第03讲一元二次方程和一元二次方程的解法

思维导图第03讲一元二次方程和一元二次方程的解法思维导图一、一元二次方程的定义整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。三、一元二次方程的根能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。一、直接开平方法用直接开平方求解一元二次方程的方法。这种方法适用于形如x²=a（a≥0）的方程，或者方程的一边是含未知数的完全平方，另一边是非负数的情况。二、因式分解法把方程变形为一边是零，另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种方法的关键在于对二次三项式进行因式分解。三、配方法通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解。这种方法适用于所有的一元二次方程，但操作相对复杂。四、公式法五、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其判别式为Δ=b²4ac。判别式的值决定了方程的根的性质：1.若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根。2.若Δ=0，则方程有两个相等的实数根，也即一个实数重根。3.若Δ<0，则方程无实数根，但有共轭复数根。六、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），设其两个根为x₁和x₂，则有：x₁+x₂=，即两根之和等于一次项系数（取反）除以二次项系数。x₁x₂=，即两根之积等于常数项系数除以二次项系数。这两个关系式就是一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理。教材习题01∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．教材习题02教材习题03教材习题04教材习题05教材习题06(1)若方程有实数根，求的取值范围；(2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值．（1）解：∵方程有实数根，∴正整数的值为1，2，3．∴正整数的值是3．教材习题07请根据上述材料解决下面问题：故答案为：1，；故答案为：；此情况舍去；此情况符合题意；∴k的值为，考点一、一元二次方程的定义1．下列方程属于一元二次方程的是（）【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．故选：C．【答案】【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．故答案为：．(1)为何值时，此方程是一元一次方程？(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．（1）利用一元一次方程的定义判断即可；（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．考点二、一元二次方程的解求参A． B．2 C． D．6【答案】A故选：A．【答案】故答案为：．(1)求的值；【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可．考点三、一元二次方程的一般形式A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B则，，的值分别是，，．故选：B．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．∴一次项的系数为，故答案为：．(1)当为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．考点四、一元二次方程的解法——直接开平方法【答案】A【分析】该题考查了解一元二次方程，直接对方程的右边开平方即可．故选：A．【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后，直接开方法即可求解．【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用直接开方法解一元二次方程即可．考点五、一元二次方程的解法——因式分解法【答案】D故选：D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，提出公因式x，得到两个因式乘积的形式，即可得解．【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．考点六、一元二次方程的解法——配方法【答案】D【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值．故选：D．【答案】配方【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握配方的方法是关键．根据配方法的解题步骤即可求解．这是采用了配方法解一元二次方程，故答案为：配方．3．解方程．【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法）并能根据具体情况选择合适的方法求解．考点七、一元二次方程的解法——公式法【答案】D【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解．故选：D．【答案】【分析】本题主要考查解一元二次方程公式法，利用求根公式判断求解即可．故答案为：．3．解方程：【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．考点八、根的判别式A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【答案】C故选：C．【答案】9故答案为：9．(1)求的取值范围；【分析】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键．（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；（2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程，则可求得的取值范围．（2）解：是方程的一个实数根，考点九、韦达定理【答案】A故选：A．【答案】故答案为：．(1)判断方程根的情况，并说明理由．【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根．原方程为一元二次方程．方程总有两个不相等的实数根．考点十、一元二次方程的估算x0125【答案】A故选：A．x11.11.21314.4115.84【详解】解：由题意得x11.11.21314.4115.843．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．材料一：估算法确定无理数的小数部分．∴的整数部分为，材料二：面积法求一个无理数的近似值，已知面积为的正方形的边长是，解决问题：(2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法．【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可；（）根据材料二即可总结得出；本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算．【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是，∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，知识导图记忆1．下列方程中，属于一元二次方程的是（

）【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．故选：A．【答案】B【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果．故选：B．A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可．故选：B．【答案】D故选：D．A．2022 B．2024 C．2025 D．2028【答案】A故选：A．【答案】故答案为：．【答案】3则原方程可变形为：故答案为：3．（1）下列方程是“自然方程”的是（填序号）【答案】②④0或2【分析】（1）利用因式分解法或直接开平方法解方程，然后计算每个方程的两根之差的绝对值，然后根据“自然方程”进行判断；故答案为：②④；故答案为：0或2．11．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键；（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；（2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；（3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0．12．解方程：【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．(1)化简P；【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键．（1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可；14．解下列方程．【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常