二次，每次任取一只，取后不放回，问在第一次取得次品和第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率分别是多少？

12.2.2概率的运算公式29可见，第二次取得次品的概率与第一次是否取得次品有关．

以下来研究条件概率的计算．12.2.2概率的运算公式30

12.2.2概率的运算公式31

12.2.2概率的运算公式32例10

设在一只盒子中混有新旧二种乒乓球，在新球中有白色的40只，红色的30只；在旧乒乓球中有白色的20只，红色的10只，现在盒子中任取一球，发现是新的，问这个球是白色的概率是多少？

12.2.2概率的运算公式33例11某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，逐把试开，试求（1）第3次才打开房门的概率；（2）3次内打开门锁的概率；（3）如5把钥匙内2把是房门钥匙，3次内打开房门的概率．

12.2.2概率的运算公式34

12.2.2概率的运算公式35例12

例5中，求第二次取得次品的概率．3.全概率公式和贝叶斯公式

12.2.2概率的运算公式36

12.2.2概率的运算公式37例13

市场供应的热水瓶中，1厂产品占50%，2厂产品占30%，3厂产品占20%，1厂产品的合格率为90%，2厂产品的合格率为85%，3厂产品的合格率为80%，求买到的热水瓶是合格品的概率．

12.2.2概率的运算公式38例14

上例中，若已知买到热水瓶是合格品，求这个合格品是1厂生产的概率．

12.2.2概率的运算公式39

概率的定义01概率的运算公式02目录事件的独立性03贝努利概型0412.2.3事件的独立性41

12.2.3事件的独立性42

12.2.3事件的独立性43

例15

本节例6也可以用事件的独立性求解.12.2.3事件的独立性44

例16

甲、乙两射手同时独立地向某一目标各射击一次，命中率分别为0.6，0.7，求：（1）两人都命中的概率；

（2）甲中、乙不中的概率；（3）恰有一人命中的概率；

（4）至少有一人命中的概率．

12.2.3事件的独立性45

注意：A、B相互独立与A、B互不相容，是两个不同的概念，切不可将其混淆起来，所谓A、B相互独立，其实质是事件A发生的概率与事件B是否发生毫无关系；所谓A、B互不相容，其实质是事件B的发生，必然导致事件A的不发生，从而事件A发生的概率与事件B是否发生密切相关．概率的定义01概率的运算公式02目录事件的独立性03贝努利概型0447

例如，某射手的射击试验；种子的发芽试验；一批产品次品率的检验等，都是独立试验．

12.2.4贝努利概型贝努利概型是很重要的数学模型，有非常广泛的应用，是被研究得最多的模型之一．48

12.2.4贝努利概型49

12.2.4贝努利概型50例17

一批玉米种子，出苗率为0.8，现每穴种5粒，求（结果保留两个有效数字）：（1）5粒中恰有4粒出苗的概率；

（2）