复习第03讲解三角形及其应用2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019）

第03讲解三角形及其应用本讲义亮度：1构建知识体系明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；2例题经典力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形【题型二】多个三角形问题【题型三】三角形最值、范围问题【题型四】实际问题【题型五】平面向量与解三角形综合问题3课后分层练习进一步巩固所学内容.1.掌握正弦定理及其变式，并会利用其解三角形；2.掌握余弦定理及其变式，并会利用其解三角形；3.掌握解三角形的常见题型及其解题方法.1正弦定理①正弦定理asinA=bsinB=②变形(1)a+b+c(2)化边为角a=2Rsina:b:c=sinA:sinB:sinC,a(3)化角为边

sinA=a2R,sinB=2面积公式S3余弦定理①余弦定理a②变形cosA=【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形【典题1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA-B-cosA+B=34，且ab=32A．π2 B．π C．2π D【答案】B【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得sinAsin【详解】由cos(A-B)-得cosAcosB+又因为ab=32，结合正弦定理asinA=所以ab=4R2sin则△ABC的外接圆的面积为πR故选：B变式练习1（2425高一下·吉林长春·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3asinB+bcosA=A．2π3 B．π3 C．π【答案】D【分析】利用余弦定理得acosB+bcosA=c【详解】因为acos所以c=acos即tanB=33故选：D2（2025·广西北海·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知cosA=12,a=4,△ABC的面积为23A．211 B．210 C．27【答案】B【分析】由面积公式求得bc=8，再结合余弦定理即可求解.【详解】因为cosA=12又△ABC的面积为23，所以2所以bc=8．由余弦定理a2得16=b所以b+c2所以b+c=210故选：B．3（2025·湖南邵阳·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c，cosC=35，且b=22A．176 B．88 C．44 D．22【答案】B【分析】根据已知及正弦定理得sinC=45、sinA=55、cosA=【详解】由a=54c<c，则A<C由正弦定理知sinA=54sinC，而cos所以sinA=55由sinB=由正弦定理知22sinB=asin故选：B4（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinB-A=13，c2A．74 B．14 C．23【答案】C【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简得出4sinAcosB=sinC，结合两角和的正弦公式以及sin【详解】因为c22=所以c=4acosB，由正弦定理可得所以cosAsin因为sinB-A=联立①②可得sinAcosB=故选：C.【题型二】多个三角形问题【典题1】（2025·江苏泰州·二模）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△ABC，已知EF=3，cos∠ACF=1314，则△ABCA．44116 B．441316 C．441【答案】B【分析】设AF=CE=tt>0，在△AFC中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长AC，再利用三角形面积公式求解【详解】在△AFC中，∠AFC=180又cos∠ACF=1314，则sin∠ACF=3在△AFC中，由正弦定理得AFsin∠ACF=在△AFC中，由余弦定理得AC即499t2=t2+所以S△ABC故选：B.【典题2】（广东省惠州市五校20242025学年高一下学期第二次联考数学试卷）如图，在△ABC中，∠B=30°,D为BC(1)求AB的长；(2)求sin∠DAB(3)若△ABC的面积为532，求△ACD中AD【答案】(1)2(2)7(3)4【分析】（1）先利用同角三角函数关系得sin∠ADB=217，然后在△ABD（2）结合三角形的性质，由两角和的正弦公式求解即可；（3）方法一：先根据三角形的面积公式求出BC，再在△ABC中，由余弦定理求出AC，再在△ACD中，由余弦定理求出CD，即可求高；方法二：先根据三角形的面积公式求出BC，再在△ABD中，利用正弦定理求得BD=1，进而求得CD，即可求高．【详解】（1）因为cos∠ADC=所以cos∠ADB=-所以sin∠ADB=在△ABD中，由正弦定理得ADsin所以AB=AD⋅（2）sin∠DAB=（3）方法一：S△ABC=1在△ABC中，由余弦定理得AC所以AC=7在△ACD中，由余弦定理得AC解得CD=4（CD=0舍去），所以△ACD中AD边上的高为CDsin方法二：S△ABC=1在△ABD中，BDsinCD=BC-BD=5-1=4，所以△ACD中AD边上的高为CDsin变式练习1（2025·河北石家庄·一模）如图，在△ABC中，已知∠CBA=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB=（

）A．43 B．52 C．210【答案】D【分析】先在△ACD中应用余弦定理求出cosC再根据同角关系求出sinC，然后在△ABC中应用正弦定理即可求出AB【详解】在△ACD中，由余弦定理得：cosC=又因为C∈(0,π)，所以在△ABC中，由正弦定理得：ABsinC=ACsin故选：D2（2425高一下·广东·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=π2,D,E分别是AC上的三等分点，记∠ABD=α,∠DBE=β,∠EBC=γ，则sinA．33 B．3 C．23 D【答案】B【分析】由正弦定理得sinα=BEsinβAB、sinγ=【详解】由题设ADsinα=ABsin令AD=DE=EC=m，又sin∠ADB=sin∠BDE所以ADsin∠ADB=ABsinα，ECsin∠BEC=BCsinγ，所以sinβ又∠ABC=π2，则S△ABC=3S故选：B3（2025·福建泉州·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=1且bcos(1)求B；(2)如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB=∠B，CD=3，AC=AD，求D【答案】(1)B=120°(2)D=【分析】（1）利用正弦定理和两角和与差的正弦公式即可求解；（2）令∠DCA=∠CDA=α，∠CAD=180∘-2α，在△ACD和【详解】（1）∵bcos∴在△ABC中，由正弦定理得，sinBcos由sinB+C∴sinBcos即3sin∵0∘<C<180∘即sinB-30又∵0∴B-30∘=（2）因为AC=AD，令∠DCA=∠CDA=α，∠CAD=180在△ACD中，由正弦定理得，ACsinD=CD在△ABC中，由正弦定理得，ACsin因为∠BAC=180°-120°-120°-α=α-60°，∴AC=sin120∘∴sin解得α=75∘，即【题型三】三角形最值、范围问题【典题1】（2425高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosA=2c-a，sinAsinCA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用正弦定理化简2bcosA=2c-a后可得B=π3，再结合余弦定理和正弦定理化简sinAsin【详解】因为2bcos故2sin整理得：2cosBsinA=sin故cosB=12，但B∈所以b2因为sinAsinC=cos所以2a2b=故a2+c故a+c≤2，当且仅当a=c=1时等号成立，故a+c的最大值为2，故选：B.【典题2】（江西省上饶市六校20242025学年高一下学期5月联合检测数学试题）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足ac(1)求A；(2)若点D为BC的中点，且AD=1．①求△ABC面积的最大值；②求acos【答案】(1)A=(2)①33；②【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理，两角和的正弦公式化简得出cosA的值，结合角A的取值范围可得出角A（2）（i）由已知条件得出AD=12AB+AC，利用平面向量数量积的运算性质可得出（ii）利用余弦定理结合（i）中的结果得出a=4-2bc，b+c=4+bc，可得出acosA-π12【详解】（1）由accosB+2b所以acos由正弦定理得sinA所以cosA因为0<B<π，则sin所以cosA=12，又0<A<（2）（i）因为点D为BC的中点，所以AD=所以1=AD所以4=b所以bc≤43，当且仅当所以△ABC的面积S=1故△ABC面积的最大值为33（ii）由余弦定理得a2所以a=4-2bc又b+c=b则a=2-bc由（i）知0<bc≤43，所以所以6+8故acosA-π变式练习1（2425高一下·重庆·期中）如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=3，AC⊥CD，AC=CDA．3 B．4 C．7+23 D．【答案】D【分析】设∠ABC=α,∠ACB=β，求出AC,sinβ，利用正弦定理和余弦定理计算表示出B【详解】设∠ABC=α,∠ACB=β，则AC2=4-2由正弦定理得ABsinβ=在△BCD中，由余弦定理得B=7+23所以当α=3π4时，BD2故选：D2（2425高一下·湖北·阶段练习）在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知A．0,233 B．33,93【答案】C【分析】利用正弦定理进行边角转化，求得B=π3，再用角A【详解】∵2a-c3根据正弦定理得，2sin∵A∈0，∵∴△ABC的面积S=1∴S=3=∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<π2∴π6<A<∴sin2A-故选：C.3（2425高一下·安徽合肥·阶段练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosCc+cosBA．π6 B．π3 C．2π【答案】A【分析】结合条件利用余弦定理得0,π6，然后利用余弦定理和基本不等式求解【详解】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosC则a2+b由余弦定理得cosA=b2所以cosA≥32，又0<A≤π，故0<A≤π故选：A4（2425高一下·广东佛山·阶段练习）已知锐角△ABC的内角A, B, C的对边分别为(1)求角B的值；(2)若b=2，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)B=(2)2【分析】（1）由正弦定理边角互化，可得tanB=（2）利用正弦定理可得a=43【详解】（1）∵a=bcosC+33c又∵sinA=∴33又∵0<C<π2，∴0<sinC<1，∴3又∵0<B<π2，∴（2）解法一：由正弦定理得：asin∴a=4又∵sinC=∴a+b+c=4∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<π20<C=2∴π3<A+π6∴23+2<a+b+c≤6，故△ABC周长的取值范围是解法二由余弦定理得：b2=a2∵ac≤a+c2，∴ac≤a+c∴a+c2≤16，∴a+c≤4，当且仅当又∵b=2，∴a+b+c≤6，∵b=2, ∴当BC⊥AC或BA⊥AC时，有a=233此时有a+b+c=23因为△ABC为锐角三角形，故△ABC周长的取值范围是23【题型四】实际问题【典题1】（2425高一下·湖南张家界·期中）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30∘，45∘，60∘，B是AC的中点，AB=10米，则该建筑的高度OP=A．102米 B．56米 C．53米 D【答案】B【分析】设OP=x，首先表示出OA=3x,OB=x,OC=【详解】设OP=x，则可得OA=3由B是AC的中点，所以AB=BC=10，而∠OBA+∠OBC=π，则cos△ABO，△CBO中，由余弦定理可得：100+x解得：x=56，所以该建筑的高度OP=56故选：B.变式练习1（2425高二下·云南玉溪·期中）如图，A，B是海面上位于东西方向相距3+3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距43海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时【答案】B【分析】在△ABD中，先由正弦定理，求出BD；在△BCD中，根据余弦定理，求出CD的长，即可求出结果.【详解】由题意，在△ABD中，AB=3+3，∠DAB=90°-45°=45°，∠DBA=90°-60°=30°，所以由正弦定理可得，ABsin则BD=又在△BCD中，∠DBC=180°-60°-60°=60°，BC=4由余弦定理可得，CD=432因此救援船到达D点需要的时间为CD20=故选：B.【题型五】平面向量与解三角形综合问题【典题1】（2025·山东聊城·二模）△ABC中，BC=23,A=60°，则BA⋅A．6 B．3+23 C．12 D．【答案】D【分析】根据正弦定理可得△ABC在以半径为2的圆上，由向量线性运算得BA→⋅【详解】由正弦定理可得，asin所以△ABC在以半径为R=2的圆O上，则BA由向量数量积几何意义及垂径定理可知：BA当OA→与BC→同向时，BC→所以BA→⋅BC故选：D.变式练习1（2425高一下·广东茂名·期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=1,b=7,B=2π3,D是A．34 B．34 C．3 D【答案】D【分析】由余弦定理得a=2，然后利用中线的向量表示得BD=12BA【详解】由余弦定理得7=1+a2-2a因为D是AC边上的中点即BD=所以BD2所以BD=3故选：D2（2324高一下·广东深圳·期中）在△ABC中，AB⋅AC=9，sinB=cosAsinC，S△ABCA．1 B．32 C．3 D．【答案】A【分析】根据正弦定理角化边得b=ccosA【详解】设AB=c，AC=b，BC=a，因为sin因为AB⋅AC=9，所以b因为A+C=πcosAsinC+因为A,B,C∈0,π，所以sinA≠0，cos所以S△ABC=12ab=6，解得a=4如图，设△ABC内切圆与BC，AC，AB分别切于点D，E，F，由C=π2知四边形CDIE为正方形，即CI=CD+CE．设内切圆半径为所以AB⋅故选：A3（2425高一下·湖南邵阳·期中）平面直角坐标系中A1,-1,B4,0,C2,2,AP=λABA．72 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】不妨设λ>0,u>0，利用向量的运算，确定满足条件的动点P的区域，结合平行四边形的面积公式进行求解即可.【详解】显然a>1，不妨设λ>0,u>0，如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得AN=a作CH∥AN,BF∥AM,NG∥AM,MG∥AN，则四边形ABEC,ANGM,EHGF均为平行四边形.由题意可知：点Px,y组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部∵A1,-1∴ABAB=则cos∠CAB=则sin∠CAB=又1≤λ≤a,1≤μ≤a，故λ>0,u<0，动点P组成的区域和λ>0,u>0组成的区域相同，面积相等，∴四边形EFGH的面积为其中的14，即32×则四边形EFGH的面积S=即(a-1)2=1，则a-1=1，得a=2或0故选：C.4（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，若BD=2DC，BC=6，过点D作边BC的垂线l，若△ABC的内心M在直线l上，则tanBA．22,+∞ B．3,+∞ C．【答案】C【分析】设AC=x，根据内心的定义，结合三角形性质与余弦定理可得cosB=1【详解】因为BD=2DC，BC=6，则设内切圆M与边AB，AC分别切于点E，F，由题意可知：内切圆M与边BC切于点D，则AE=AF，BE=BD，CF=CD，可得AB-AC=AE+BE设AC=x，则AB=x+2，由三角形性质可知：x+x+2>6x+6>x+2x+2+6>x，解得由余弦定理可得cosB=因为x>2，则0<1可得cosB=可知角B为锐角，则tanB=故选：C.【A组基础题】1（2025·浙江金华·三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、A．B<60° B．B>90° C．c>2 D．c<3【答案】D【分析】根据正弦定理可求解B=π4或B=3π4，即可判断AB,【详解】由正弦定理可得asin由于B∈0,5π6,故B=π4若B=π4时，则此时c=a若B=3π4时，则C=π-A-B=π-π6-3π故选:D2（2025·陕西咸阳·三模）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=1，a+b=cosA+cosA．π3 B．π4 C．π2【答案】B【分析】由正弦定理化简得sinA+sinBsin【详解】因为c=1，所以a+bc由正弦定理得sinA+则sinA+所以sinB+C整理得sinB所以sinB+因为A,B,C∈0,π，所以故cosC=0，即C=则该三角形的外接圆的半径r=12c=故选：B.3（2425高一下·浙江杭州·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA=0，若a+c=3A．32 B．33 C．23【答案】D【分析】根据题意利用正弦定理可得B=2π【详解】因为asin2B+bsin由正弦定理可得2sin又因为A,B∈0,π，则sinA,即cosB=-12由余弦定理可得b2即b≥32，当且仅当所以边b的最小值为32故选：D.4（2425高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，tanA=14,tanB=3A．1 B．2 C．3 D．2【答案】B【分析】由tanA=14,tanB=35【详解】因为tanA=所以tanC=-又tanA=14>0,tan故C=3π4因为y=tanx在0,π2上单调递增，tanA<又tanA=sinAcosA由正弦定理得asinA=csin故选：B5（2425高一下·江苏南京·期中）在四边形ABCD中，设△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2，S1=34AC2-ABA．3+32 B．3-33 C．【答案】B【分析】由条件S1=34AC2-AB2-BC2结合三角形面积公式和余弦定理可求∠ABC，设【详解】在△ABC中，由余弦定理，AC因为S1=3所以-3cosB=又因为B∈0,π，所以设∠ACB=α，因为∠BCD=2π3，则∠ACD=2π3-α，D=π在△ACD中，由正弦定理，CDsin∠CAD=在△ABC中，由正弦定理，BCsin∠CAB=又CD=3BC，所以所以sinπ所以cosπ即sinπ3+2α所以π3所以α=π所以S1=12因为sin5所以S1故选：B.6（2025·新疆乌鲁木齐·三模）函数y=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，AC=23，∠ACB=A．12 B．1 C．π2 D【答案】C【分析】记BC与x轴的交点为M，连接AB，设AB=a，则BC=2a，在△ACB中，利用余弦定理可求得a，进而在△ACM中，求得AM，进而利用周期可求ω.【详解】记BC与x轴的交点为M，连接AB，由题意可得M在函数y=Asin设AB=a，则BC=2a，又AC=23，∠ACB=在△ACB中，由余弦定理可得AB即a2=232在△ACM中，由余弦定理可得AM所以AM2=12+4-2×2所以函数y=Asinωx+φ的最小正周期为所以2πω=4，所以故选：C.7（2425高一下·河北石家庄·阶段练习）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sinA+(1)求B；(2)已知BC=23,D为边AB上的一点，若BD=1,∠ACD=2【答案】(1)π(2)8【分析】（1）由正弦定理的边角互化化简，再由余弦定理代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，在△BCD中，由余弦定理可得CD，再由正弦定理可得sin∠BCD，从而求得sinC以及cosC，再由sinA=sinB+C【详解】（1）由正弦定理可得a+bc=c-化简可得a2由余弦定理可得cosB=且B∈0,π，所以（2）设∠BCD=α，则C=α+2在△BCD中，由余弦定理可得C=232由正弦定理可得BDsinα=则cosα=又sin=1则c