高考一轮复习理数教师用书第三章导数及其应用

第三章导数及其应用

本节主要包括2个知识点：

第一节导数的概念及导数的运算L导数的概念及运算；

2.导数的几何意义.

突破点（一）导数的概念及运算

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

I.瞬时速度和瞬时加速度

⑴瞬时速度：对于0〃，勿+"］时的平均速度3=管，当ALO时，石=蜉趋近于

一个常数，这个常数就是，=/0的瞬时速度.

（2）瞬时加速度：对于工£品，，o+A4时的平均加速度a=wp当ALO时，a=不趋

近于一个常数，这个常数就是f=fo的瞬时加速度.

2.函数y=/U）在x=x0处的导数

设函数y=/U）在区间（。，力）上有定义，b）,若Ax无限趋近于0时,比值言=

./(XQ+AX)—/(xo)

无限趋近于一个常数4,则称ZU）在x=u处可导,并称常数A为函数f（x）

在X=Xo处的导数，记作f（x“.

3.函数Ax）的导函数

若函数），=/H）在区间3,一内任意一点都可导,则人工）在各点的导数也随着自变量x的

变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为/工）的导函数,记作尸（工）.

4.基本初等函数的求导公式

"0>0,且logaX(a>0>

原函数eInxsinxcosx

“H1)且

1

ax!]1

导函数excosx-sin_x

~ixlnaX

5.导数运算法则

z

(i)[Ax)±g(x)]‘=r(x)±g(x)t

(2)[/U)g(x)]'=£(x快(x)+/U)7(x)；

(3)lCf(x)r=Cf(x)(C为常数)；

fa)ga)-/(x)g，(X)

(4U)J-%)尸即问).

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

”一已知函数的解析式求导数

［例1］求下列函数的导数：

风1+古)；

，一、Inx

(2)J=—人;

(3)j=tanx；

(4)j=yex—2x4-e.

［解］⑴力=(1-五)(1+古)=七一5=x2r2,

,111N1二

•3=(*2y—(/)'=一齐2~2X2,

r1

,/Inx\f(Inx)x—xInx

(2)y=P

-•x-Inx

1-Inx

=x2.

,(sinx\,(sinx)'cosx-sinx(cosx)’

(-VcosX)-cos2x

cosxcosx-sill式一sin*)

cos2x

_1

-COS2X*

(4»'=(3xexy-(2x)r+(e)'

=(3X)Zex4-3x(ex)/一(2*)'

=3x(ln3).^-|-3xex—2xln2

=(ln3+1)・(3铲-2"ln2.

［方法技巧1

导数的运算方法

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导.

⑵分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.

⑶对数形式：先化为和、差的形式，再求导.

(4)根式形式：先化为分数指数黑的形式，再求导.

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.

一"^导数运算的应用—

［例2］(1)(2017•济宁二模)已知函数人幻=力2017+lnx),/(x0)=2018,则x0=

(2)已知/U)=%+2V(2017)+2(H7lnx,则，(1)=.

［解析］(1)由题意可如/'(x)=2017+lnx+x±=2018+h】x.由/(刈)=2018，得加

x()=0,解得xo=l.

(2)由题意得，(幻=工+如(2017)+之步，

所以/'(2017)=2017+2/(2017)+答告，

即，(2017)=—(2017+1)=—2018.

故，(l)=l+2X(-2018)+2017=-2018.

［答案］(1)1(2)-2018

［方法技巧］

丽家函数求导的解题策略

在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为人x)=/'(xo)x

+sinx+lnx(xo为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确，(X。)是常数，其导数值为0.

因此先求导数，(x),令x=x。，即可得到，(xo)的值，进而得到函数解析式，求得所求的

导数值.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.［考点二1(2018•太仓中学月考)已知/i(x)=sinx+cosxt记f2(x)=f'i(x),fs(x)=

f2(x),…，加x)=/且心2),则力0+於6)_^------1■力01©)=.

解析：员(x)=/‘I(x)=cosx—sinx,力(x)=/2(x)=—sinx—cosx,f^x)=f3(x)=sinx

—cosx,fs(x)=f,4(x)=sinx+cosx,故周期为4,前四项和为0,所以原式=力倒=§也1

4-cos^=1.

答案：1

2.［考点二］(2018林州期初检测)记定义在R上的函数的导函数为，(x),如果存

在xoGLa.h］,使得加)一儿/)=/'(xo)(力一°)成立，则称丈。为函数人工)在区间用，切上的"中

值点”，那么函数人幻=如一3X在区间［-2,2］上的“中值点”的个数为.

解析：因为八2)=2,<—2)=—2,式；匕2;：)=1,所以/(幻=3*2—3=1,得工=±^卓

e［-2,2］,故有2个“中值点”.

答案：2

31考点二］(2018•南京近点中学月七)己知函数人幻的导数为/'(x),且满足关系式yir)=

x2-^-3xf,(2)+ln.v,则/(2)的值等于.

解析：因为兀。=/+34(2)4-Inx,所以，(x)=2x+y'(2)+丁所以/(2)=2X2

1_9

+3f(2)+引解得，(2]=­.

答2g案：一彳9

4.[考点二]在等比数列｛斯｝中，41=2,。8=4,函数/(x)=x(x—41)・(X—。2).......(X—。8)，则

/(0)的值为.

解析：因为/'(x)=x'・[(X—41)(X—O2)•…・(X—a8)]+[(x-Gi)(x—42)•…・(X-a8)|',x=(x—

—。2)•…・(X—O8)+[(X—Ol)(x—。2)。8)]'以，所以尸(0)=(0-。。(。一畋卜…乂。一。8)+

T=<=

0=。1。23..也8.又数列｛%｝为等比数列，所以。2。7=。3。6=〃4。5=。1“8=8,所以>/(0)8'4096.

答案：4096

5』考点一1求下列函数的导数.

(Dju/sinx；

(2)j=lnx+-；

解：(1)旷=(x2Ysinx+x2(sinx)1

=2xsinx+Fcosx.

(2))，'=(加x+9=(加沙+G)，="

(cosx)'e*-cosMe*)'sinr+cc$x

(3»，=

突破点(二)导数的几何意义

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

函数/(X)在点Xo处的导数/'(Xo)的几何意义是在曲线y=/U)上点P(xo,Vo)处的切线的

斜率.相应地,切线方程为y—血=/'(xo)(x—xo).特别地,如果曲线y=/(x)在点(xo,jo)

处的切线垂直于x轴，则此时导数/出))不存在，由切线定义可知，切线方程为x=w.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

…求当D线方程

［例1］已知函数凡＜:)=必-4x?+5x—4.

(1)求曲线人用在点(2,/(2))处的切线方程；

⑵求经过点A(2,-2)的曲线｛x)的切线方程.

|解I(I)：/(x)=3F—8X+5,

：.f(2)=1,又42)=—2,

・•・曲线大X)在点(2,/2))处的切线方程为)，一(一2)=》一2,x-j-4=0.

(2)设切点坐标为(xo,xj—4xd+5x()—4),

,*,/(xo)=3xj—8x0+5,

，切线方程为j—(—2)=(3xJ—8x()4-5)(x—2),

又切线过点(xo,xj—4xfl+5xo—4),

xj—4xi+5x0—2=(3xJ—8xo+5)(x0-2),

整理得(xo—2)2(Xo—1)=0,

解得xo=2或xo=l,

・•・经过A(2,—2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.

［方法技巧］

求切线方程问题的两种类型及方法

(1)求“在"曲线y=«r)上一点玳xo,则)处的切线方程：点P(xo,州)为切点，切线斜率

为k=f(xo),有唯一的一条切线，对应的切线方程为yo=/'(xo)(x-xo).

(2)求“过”曲线上一点尸(xo,泗)的切线方程：切线经过点尸，点尸可能是切点，

也可能不是切点，这样的直线可能有多条.解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，

即：

①设切点A(xi,yi),则以A为切点的切线方程为(xi)(x—xi)；

②根据题意知点PCro,刃)在切线上，点A8,口)在曲线『=爪幻上，得到方程组

V1=/(X1),

,求出切点A(xi,ji),代入方程y—(xi)(x—xi),化简即得

ly()-yi=f(xi)(xo-xi),

所求的切线方程.

［提醒|~~“过点人的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，

后者4必为切点，前者未必是切点.曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某

点的切线往往不止一条.切线与曲线的公共点不一定只有一个.

—求切点坐标

［例21(1)设曲线jue"在点(0,1)处的切线与曲线y=5x>0)上点P处的切线垂直，则

点P的坐标为.

(2)(2018•广州模拟)设函数人幻=3+"2,若曲线)，=大用在点尸5),人xo))处的切线方程

为x+y=0,则点尸的坐标为.

［解析I(1)/=^的导数为y'=巴则曲线在点(0,1)处的切线斜率Ai=d)=Ly=：

(x>0)的导数为y'=-A(x>0),设P(m,ii)t则曲线y=±x>0)在点尸处的切线斜率A?

=-5(机>0).因为两切或垂直，所以&I依=-1,所以加=1,〃=1,则点尸的坐标为(1,1).

(2)由题意知，f(x)=3x2-F2«x,

所以曲线y=力》在点P(xo,4加)处的切线的斜率为了'(Xo)=3蝴+laxn,

又切线方程为x+j=0,

3xn4-2aro=-1,

所以xoWO,

.xo+xj+axa=O,

解得a=±2fxo=—

Xo=1,

所以当I时，点p的坐标为(1,-1):

a=-2

Xo=-1,

当彳时，点尸的坐标为(一1,1).

[a=2

[答案1(1)(1,1)(2)(1,一1)或(一1,1)

求参数的值

［例31(1)直线_y=h+l与曲线歹=必+蛇+》相切于点41,3),则2。+》的值为

x+1

(2)已知曲线)，=；二7［左点(3,2)处的切线与直线ax+y+l=0垂直，则a

3

l4-flX1+^=3,(a=-lt

3X12+G=A,由此解得卜=3,所

&X1+1=3,1A=2,

以2a+b=l.I

一2

(2)由y'得峋线在点(3,2)处的切线斜率为

。一1)2

—3，又切线与直线ax+y+l=O垂直，则(-3*(—a)=-1,得a=-2.

［答案1(1)1(2)-2

［方法技巧］

根据导数的元而■意义求参数值的思路

根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(xo,g)既在曲线上又在切线上

构造方程组求解.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

11考点一］已知大x)=2Hsiiix,则曲线f(x)在点(0,40))处的切线方程为.

解析:V/(x)=2ersinx,.*./10)=0,f(幻=2砥§也x+cosx),:.f(0)=2,一级“r)

在点(0,40))处的切线方程为y=2x.

答案：y=2x

2」考点三］(2018・仪征中学高三月七诺直线k2工+用是曲线尸xlnx的切线，则实数

m的值为.

解析：设直线y=2x+〃?与曲线y=xlnx相切于P亿/In/),r>0,由y=xlnx得j'=

lnx+1,由题意lnf+l=2,所以f=e,即P(e,e),所以e=2e+m,解得〃z=­c.

答案：一e

31考点二1在平面直角坐标系xO)，中，点"在曲线C：y=/-x+l上，且在第二象限

内，已知曲线。在点M处的切线的斜率为2,则点/的坐标为.

解析：由/=3x2-1=2,得x=±1,又点M在第二象限内，故x=-l,此时y=l,

即点M的坐标为(一1,1).

答案：(一1,1)

4.［考点三］(2018R阳八中模板)已知函数人制=。刊111，x@(0,4-~),其中。>0且。工1,

，(x)为/U)的导函数，若，(1)=3,则。的值为.

解析：因为人幻=砂111X,所以/'(x)=hix+《又，(1)=3,所以”=3.

答案：3

y\\r=/(«)

5.［考点一］如图，尸人T)是可导函数，直线/：尸A*+2是曲线尸\

凡r)在x=3处的切线，令g(x)=M(x),则曲线g(x)在x=3处的切线方

程为--------•o|'"3*；

解析：由题图可知曲线产人幻在x=3处切线的斜率等于一;，即7(3)=一；.又因为

g(x)=xftx)t所以g'(X)=/U)+4(x),/(3)=43)+"'(3),由题图可知人3)=1,所以

g(3)=，3)=3,gr(3)=1+3X(—3=0.则曲线g(x)在*=3处的切域方程为y—3=0.

答案：厂3=0

［课时达标检测।―p重点保分课肝二示题夯双基,三■练题菽高考

I练基础小题二耳花面能力

1.(2018•镇江M研)函数八x)=(x+l)2(x-l)在*=1处的导数等于.

解析：大外=任+1)2(工-1)=^+d一x-l,f(x)=3x2+2x-l,f(l)=3+2-l=4.

答案：4

2.(2017•苏州暑假测试)曲线y=2*在x=0处的切线方程是_______.

解析：因为旷=2x\n2,所以在x=0处的切线斜率为改=2。乂加2=加2,因此切线方

程是y-1=加2X(x—。)，即y=xln2+l.

答案：j=xln2+1

3.已知直线产一x+l是函数人外=一%图象的切线，则实数。=.

解析：设切点为(X0,则)./'(x)=-G修，则广(xo)=­7(沅0=-1,，exo=a,又一70x0

=-xo+1,.*.xo=2,.*.c

答案：e?

4.（2018・无锡期末）过曲线y=x-%>0）上一点Pg,则）处的切线分别与x轴、j轴交

于点A,B,O是坐标原点，若△OAA的面积为:，则%）=.

解析：=l+p,：.y'X=xo=l+*,

••AB:J—Jo=（l+g（x—xo）.

又y°=x°_A，•••）’-刈+5=（1+;3（"一必）

2

令x=0得y=一;;

Xo

令y=°得"=稿，

:.5404A='套］：；%=；,解得x=y［5（负值舍去）.

答案：V5

5.（2018•时州月号）设点?为函数人幻=掘-3图象上任一点，且大x）在点尸处的切线

的倾斜角为。，则夕的取值范围为.

解析：由得J'（》）=*3产+§2；乂2小=小，即tan夕2小（〃£［0,江））,

解得TWaV系

答案心f）

［练常考题点一检验高考能力］

一、填空题

1.（2018•扬州期初测试）若以数列｛。“｝中的各项a”作为系数，构成一个函数系），=”衣3,

其图象在x=l处的切线的斜率为4飙一1—1（〃22）,且〃1=4，则a”=.

解析：由y=aX,得y'=3。,£,故当x=l时，切线的斜率A=3a“，从而3%=加“-

d1441

1—于是3。〃-3=4a”-i—4（〃22）,故---n---^=式〃22）,又内=.,所以。［一1=］,

an-i—1JJJ

14

所以数列｛%—1｝是以可为首项，Q为公比的等比数列，故%

答案：

2.(2018•泰州模拟)已知曲线C：人幻=3—。工+”，若过曲线C外一点A(l,0)引曲线C

的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为.

2,

解析：设切点坐标为Q,户-af+a).由题意知，f(x)=3x—af切线.的斜率k=f(t)

=3t2—a①，所以切线方程为y—(Q—d+。)=(31一a)(x—。②.将点A(l,0)代入②式得

一(F—a/+a)=(31一a)(l—1),解得f=o或1=号.分别将1=0和代入①式，得A=-a和

A=弓一明由题意得它们互为相反数，故一。+今一。=0,解得。=学

答案段

x+4

3.(2018•太仓高级中学模拟)若点P,。分别是曲线》=丁与直线4x+y=0上的动点，

则线段PQ长的最小值为.

v-4-4

解析：易知曲线y=一二与直线4x+y=0无公共点，设直线4x+y=5与相切，

x+444

产为切点.对)，=一:一求导得y'=一Q，由一o=-4得工=±1,因此尸(1,5)或尸(一1,—3),

97

解得m=9或m=—7此时两直线,4x+y=〃?,4x+y=0间的距离分别为故线段

t洞布

PQ长的最小值为今像.

答案・匹

GKC•17

4.(2018・漉安月考)给出定义：若函数/(x)在。上可导，即f'(幻存在，且导函数尸(x)

在。上也可导，则称人x)在。上存在二阶导函数，记r(x)=C(X))',若r(x)V0在。

上恒成立，则称大x)在。上为凸函数.以下四个函数在(0,号上为凸函数的是.(填

序号)

®fix)=sinx+cosx；®f(x)=\nx-2x；

@Jlx)=-x3+2x-li®fix)=xex.

解析：在定义域(0,内，由广(x)=-sinx—cosxVO,得①是凸函数；由/"(x)=

一2V0,得②是凸函数；由f(x)=_6x<0,得③是凸函数；由f"(x)=2ex+xex>0,得

④不是凸函数.

答案：①0③

5.(2018•重庆安妍旧知函数八的=集[+011%，其导函数为了'(X),则负2019)+负一2

019)4-/(2019)-/'(—2019)的值为.

22cx2

解析：V/(x)=^_|_14-sinx,:.f(x)=­杳不^+以^xf人幻+八一幻=嬴百+$加x

22cx2e-x

+©)+1+sin(—x)=2,f(x)—fr(一幻=-布不+cosx+[=7不评-cos(-x)=0,:・f{2

019)+贝一2019)+/(2019)-/(-2019)=2.

答案:2

6.(2018•宿迁期初测试)若直线，与曲线C满足下列两个条件：(i)直线/在点尸(小，川)

处与曲线C相切；(ii)曲线。在点尸附近位于直线/的两侧，则称直线/在点尸处“切过”

曲线C,下列四个命题：

①直线/：)=0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y=W；

②直线/：_y=x—l在点P(l,0)处“切过”曲线C：j=hix；

③直线1；j=-x+n在点Pg0)处“切过”曲线C；y=sinx；

④直线/：产x+1在点P(0,l)处“切过”曲线C：y=e.

其中正确的命题有.(填序号)

解析：对于①，jux3在点尸(0,0)处的切线为y=0,且曲线yux3在(0,0)附近位于直线y

=0两侧，符合题中两个条件，所以正确；对于②，曲线C:j=lnx在直线，：)，=》一1的

同侧，不符合题意，所以错误；对于③，由图象可知，曲线C:y=sinx在点PS,0)附近

位于直线/的两侧，符合题意，所以正确；对于④，曲线C:)，=。在直线/:j，=x+l的同

侧，不符合题意，所以错误.即正确的有①③.

答案：①@

7.(2018•启东中学月与若曲线产“Inx与曲线尸会在它们的公共点P(s,。处具有公

切线，贝1=.

解析：函数产alnx的导函数为W，其切线在P(s,。处的斜率为Ai=,.函数尸*;

xs/e

的导函数为=~,其切线在P(S,。处的斜率为42=：.由曲线产alnx与曲线产圣在它们

的公共点P(s,。处具有公切线，可得且，=聂=痴s,5>o,所以Ins=l,所以$2

se/e/

=e,所以f=；,s=/，即土器

答案硬

X.(2018•无饵期初测试)曲边梯形由曲线y=*2+i,>,=(),T=1,*=2所围成，过曲线

^=炉+1,[1,2]上一点尸作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯

形，则这一点的坐标为.

解析：设P(xo,xj+l),xe[l,2],则易知曲线y=X2+i在点尸处的切线方程为)，一(篇+

l)=2x(»(x-xo),令V=2xo(x—xo)+xo+1=g(x),由g(l)+g(2)=2(xd+l)+2xo(l-x()+2—xo),

3

过cg(i)+gQ)2时

付3普通样力=2所以当尸点坐标为

S.通峰彩最大.

答案：(?T)

9.若曲线Ar)=or，+加x存在垂直于)，轴的切线，则实数〃的取值范围是_______.

解析：由题意，可知，(x)=3ax24-^,又曲线存在垂直于y轴的切线，所以3ax?+[=

0,即。=一表(x>0),故”W(—8,0).

答案：(一8,0)

10.(2018•南逋调研)在平面直角坐标系xOy中，直线/与曲线)=炉(工>0)和

0)均相切，切点分别为ACm》)和以如工)，则段的值是.

八2

解析：由y=*2得jJ=2xt切线方程为y—x*=2xi(x—Xi),即y=2xix一竹.由得

y'=3AT,切线方程为y—E=3M(X一处)，即y=3xir—2冠，

由仁普磴耳

答案"

二、解答题

11.己知函数人x)=4r3-2x2+3x(xGR)的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线。上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线。的切点的横坐标

的取值范围.

解：(1)由题意得/'(切=32—4x+3,

则，(x)=(x-2)2—12—1,

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+8).

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,

则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，〈1

解得一1WAV0或〃21,

故由一1・/-4*+3<0或x2—4x+321,

得X£(-8,2-V2JU(l,3)U[2+V2,+<»).

12.(2018•启东中学高三月考)已知函数"幻=蛇3+3炉一6〃工一11,g(x)=3x2+6^+12

和直线，〃：y=Ax+9,且r(-1)=0.

⑴求。的值；

(2)是否存在A,使直线m既是曲线y="x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线？如果存在，

求出〃的值；如果不存在，请说明理由.

解：(1)由已知得/(r)=3ax24-6x—6«,因为，(-1)=0,；.3。-6—6。=0,*,a=—

2.

(2)存在.由已知得，直线加恒过定点(0,9),若直线机是曲线y=g(x)的切线，

则设切点为(xo.3x6+6切+12).因为/(xo)=6x0+6,

所以切线方程为y—(3x8+6xo+12)=(6xo+6)(x—xo),

将(0,9)代入切线方程，解得*。=±1.当*o=—1时，/(—1)=0,切线方程为$=9;

当刈=1时，g1(1)=12,切线方程为y=12x+9.

由⑴知八幻=一2^+31：2+12k一11,

①由，(x)=0得-6T2+6X+12=0,解得尸=-1或X=2.

在x=-1处，了=兀0的切线方程为y=-18;在x=2处，的切线方程为了=9.

所以y=/>)与y=g(x)的公切线是y=9.

②由/'(x)=12得一6F+6X+12=12,解得x=0或x=l.在x=0处，y=/(x)的切线方

程为y=12x-ll;在x=l处，y=/(x)的切线方程为_y=12x-10;所以_y=/(x)与)，=4x)的

公切线不是y=12x+9.

综上所述，y=/(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时&=0.

本节主要包括2个知识点：

1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单

第二节导数与函数的单调性

调区间；

2.利用导数解决函数单调性的应用问题.

突破点(一)利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1.函数的单调性与导数的关系

函数y=Ax)在某个区间内可导：

⑴若/'(幻>0,则/⑺为这个区间上的增国数；

⑵若/(x)<o,则人x)为这个区间上的减函数；

⑶若r(x)=0,则伟r)在这个区间上是常数函数.

2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论

(1)函数/U)在(〃，力内可导，且，(X)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.当x£(©力)

时，

®f(x)20O函数凡r)在(a,力)上单调递增；

@f(x)WOO函数八i)在(a,力)上单调递减.

(2叶(幻>0(<0)在(。，。)上成立是/U)在(用加上单调递增(减)的充分条件.

考点贯通抓高者命■的“形”与“神”

证明或讨论函数的单调性

判断函数单调性的三种方法

在定义域内(或定义域的某个区间内)任取X1，X2,且X1VX2，通过判断人工1)

定义法

一兀⑵与0的大小关系来确定函数大幻的单调性

利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，

图象法则函数在这个区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则

函数在这个区间内是减函数

导数法利用导数判断可导函数人幻在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性

I例1］已知函数八X)=(G-1)1I】X+«X2+L讨论函数八x)的单调性.

f,a-1,2ax1-\-a

|解|八工）的定义域为（0,+8）,f（x）=——4-2«j=----

(1)当。21时，，(x)>0,故人工)在(0,+8)上单调递增;

(2)当时，(x)V0,故於)在(0,+8)上单调递减;

(3)当OVaVl时，令/(x)=0,解得x=4高£则当工£卜，牌时,…

<0；当+00时/(外>0,故人上单调递减，在

+8上单调递增.

［方法技巧］

导数法研究函数及)在⑷村内府编函骤

⑴求/'(X)|

(2)确定域(X)在3,力内的符号；

(3)得出结论：当/(0>0时，函数人x)在S,㈤内单调递增；当/(x)V0时,函数人幻

在(明力)内单调递减.

［提醒］讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类

讨论.

考金二求函数的单调区间

vn劣

［例］已知函数大幻；；：其中且曲线（）在点（八））处的切

2="T+X—Inx—3/,a£R,y=/x1,1

线垂直于直线），=%,求函数/U）的单调区间.

【解I对./）求导得/'（x）=1—%—占

由曲线）,=大幻在点（1,八1））处的切线垂直于直线）,=%,知，（i）=一（一。=一2,解得

5

。=不

Ys312-

所以大用=彳+£一加工一手则（）:

rx=-4X2\

令/（x）=0,解得X=-1或x=5,

因X=-1不在4x）的定义域（0,+8）内，故舍去.

当x£（0,5）时，/'（x）V0,故Hx）在（0⑸内为减函数；

1*

当x£（5,+8）时，f（X）＞O,故/U）在（5,+8）内为增函数.

所以函数人x）的单调递增区间为（5,4-oo）,单调递减区间为（0,5）.

［方法技巧］用导数求函数单调区间的三种类型及方法

r（x）＞o（vo）可解先确定函数的定义域，解不等式/（x）＞0或，（x）V0求出单调区间

先确定函数的定义域，解方程，（幻=0,求出实数根，把函数/（x）的间

断点（即/（X）的无定义点）的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，

,（x）=0可解

把定义域分成若干个小区间，确定（X）在各个区间内的符号，从而确

定单调区间

先确定函数的定义域，当不等式r（幻＞0或r（x）〈o及方程r（幻=。

f(x)>0(V0)及

均不可解时，求导并化简，根据/（幻的结构特征，选择相应基本初等

/'(x)=0不可解

函数，利用其图象与性质确定尸（X）的符号，得单调区间

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.［考点二］函数〃x）=（x-3）Q的单调递增区间是________.

解析：依题意得r5）=（工-3）'-+（工一3）（旷）'=a-2）e\令/'（x）＞0,解得K＞2,

所以人为的单调递增区间是（2,+8）.

答案：（2,+«＞）

2』考点一］下列函数中，在（0,+8）上为增函数的是.（填序号）

①/lx）=sin2x；

@f（x）=xex；

@f（x）=x3—x；

@/|x）=-x+lnx.

解析：对于①，"r)=sin2x的单调递增区间是［也一去A"却l£Z);

对于②，f(x)=e"(x+l),当x£(0,+8)时，f(x)＞o,

工函数4%)=^^在(0,+8)上为增函数；

对于③，f(x)=3x2—1,令/'(x)＞0,得x＞雪或xV—乎，

函数X在(一8,一坐)和停，+8)上单调递增；

对于④，，(的=-1+==一一，令r(幻＞0,得OVxVl,・•・函数｛x)=-x+lnx

人人

在区间(0,1)上单调递增.

答案：②

31考点二］(2018•盐城中学月为函数Wx)=x-hix的单调减区间为.

1X~11x—1

解析：函数八幻的定义域为(0,+8),/(x)=i—；=一二.令7(x)=l-—＜0,

得0VxV1.则函数f(x)=x-\nx的单调减区间为(04).

答案：(0,1)

4』考点一］已知函数/(x)=lnx—ax(a£R),讨论函数大制的单调性.

解：人x)的定义域为(0,+8),f(x)=~a(x＞0),

人

①当〃龙。时，/(X)=；-Q＞0,

即函数《幻在(。，+8)上单调递增.

②当。＞0时，令，(x)=：—G=O,可得x=5，

,1,,1—ax

当OVxV^时，f(xi=—^＞0;

当x＞《时，f，(幻=上詈＜°，

故函数人幻在(o,o上单调递增，在G，+8)上单调递减.

由①②知，当时，/U)在(0,+8)上单调递增；

当心＞0时，*x)在(0,0上单调递增，在Q,+8)上单调递减.

5.［考点二］已知函数/(幻="2+1(。＞0),g(x)=x3+bx.

(1)若曲线与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求〃，。的值；

(2)当02=4力时，求函数人x)+g(x)的单调区间.

解：(Uf(x)=2axf/(幻=3/+儿

7(l)=a+l=c,

由已知可得，g(l)=l+3=c,解得a=b=3.

2a=3+九

42

(2)令尸F1(幻=3/+2仃+彳，令F'(x)=O,得xi

aa

=一》必=一年

由尸'(x)>0得，xV—彳或x>一点；

由尸'(x)VO得，一WvxV-£

・•・函数式x)+g(x)的单调递增区间为(一8,一?，(一*4-00)；单调递减区间为

突破点(二)利用导数解决函数单调性的应用问题

利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：

(1)已知函数的单调性求参数范围问题：解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再

参变分离，转化为最值问题求解.

(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造

函数，通过函数的性质求解.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

*4-已知函数的单调性求参数的取值范围

［例1］已知函数./U)=A?-GX—1.

(1)若人X)在区间(1,+8)上为增函数，求4的取值范围；

(2)若_/U)在区间(一1,1)上为减函数，求。的取值范围；

(3)若负刈的单调递减区间为(一1,1),求。的值.

2

［解|⑴因为，(x)=3x-at且人X)在区间(1,+8)上为增函数，所以，(x)20在3

+8)上恒成立，即3——在(1,+8)上恒成立，所以。勺3“2在(1,+8)上恒成立，所

以“W3,即。的取值范围为(-8,3］.

(2)因为八X)在区间(一1,1)上为减函数，所以，(x)=3f—在(一1,1)上恒成立，即

〃23工2在(-1,1)上恒成立.因为一IVxVl,所以3/V3,所以“23.即a的取值范围为［3,

+°°).

(3)因为凡¥)=必一ar—l,

所以/'(*)=3/—a.由/'(幻=0,得

因为人幻的单调递减区间为(一1,1),

所以—1］,即。=3.

［方法技巧］

由函数的单调性求7数取值范围的方法

(1)可导函数在区间S,力)上单调，实际上就是在该区间上，(x)20(或，(x)/0)恒成

立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意

检验等号成立时导数是否在(%b)上恒为0.

(2)可导函数在区间(〃，〃)上存在单调区间，实际上就是/'(x)>0(或广(x)V0)在该区

间上存在解集，即，(X)mHX>0(或，(X)minVO)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，

求出参数的取值范围.

(3)若已知《X)在区间/上的单调性，区间/上含有参数时，可先求出汽幻的单调区间，

令,是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.

比较大小或解不等式

［例2］(1)若0Vxi<t2Vl，则下列各式中关系正确的序号是.

①ex2-e*i>lnX2-Inxi；②e.©—exiVinX2-InXi；

@X2CX1>X1CX2；@X2eXi<XiCX2.

1r2i

(2)已知函数/U)(x£R)满足_/U)=L且/(x)的导数f(X)VQ,则不等式人》2)〈3+弓的

解集为.

⑶(2017•江苏高为己知函数人x)=/-2x+e*一/，其中e是自然对数的底数.若加一

1)+大加2)运0,则实数〃的取值范围是________.

1XCx~1

［解析］(1)构造函数儿。=胪-1!1X,则/'(X)=0,得工^一1

=0.根据函数y=e*■与的图象可知两函数图象交点joe((),l),因此八%)=(^一加x在(0』)

上不是单调函数，无法判断大。)与八刈)的大小，故①②错；构