高中数学二轮复习学案-13平面向量重难点解析版

平面向量重难点（新高考）

【备考指南】................................................................2

【方法技巧】................................................................2

【真题检验】................................................................3

【热点预测】................................................................8

【热点一】三点共线与共线定理................................................8

【热点二】三点共线与坐标形式...............................................12

【热点三】三点共线与应用问题...............................................14

【热点四】数量积定义运算...................................................19

【热点五】数量积坐标运算...................................................22

【热点六】投影向量.........................................................25

【热点七】向量共线定理解决范围与最值......................................29

【热点八】向量坐标运算解决范围与最值......................................35

【热点九】向量与几何范围与最值.............................................40

【强化训练】...............................................................45

雷备考指南

考占考情分析考频

平面向量的线性运算2022年新高考I卷T3

2023年新IWJ考I卷T3

2023年新高考I【卷T13

2022年新高考H卷T4

数量积运算及其应用2022年全国甲卷T133年8考

2022年全国乙卷T3

2021年全国甲卷T14

2021年全国乙卷T14

2021年新高考H卷T15

预测：从近3年看，平面向量这部分内容主要考察数量积运算及其应用，试题难度不大，二轮

复习时要牢固掌握基础知识点，能对基础的知识进行简单的原因.更早以前平面向量这部分内

容也可能会出现难度较大的考察，在后续的复习中也应到考虑到.

1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.

2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.

3.模的范围或最值常见方法

⑴通过同2=/转化为实数问题；

⑵数形结合；

⑶坐标法.

4.结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转化为函数的值域问题，

其中选择的变量要有可操作性.

5.平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过

列不等式或等式得关于系数的关系式，从而求系数的取值范围.

6.利用共线向量定理及推论

(1“〃力0〃=助(斤0).

(2)-=2为+〃而九〃为实数)，则力，B,C三点共线o2+"=L

7.找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0,71]:

若向量明b的夹角为锐角，包括和明力不共线，同理若向量a,b的夹角为钝角，包括〃心＜0和出

力不共线.

8.向量数量积最值(范围)问题的解题策略

(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征

直接进行判断.

(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等

问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

真题检验

一、单选题

1.(2022・北京・统考高考真题)在“BC中，%C=3,8C=4,NC=90。.P为“BC所在平面内的动点，且PC=1,

则班•方的取值范围是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设尸(cos。,sin6),表示出刀，而,根据数量积的坐标表示、辅助

角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系,则。(0,0)，4(3,0),8(0,4),

因为PC=1,所以尸在以C为圆心，1为半径的圆上运动，

设p(cose,sin。)，0e[0,2^],

所以尸4=（3-cos。,一sin。）,尸8=（-cos3,4-sin0）,

所以万.丽=（一cos。）x（3-cos。）+（4-sin9）x（-sin。）

34

=l-5sin（^+（p）t其中sin0=《,cos。=w

因为TKsin（e+°）Kl,所以一44l—5sin（9+8）W6,即方•而w[—4,6]；

故选:D

二、填空题

2.(2021•全国•统考高考真题)已知向量＞=(1,3),3=(3,4),若日-「)"，贝厂=

【答案】|3

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为"―4=(L3)T(3,4)=(1—3/3—47),所以由(1时1族可得，

3(1-3/1)+4(3-42)=0,解得力=|.

故答案为：

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设£=(演，必)]=(々,必)，

£_1否015=0062+%%=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.

3.(2021•全国•统考高考真题)已知向量q+刃+c=。，。卜1,4=C|=2,ab+b-c+ca=

【答案】《

【分析】由已知可得R+石+%丫=o,展开化简后可得结果.

【详解】由己知可得(a+B+c)=。~+B~+/+2(a・B+B.c+cq=9+]a-b+b-c+c-^=(,

.......................9

因此，ab+bc+c-a=——.

2

9

故答案为：

4.(2021・全国•统考高考真题)已知向量”=(3,l)[=(l,0),c=a+届.若则左=

【答案】-?.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量？的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值

【详解】万=(3,1)3二(1,0),.•.?=G+AB=0+%/)，

•・•G_L乙.,.6C=3(3+k)+lxl=O,解得％=一与，

故答案为：-日.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

P=("】)，，=(工2，速2)垂直的充分必要条件是其数量积+必乃)0.

5.(2021.全国•高考真题)若向量满足何=3,卜一q=5"方=1,则|q=.

【答案】3啦

【分析】根据题目条件，利用£♦模的平方可以得出答案

【详解】・・卡-可=5

.・.*彳=7+方一而石=9+朴—2=25

:.b=3V2.

故答案为：3后.

6.(2021・浙江•统考高考真题)已知平面向量£,日,20)满足卜卜咽=2,々.否=0,。-书”=0.记向量2在

方向上的投影分别为x,八在"方向上的投影为z,则/+V+z2的最小值为.

【答案】?2

【分析】设)=(1,0),3=(0,2),?=(〃?,〃)，由平面向量的知识可得2x+y-石z=2,再结合柯西不等式即可得

解.

【详解】由题意,设3=(1,0)3=[0,2)忑=(/%〃)，

则卜J—孙4?=W7-2/7=0,即〃2—2〃，

又向量2在£,坂方向上的投影分别为工，y,所以2=(xj),

.____、,，.(d-a)cm(x-\\+ny2x-2+y

所以d-〃住c万IE上的投影z=--1--T=1,

klyjm2+n2±V5

即2x+y+45z=2,

fiJfl^x2+X+z2=-^22+l2+(±V5)*(x2+/+z2)>+s/Sz^=|,

x

cxz=75

=y=

当且仅当2TTV5即此时，等号成立，

2x+"石N=275

Z=TT

7

所以/+/+Z?的最小值为M.

2

故答案为：

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是由平面向最的知识转化出x,y,z之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.

7.（2023•天津•统考高考真题）在“8C中，4=60'，8C=1,点。为48的中点，点E为CD的中点，若

设48=G,4C=B,则^4E可用无坂表示为：若:BC,则JE-~AF的最大值为.

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合£为CQ的中点进行求解；空2：用瓦5表示出万，结合上•空

答案，于是荏.而可由万万表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

~AE+~ED=~AD

【详解】空1：因为E为C。的中点，则丽+反=6，可得，

ZE+EC=JC

两式相加，可得到2为g=N万+元，

即2亚=,）+坂，则荏

242

空2：因为豆F=g比，则2而+卮=0，可得，7F+FC=AC

AF+FB=AB

得到万+定+2（酢+而）=方-2而，

—2-1-

I'N3AF=2a+b»1'.AF=—a+—b.

于是次•/=（了+y）（产+5a-及23”

记N8=x,AC=y,

贝ijlg•/=卷卜/+57坂+2片）==（2^+5AYCOS60+2y）=-^2r若+

在中，根据余弦定埋：BC=x2+/-2xycos60=x2+/-%>>=1,

■荏•万WW+争力皓向,

由i?+/-个=I和基本不等式，x2+y2-xy=l^2xy-xy=xy,

故hG,当且仅当x=y=l取得等号，

13

则i=y=i时，万.赤有最大值弓.

24

故答案为：%1-+1沙-苗13.

8.（2021•天津•统考高考真题）在边长为1的等边三角形力4C中，。为线段BC上的动点，DEJ.AB口交

于点、E.。「〃/出旦交力C于点£则|2灰+而|的值为；（瓦+而）京的最小值

为.

【答案】19

【分析】设B£=x,由（2砺+57）2=4赤,+4诟・方+万武可求出：将（方+而）•应化为关于％的关系式

即可求出最值.

【详解】设8E=x,xe（0,；）,•・•△A8C为边长为1的等边三角形，DE1AB,

NBDE=30',BD=2x,DE=yf^x,DC=\-2x,

•••••.△。代;为边长为1一2%的等边三角形，DE上DF,

（2BE+而f=4BE1+4BE•而+而'=4x?+4x（1-2x）xcosO+（1-2x）2=1，

.J2诟+而|=1,

=(V/3X)24-(1-2X)X(1-X)=5X2-3J+1=5/—-1+—

I10J20

?11

所以当X=^时，（QE+8）Q/1的最小值为茄.

故案为：1;——.

热点预测

【热点一】三点共线与共线定理

一、单选题

ULULIUUU1I

1.：2023春・全国•高一期中）已知平面向量mb不共线，布=筋+诿，BC=—a+3bCD=a+3b,则（)

A.J,B,。三点共线B.A,B,。三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,力三点共线

【答案】D

【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解.

uaruuruunrrr,rrr

【详解】对A,3。=4。+。=-。+36+(4+3可x=6力与益不共线，A错误；

UCU11ULU11______

对B,48=4a+688C=—4+3b则而与团不共线，B错误；

UULU11UULU11

对于c,8C=-a+劝CO=4+%则工与而不共线，c错误；

uuruuruurrr/rrrruur

对于D,AC=AB+BC=4a+6b-^^-a+3bjx=3a+9b=3CD,

即就力而，又线段力。与CO有公共点C,所以4C,。三点共线，D正确.

故选：D.

2.(2023・全国•高一专题练习)已知£、B为不共线的向量，AB=a+5b^元=-W+砺，CD=3[a-b),

贝I」()

A.4B,。三点共线B.4C,。三点共线

C.4B,。三点共线D.B,C,。三点共线

【答案】C

【分析】根据平面向量共线定理及基本定理判断即可.

【详解】因为£、否为不共线的向量.所以£、g可以作为一组基底，

对于A：而=£+5九元=-2>+丽，若存在实数，使得益=/前，

则Z+5B=(2£+8可，所以，;：：[，方程组无解，所以而与而不共线，故A、B、。二：点不共线，即A

错误；

对于B：因为在=1+5=BC=-2a+8b»所以/C=万+8。=4+55+(-2a+8/；)=-a+135,

同理可以说明不存在实数,,使得配=/函，即就与函不共线，故A、C、。三点不共线，即B错误；

uuur/rr

对于C：因为定=-2々+正，CD=3^a-bjx,

所以丽=沅+而=一2)+而+3夕一可=1+5人

又通=1+55=而，所以万〃丽，故A、B、。三点共线，即C正确；

uuur/rn

对FD：BC=-2a+^b，CD=3£7-Z?,

同理可以说明不存在实数，，使得及之诟，即前与而不共线，故〃、C、。三点不共线，即D错误;

故选：c

3.（2023春•福建宇德•高一福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知砺=2+55，NP=-2（a-4b）,

PQ=3（a-b）,则（）

A.M,N,P三点共线B.M,N,。三点共线

C.M,P,。三点共线D.N,P,。三点共线

【答案】B

【分析】根据向量线性运算求而，由此证明丽=而，根据向量共线性质判断结论.

【详解】•.•而=-筋+源，PQ=3（a-h）,

：.NQ=NP+PQ=-2a+Sb+3（a-b）=a+5h,

,/A/N=万+5Z），MN=NQ.

由平面向量共线定理可知，丽与而为共线向量，

又丁丽与福有公共点N,N,。三点共线，

故选:B.

二、填空题

4.（2023秋•湖北荆州,高三公安县车胤中学校考阶段练习）],&是两个不共线的向量，已知初=21+左1,

既=4+34,丽=窑—1且4瓦。三点共线，则实数〃=.

【答案】-8

【分析】先表示出南，然后根据向量的共线定理进行计算.

【详解】依题意得，反、-1-戛，于是诙=肥+历=-1-31+2[£金~45，

由44,£）三点共线可知，存在4,使得益=2丽，即2[+它=X（晒），

2=A

由于录，公是两个不共线的向量，则。二一^丸，解得左=-8.

故答案为：-8

5.（2023秋•上海徐汇・高三上海市南洋模范中学校考开学考试）已知正六边形月BCQM,M、N分别是对

角线4C、CE上的点，使得空=g=厂，当厂=时，8、"、N三点共线.

ACCE

【答案】巫

3

【分析】连结力力，交EC于G点,根据正六边形的性质，表示出CT4=C->G+G—4=3[。T七+；3。T5,然后根据

桨=g=，表五成0t=空+>&，由共线定理求得参数「的值.

ACCE]_厂2r2

【详解】连结力力，交EC于G点，设正六边形边长为a,由正六边形的性质知，AD上CE,4D//CB,G

点为EC的中点，且4G=ga,

T—f]f3T

贝I」CA=CG+GA=-CE+-CB,

22

AMCN.八、....->rtf-CN

又卞==(/,°),则=CE=—>

ACCn|_rr

故型:里即揄=?&+<△&

1-r2r22r2

若8、〃、N三点共线，由共线定理知，

?+肉2=1,解得r=近或一直(舍)

2A233

故答案为：业

3

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用向量&,&表示&，从而根据嘤=/=，把向量表示

力C-C-Zi

成鼠=:无+理二2&,若8、M、N三点共线，由共线定理可以求得参数.

2r2

6.(2023秋•江西南昌•高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习)如图所示，在直角梯形/出。。中，已知4D//8C,

NABC=g,AB=AD=l,BC=2,M为8。的中点，设P、。分别为线段48、。。上的动点，若尸、M、

。三点共线，则而•丽的最大值为一

【答案】-2

【分析】建"直角坐标系，设尸(0,M,由F、M、。三点共线，设

uuirumruurfiiA2-3/H

BM=ABQ+(\-A)BP=(2A-AkM+m-Am)=-,-,求得“=三二咚，代入计算知

122yzzm+2

而不目」7一(〃?+1)1-2,为造函数/(⑼月」2,结合函数的单调性求得

2m+12机+1

最值.

fl1

【详解】如图所示，建立直珀坐标系，则8(0,0),C(2,0),4(0,1),M

(22

又。是线段CP上的动点，设CQ=kCD，^e[0,l]

ULUULUULU

则8。=BC+=(2,0)+网T,1)=(2初可得0(2-%,%)

设P(0,m),we[0,l],

uuuruuruur/1i

由P、M、Q三点共线，设&W=,t80+(l—4)8P=—

利用向量相等消去尤可得：攵=会一，

2m+2

令F0")=|"」7-0"+1)-2,阳w[0,l],则/(，”)在〃?w[0,l]上单调递减，

2\_m+\

故当初=0时，/(，”)取得最大值八0)=—2

故答案为：-2

【点睛】方法点睛：本题考查向量的坐标运算，求解向量坐标运算问题的一般思路:

向量的坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算可用坐标进行，实现了向量坐标运算完全代数化，

将数与形紧密的结合起来，建立直角坐标系，使几何问题转化为数数量运算，考查学生的逻辑思维与运算

能力，属于较难题.

【热点二】三点共线与坐标形式

一、单选题

1.(2023春•新疆•高一八一中学校考期末)在平面直角坐标系中，向量两=(1,4),方=(2,3),PC=(x,l),

若,4,B,。三点共线，则x的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解.

【详解】因为4B,C三点共线，

贝1)记=五尸7+〃口后，(4+4=1),

即a,l)=4(l,4)+〃(2,3)=(，+2〃,4/l+3〃),

x=2+2〃〃二3

解得匕=-2

则<1=44+3〃,

2+//=1x=4

故选：c

2.(2022・陕西西安•统考三模)已知向量方=(4,-4),前=(-\增,而=(-1,〃?)，若A,C,D三点共

线，则加=()

A.2B.|C.-2->/6D.-2+V6

【答案】A

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为方=(4,-4),5C=(-3,m),

所以就=方+就

因为A,C,。三点共线，

1=—A2=—1

所以4c=；14O=/=

m-4=Aw〃?=2

故选：A

uuuiuuuUUU

3.(2022秋•宁夏石嘴山•高二平罗中学校考期中)设向量。力=(1,-2),OB=(a-\]t=(-/>,0),其中。

1?

为坐标原点，。>0,b>0,若4B,。三点共线，则一+二的最小值为()

ab

A.4B.6C.8D.9

【答案】C

【分析】根据向量共线定理可得2a+b=l,再应用基本不等式“1"的代换求上1+[7的最小值，注意等号成立

ab

条件.

【详解】由题设，AB=OB-OA=(a-\A),AC=OC-OA=(-b-\y2),A,B,C三点共线，

***AB=AAC11.Ae9W1]9可得2Q+6=1,

2X=I

.*.i+-=(-+-)(2«+Z?)=4+-+—>4+2.p^=8，当且仅当6=2a=!时等号成立.

abahabNab2

.•・士+1的最小值为8

an

故选：C.

二、填空题

4.12023春•内蒙古通辽•高一校考期中)己知向量豆=(3,-4),05=(6-3),OC=(5-m-3-m)f若点A,

B，。三点共线，则实数〃?=.

【答案】-

【分析】根据向量共线定理可知方=4衣，根据向量坐标计算即可.

【详解】AB=OB-OA=(3A)yAC=0C-04=(2-m,\-m),

因为点A,B,C三点共线，所以』-=J—，解得加="

2-m1-m2

故答案为；y.

5.(2022春・河南•高三校联考阶段练习)已知向量荔=(-1,2),BC=(2t,t+5),若A、B、C三点共线，

则/=.

【答案】-1

【分析】由已知可得益〃墨，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数Z的值.

uiiauilflz、

【详解】由己知.48〃8C,则4/=一。+5),解得/=—1.

故答案为：7.

6.(2021秋•天津红桥•高三天津三中校考阶段练习)已知向量元=(l,sina-l),互5=(3/),而=(2,cos。)，

若依C,。三点共线，则tan(2OI9;r-a)=.

【答案】-2

【分析】根据三点共线得出向量前，而共线，从而得到lana=2,然后根据诱导公式求tan(2019万-a)的

值.

【详解】因为就=(l,sina-l),及5=(3,l),M5=(2,cosa),

所以万C=B,4+AC=(1,sina-l)+(3,1)=(4,sina),

CD=BD-BC=(2,cosa)-(4,sina)=(-2,cosa-sina),

因为8,C,。三点共线，

所以4(cosa-sina)+2sina=0,即tana=2,

所以tan(2019乃一a)=tan(-a)=-lana=-2.

故答案为：-2.

【热点三】三点共线与应用问题

一、单选题

一一UL111IIUlMII

1.（2023•全国•高三专题练习）已知a，b是平面内两个不共线的向量，43=a+劝，NC=〃a+6,%，AeR,

则A,B,C三点共线的充要条件是（）

2

A.%-〃=1B.%+〃=2C.A//=lD.—=1

【答案】C

ULUuum

【分析】利用向量共线的充要条件有=•且mwR，即可得答案.

【详解】由A,B,C三点共线的充要条件是送=用花且mwR,

所以「，故，，=1.

故选：C

2.（2023秋•四川达州•高三校考开学考试）已知力、B、C三点共线（该直线不过原点O）,且

______2]

OA=mOB+2nOC（m>0,w>0）>则—卜一的最小值为（）

mn

A.10B.9C.8D.4

【答案】C

【分析】先根据三点共线，求出刖+2〃=1,利用基本不等式求最值.

【详解】因为力、8、。三点共线（该直线不过原点。），且况=小。后+2〃元（加>0,”0）,

所以m+2〃=1

当且仅当网=二，即，〃=[〃=]时等号成立.

mn24

故选：C

【点睛】（1）4、B、C三点共线（该直线不过原点O）,且厉=4而+〃1，贝IJ有％+〃=1；

（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等〃：

①"一正〃就是各项必须为正数；

②"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积

的因式的和转化成定值；

③"三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求

的最值，这也是最容易发生错误的地方.

3.（2021春•四川广安•高一四川省广安代市中学校校考开学考试）已知Z，书是不共线的向量，

厉=%£+〃；,赤=33+2几无=2>+记若4从。三点共线，则实数人〃满足（）

A.见=〃-1B.义=〃+5

C.A=5-//D.4=〃+l

【答案】C

【解析】利用三点共线再利用向量相等可得答案.

【详解】由4解C点共线,得讣顺+(一)人=(f+2)1+(3T历,

MUUIXA————

而0A=2a+曲,于是彳f2a+/.ib=(t+2)a+(3-t)b»

2=/+2,

即《,4=5—〃.

〃=3T

故选：C.

二、多选题

4.(2023春♦重庆荣昌•高一重庆市荣昌安富中学校校考阶段练习)下列四个结论正确的是()

A.若平面上四个点P,A,B,C,PA=^-PB+^-PC,则4.B,。三点共线

44

B.已知向量£=(1,1)范=(-3,幻，若x<3,则为钝角.

C.若G为△48。的重心，则9+6万+元=0

D.若sin2/=sin28,△48c一定为等腰三角形

【答案】AC

【分析】对于A,利用共线向量定理判断，对于B,举例判断，对于C,由重心性质判断，对于D,利用三

角函数的性质判断

【详解】对于A,由方=!而+：定，所以强-左=!而+：斤-正，即行=!在，所以而共线,

44444

因为通有公共端点，所以4B，C三点共线，所以A正确，

对于B,当x=-3时，6=(-3,-3),此时至=-3)，则瓦)的夹角为180。，不是钝角，所以B错误，

对FC,延长4G,交80因为G为△48C的重心，所以。为8c的中点，AG=2GD»

所以赤+沅=23万，所以而=历+交，所以G+屈+且=0，所以C止确，

对于D,因为sin2/=sin2A,46«0/),所以24=28或24+28=180。，所以4=8或4+8=90。，所以

△X8C为等腰三角形或直角三角形，所以D错误，

故选：AC

5.(2022春♦湖南郴州•高一安仁县第一中学校考阶段练习)如图，已知点G为的重心，点。，E分别

为AB,力C上的点，且。，G,E三点共线，通=加而，AE=nAC>〃?>0，〃>0，记\YDE,^ABC,

四边形8OEC的面积分别为，，62，则（）

11,S、5.4S.4

A.—+-=3B.-T-=mnC.D.黄"

mnM'353

【答案】ABC

【分析】连接力G并延长交8c于点“，由三角形重心结合向量运算探求〃?，〃的关系，

再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答.

UUT2

【详解】连接4G并延长交8C于点如图，因G为小8c的重心，则M是8c边的中点，且=,

又D,G,E三点共线，即丽=/瓦则有就=（1一）而+/荏，

而万"〃茄，AE=nAC^y.AM=-[AB+ACy于是得（1T）〃*8+〃MC=§4B+孑力。，

而刀与就不共线，因此..（1_/）〃?=?，〃?=5.l+l=3（l-/）+3/=3.AiF确：

33inri

VADE边AD上的高为AEsinNBAC,“BC边AB上的高为JCsinZBAC,

C-AD-AEsinZ.BAC

ri324ADnAAEU

则r=i--------------=而记=mn，B正确；

%-ABACsinZBACAb”

2

由A可知，1=」-+-!-N2J-!———,当且仅当用=〃=1■时取则有加“22,

3m3〃V3/n3〃39

s.4s,工=_5—=——1=-!——1>—!_=-

即寸二，而寸<1,于是得其S「S\S「S\」区■,45,C正确，D错误.

“”"5,9

故选：ABC

三、填空题

6.（2023春•安徽合肥・高一安徽省庐江汤池中学校联考期中）在平面向量中有如下定理：设点。、P、。、

式为同一平面内的点，则2、0、R三点共线的充要条件是：存在实数/,使而=（1-。而+/砺.试利用

该定理解答下列问题：

如图，在△⑷?。中，点£为48边的中点，点尸在4c边上，且C/=2E4,8厂交CE于点M,设

AM=xAE+yAF,则x+y=

【答案】g

【解析】由图形知道E，M，。三点共线，从而存在实数%,使新=2施+（1-2）%,根据C万=2E4,可

得NC=3",所以次=3万，所以而=2公+3(1-即"，这样即可得到:3(1-2)=/所以消去尤可得

关于x,y的方程，同样根据〃，加，尸三点共线又可得到一个关于戈，y的方程，这两个方程联立即可求

出了，y,从而求出x+y.

【详解】解：如图，E,M,。三点共线，

「•存在实数％，使五浮=2茄+(i-幻衣，

­/CF=2FA,

/.AC=3AF,：.AM=AAE+3(\-A)7F,又而=工方+y万；

同样，B,M,产三点共线，所以存在〃，使后7=〃而+。-〃)而，

为48边的中点,/.AH=2AE,

AM=2).iAE+(1-/.i)AF；

卜=2〃1

••\.，…y=1——x,

2=1-〃2

联立①可得：x=|,尸|,

7

A+y=—.

5

7

故答案为：—

【点睛】考查对给出的定理的运用，共面向量基本定理，共线向量基本定理，属于中档题.

【热点四】数量积定义运算

一、单选题

1.(2023春•湖南岳阳•高一校联考阶段练习)如图，在“8c中，AB=6,AC=32BAC.，丽二限,则

AB-JD=()

A.9B.18C.6D.12

【答案】D

【分析】由丽=2反可得而=:麻+：就，则刀•益=方,；方+：就卜;而，+：刀•灰，代入化

简印可得出答案.

【详解】由丽=2配可得：DC=-JC,

^l：XJC-7D=-BC=-(AC-AB}f所以而=，前+2%,

331，33

标而=而仕荏+2为」希+2而就，

U3J33

因为力4=6,4C=3,/BAC=-,

2

ABAD=-AB2+-ABAC=-x36=12.

333

故选：D.

2.（2023秋•湖北恩施•高三校考阶段练习）已知人坂为单位向量，且忻-547,则工与屋g的夹角为（）

7i2JIn5n

A.-B.—C.-D.—

3366

【答案】C

【分析】设£与1夹角为夕，利用|3）-5可=7求出［5，在利用夹角公式计算即可.

【详解】因为£，B为单位向量，

由恒-5*7,

所以（315叶=49=9片-3073+25方=49,

即9-3015+25=49=屋3=」，

2

设1与1-％夹角为。，

又。40,冗］,所以e=g

6

故选：C.

二、多选题

3.（2023春・江苏南京•高一南京大学附属中学校考阶段练习）已知向量标满足|£+28=|大,|3£+引=|3-向,

且后卜2,则()

A.\b\=2B.a+5=6C.\a-2b\=4D.a-b=-4

【答案】ABD

【分析】AD选项,由|a+25|=|a|,|3a+引=|a-引可得£.刃+52=0,75+7=0，

后结合|£卜2,可判断选项正误；

BC选项，结合AD选项分析可得«［）=兀，据此可判断BC选项正误.

【详解】AD选项，［+2臼=|£|,得了+坛石+居=］,整理得［石+各2=o①.

\\\\3a+b\=\a-b\>^9a+6a-b-¥b=a-2a-b+t^»整理得々石+/=0②•

由①②及|句=2,得了=3=4,所以呵=2,］否=-4.故AD正确；

BC选项，cosQ》=ft~=M=-l,所以依»=兀，所以新反向共线，

又内咽=2,所以办5=6,|12昨3同=6.故B正确，C错误.

故选：ABD.

4.（2023秋・江苏泰州•高三泰州中学校考阶段练习）已知向量工，B满足忖=忖=1且|5-2£|=疗，则下列

结论正确的是（）

A.\a-b\=41B.“+3=2

C.（aJ>=60°D.alb

【答案】AD

【分析】先对条件|3-23=6进行化简得到£石，再结合选项逐个判定可得答案.

【详解】因为巾-2司=石,所以解_415+4/=5；

因为同=呵=1,所以15=0,所以6方）=90。，故C错误，D工确；

因为|°一5，-2a.5+5~=2,所以|a-B|=j2,A正确；

因为|£+可~=1=2,所以a+1:及，B错误；

故选：AD.

三、填空题

5.（2023全国•高三专题练习）己知"，b，"是平面向量，满足曰-+,+可，同=2问=2,p+1+石,

则向量3在向量£上的投影的数量的最小值是.

【答案】-2-V5

【分析】由卜一可平十%可得"=0,即打讥再结合条件口=2,呵=1,不妨设〃=(2,0),^=(0,1),

展=(x/),结合条件可得(x+2y+(y-1)2=5,表示出向量)在向量)上的投影的数最，从而求得最小值.

【详解】由+画，则,一邛=忖+邛，

即/-2"+黑=L+2i加片，即/=0,即打0

又由卜卜2W卜2,所以忖=2,忖=1,

不妨设Z=(2,0),S=(O,l),c=(xty),

贝1」1+万一3=(工+2,旷一1),即k+G一闸=J(x+21=\/~5.

即(x+2)2+(y—1)2=5,贝1|

故向量)在向量"上的投影的数量为同-(^化㈤二背二胃二工，

X(X+2)2<5,所以一2-6"与一2+石，

所以向量工在向量£上的投影的数量的最小值是-2-石.

故答案为：-2-石.

6.12023•四川成都•树德中学校考噗拟预测)已知A/18C中，ABAC=120°,AB=2AC,BD=4DC,AD=,

则布•前二.

3

【答案】|

【分析】由丽=4皮以方，配为基底表示通，结合力8=2/。，力。=竽，可得|太|,卜0,4?•AC=-1

后即可得答案.

【详解】由图可得而=酢+而，因而=4觉，则而=:前=:(就一薪)

JJ

---1---4--——2I-216---28-------1C

,则AD=-AB+-ACAD=——AB+—AC+—AB-AC=—,

552525252^

因/胡。=120。,48=2£,则下2=4就。标.就=_就、代入上式有：

—4C--=>pc|=1,p51=2,AB-AC=—1.则

11,4.一4’‘一"21——23—r—1,4433

ADBC=-AB+-AC•(AC-西=-AC——AB•AC=-^-+-

ID，5555555

3

故答案为：—

J

【热点五】数量积坐标运算