21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 初中数学人教版九年级上册教案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课题21.2.4一元二次方程的根与系数的关系授课人教学目标知识技能掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用.数学思考通过一元二次方程根与系数关系的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.问题解决根据一元二次方程根与系数的关系确定两根之和与两根之积，并能根据这一关系解决简单的数学问题.情感态度通过情景教学过程，激发学生的求知欲，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感.教学重点一元二次方程根与系数的关系及其推导过程.教学难点一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程有实数根的条件是什么？3.当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？4.一元二次方程的求根公式是什么？师生活动：教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点.通过对一元二次方程相关知识的复习，巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题：解下表中的方程，并完成填空：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x－3＝03－12－3x2－3x＋2＝01232x2＋5x＋6＝0－2－3－56师生活动：学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案.问题：观察、思考一元二次方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.活动二：实践探究交流新知1.填写上表后思考：①一元二次方程的两根之和与两根之积与系数有何关系？②运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程2x2－3x－2＝0的两根分别是x1和x2，则x1＋x2＝eq\f(3,2)，x1·x2＝－1.③如何证明以上发现的规律呢？2.论证结论：教师与学生共同整理证明过程：证明：当Δ>0时，由求根公式得x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，所以x1＋x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)＋eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝－eq\f(2b,2a)＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(（－b）2－（b2－4ac）,4a2)＝eq\f(c,a)；当Δ＝0时，x1＝x2＝－eq\f(b,2a)，所以x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).归纳并板书：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).1.进一步分析、验证所发现的一元二次方程根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础.2.通过证明过程使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.3.探究一元二次方程根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x1，x2的和与积.（1）x2－6x－15＝0；（2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x－1＝4x2.师生活动：学生自主进行解答，教师做好评价和总结.注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a，b，c的值，比较b2－4ac与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值.变式练习1已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于（C）A.－4B.－1C.1D.4变式练习2若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两个实数根，求x1＋x2－x1x2的值.问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键.【拓展提升】例2解答下列问题：（1）已知方程x2－3x＋c＝0的一个根为2，求另一个根和c的值.（2）关于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的两根互为倒数，求m的值.例3若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，求eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)的值.师生活动：教师引导学生进行交流、讨论，确定出解决问题的方法，适时点拨，提示能否用多种方法进行解答.拓展提升是根与系数关系的综合应用，有利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.下列选项中，两根均为负数的一元二次方程是（C）A.7x2－12x＋5＝0B.6x2－13x－5＝0C.4x2＋21x＋5＝0D.x2＋15x－8＝02.已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为2和3，则a＝－5，b＝6Ｗ.3.已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值.4.已知方程2x2－4x－5＝0的两个根分别为x1和x2，求下列式子的值.（1）（x1＋2）（x2＋2）；（2）x12x2＋x1x22.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.1.课堂总结：（1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？（2）本节课还有哪些疑惑？说一说！2.布置作业：（1）教材第17页习题21.2第7题.（2）补充题：①若2x（x＋3）＝1的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝，x12＋x22＝，（x1－3）（x2－3）＝，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝.②设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝.（3）选做题：已知关于x的一元二次方程x2－6x＋（2m＋1）＝0有实数根.①求m的取值范围；②如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围.1.指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.2.因材施教，让每一个学生都得到相应的发展.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在新知探究的环节中，关于两根之和与两根之积的计算看似复杂，教师进行板演后，能够使学生清晰认识到结论的来由，并能够顺利地进行应用；在课堂训练的环节中，学生运用新知解答问题不甚灵活，教师的必要引导起到了关键作用，学生体验到方法的简便性和重要性.②[讲授效果反思]重点应用过程中，应注意：（1）运用根与系数的关系首先保证一元二次方程有实数根；（2）运用根与系数的关系解答问题方便运算.③[师生互动反思]从教学过程来看，学生能够在教师的引导下进行探索和交流，并能够运用知识解答问题，还应增加其兴趣和思维敏捷性的训练.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.典案二导学设计学习目标：1．理解并掌握根与系数关系：，；2．会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点、难点重点：理解并掌握根的判别式及根与系数的关系.难点：会用根的判别式及根与系数的关系解题；【课前预习】阅读教材P15—16,完成课前预习1、知识准备(1)一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：2、探究1：完成下列表格方程25x2+3x-10=0-3问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根为,，用式子表示你发现的规律。探究2：完成下列表格方程2x2-3x-2=02-13x2-4x+1=01问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为,，用式子表示你发现的规律。3、利用求根公式推导根与系数的关系（韦达定理）ax2+bx+c=0（a≠0）的两根=,=========练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1）（2）（3）【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）x2-6x-15=0（2）3x2+7x-9=0（3）5x-1=4x2例2：已知方程的一个根是-3，求另一根及k的值。例3:已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值例4:已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根是x方程的两根的平方,则关于y的方程是__________活动3：随堂训练不解方程，求下列方程两个根的和与积：（1）x2-3x=15（2）5x2-1=4x2+x（3）x2-3x+2=10（4）4x2-144=0（5）3x（x-1）=2（x-1）（6）（2x-1）2=（3-x）2活动4：课堂小结一元二次方程的根与系数的关系：【课后巩固】一、填空1．若方程(a≠0)的两根为，，则=，=__2．方程，则=，=__3．若方程的一个根为2，则它的另一个根为____，p=____4．已知方程的一个根1，则它的另一根是____，m=____5．若0和-3是方程的两根，则p+q=____6．在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=____，q=____。二、选择1．两根均为负