高中数学：专题02导数的基本应用讲

第一篇热点、难点突破篇

专题02导数的基本应用（讲）

讲高考

一、经典真题

（2021.全国.高考真题（坦））

1.设4H0,若X为函数/（"=4（*一4）2（工一））的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.ab<G2D.ab>a1

【答案】D

【解析】

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值

点的性质，对，/进行分类讨论，画出/（1）图象，即可得到。力所满足的关系，由此

确定正确选项.

【详解】若。=力，则/（x）=a（x—。丫为单调函数，无极值点，不符合题意，故川b.

・••/（同有x和x=6两个不同零点，且在1二。左右附近是不变号，在x=Z?左右

附近是变号的.依题意为函数a）：（x与的极大值点，，在工二。

左右附近都是小于零的.

当"0时，由/（x）<0,画出/（"的图象如下图所示：

由图可知〃<〃，4VO,故a/?〉/.

当。>0时，由时，〃x)>0,画出了(力的图象如下图所示:

由图可知〃>〃，。>0,ab>a2.

综上所述，ab>a2成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可

以快速解答.

(2021•全国•高考真题(理))

2.设。=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=VLO4-1.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.h<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对。力的大小作出判定，对于。

与C"与C的大小关系，将0.01换成分别构造函数/(x)=21n(l+x)-加石+1,

g(x)=ln(l+2x)-J1+4X+1,利用导数分析其在。的右侧包括0.01的较小范围内

的单调性，结合八0)=0,式0)=0即可得出。与c,〃与c的大小关系.

【详解】^=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.0I)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=Z?,

所以力<。；

下面比较c与。泊的大小关系.

记/(力=2如(1+力-疝嬴+1,则"0)=0,

r(/22

l+xJl+4-(l+Jt)Jl+4x

由于l+4x-(l+x)2=2x-f=x(2—x)

所以当0<x<2时，1+4工一(l+x)2>0,即Jl+4x>(l+/),r(x)>0,

所以〃x)在［0,2］上单调递增，

所以/(0.01)>.f(0)=0,即21雁.01>7^-1,即。>。；

令g(x)=ln(l+2x)_jl+4x+l〃ijg(o)=o,

222(Vl+4x-l-2x)

p［Y1-__________________________—______________________________L

7-l+2xVl+4x-(l+2x)Vl+4x

由于1+4工一(1+2耳2=>4/，在人>o时,I+4X-(1+2X『<0,

所以/(“<0,即函数g("在［0,+oo)上单调递减，所以g(0.01)<g⑼=0,即

lnl.02<VL04-l3Pb<c;

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用

变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问

题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

(2020•全国高考真题(理))

3.若直线/与曲线产«和/+)"(都相切，则/的方程为()

A.)=2x+1B.y=2x+^-C.y=yx+ID.)=Jx+J

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得

出答案.

【详解】设直线/在曲线y=«上的切点为则%>0,

函数＞=«的导数为），'二击，则直线/的斜率左二耳上，

1

设直线/的方程为A（工一%），即1一2后），+入0=0,

°,1X。1

由于直线/与圆r+y~==相切，则八人=~7^

5Jl+4x0V5

两边平方并整理得5片-4%-1=0,解得与=1,』=-；（舍），

贝I」直线/的方程为工一2），+1=。，即）,=gx+g.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于

中档题.

（2019・北京高考真题（理））

4.设函数/（3=^+优力（〃为常数）.若/（x）为奇函数，则。=:若/（公

是R上的增函数，则。的取值范围是___________.

【答案】①.7；②.（f0].

【解析】

【分析】首先由奇函数的定义得到关于〃的恒等式，据此可得〃的值，然后利用导

函数的解析式可得a的取值范围.

【详解】若函数f{x）=ex+aex为奇函数，则

/（-x）=-f（x）,e'+aex=-（/+ae'）,

（«+l）（e'+e'）=0对任意的x恒成立.

若函数/（五）=，+。二是/?上的增函数,则/（耳=，-四一20恒成立，

a<e2\a<0.

即实数〃的取值范围是（F,0]

【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、利用单调性确定参数的范围.解答过程中,

需利用转化与化归思根转化成恒成立问题.注重重点知识、基础知识、基本运算能力

的考杳.

（2021.全国•高考真题（文））

5.设函数/⑺=/炉+ox-31nx+l,其中。>0.

（1）讨论/（%）的单调性；

（2）若），=〃”的图象与x轴没有公共点，求。的取值范围.

【答案】（1）〃力的减区间为（oj）,增区间为15+8）；⑵

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

（2）根据/（1）>0及（1）的单调性性可得/（力5>0,从而可求。的取值范乱

【详解】（1）函数的定义域为（0,+8）,

又八x）=（2公+3⑷-1）,

因为。>0,x>。，故2故+3>0,

当0<工<2时，f\x）<0；当时，f（x）>0;

aa

所以/（X）的减区间为（。3），增区间为（J，+8；

（2）因为〃1）=/+。+1>0且尸/（力的图与1轴没有公共点，

所以y=/（"的图象在入轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得/（x）mM=/（5）=3-31n5=3+31na,

故3+31n4>0即

e

【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论,

也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.

二、考向预测

（一）导数问题考向预测

I.与基本初等函数图象相结合考查导数的计算，凸显直观想象、数学运算的核心素养.

2.与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养.

3.利用导数研究函数的性质、证明不等式、研究函数零点，凸显数学运算、直观想象、逻辑推理

的核心素养.

4.利用导数解决生活中最优化问题，凸显数学运算、数学建模的核心素养.

5.高考对本部分的要求一段有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的儿

何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综

合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数

内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.

（二）本专题考向展示

函数图象识别与应用曲线的切线问题

函数单调性问题函数的极值问题

函数的最值问题实际应用问题

三、考向讲解

（一）函数图象的辨析与应用

主要考向有：I.给出函数i勺解析式，确定对应函数的图象；2.给出导函数的图象，确定对应

函数的图象：3.给出函数的图象，确定导函数的图象：4.结合函数、导函数的图象，判断函数

的单调性、极值；5.根据函数的图象，确定参数的值或参数的范围等.

【典例1]

（2018•全国高考真题（文））

6.函数〃力=三二的图象大致为（）

【答案】B

【解析】

【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由〃l）=e-ei＞0排除不正确的选

项，从而得出答案..

【详解】详解：==为奇函数，排除A,

x

•・・/(l)=e-e">0,故排除D.

(e"+"*卜2_"")2x_(x-2)er+(x+2)e-A

x

・・r()=-7=

当工＞2时-，r（x）＞0,所以/*）在（2,+8）单调递增，所以排除C；

故选：B.

（二）曲线切线问题

主要考向有：1.求切线（斜率、倾斜角）方程；2.求切点坐标；3.求参数值或参数的范围；4.

与曲线的切线相关的综合问题等.

【典例2】

（2021・全国•高考真题（理））

2r-1

7.曲线），='一在点（T-3）处的切线方程为____________

x+2

［答案］5x-y+2=U

【解析】

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.

【详解】由题，当x=-l时，＞=一3,故点在曲线上.

2(x+2)-(2x-1)5

求导得：）''二所以川i=5.

(x+2)2一(1+2)2

故切线方程为5x-），+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

【典例3】

（2019・江苏高考真题）

4

8.在平面直角坐标系X。），中，P是曲线y=x+—（x>0）上的一个动点，则点P到直

X

线x+y=0的距离的最小'直是____.

【答案】4.

【解析】

【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可

得最小距离

【详解】当直线工+），=0平移到与曲线），=%+?相切位置时，切点。即为点，到直

x

线x+y=0的距离最小.

由），'=1一：二-1,得x=6（-五舍）,y=3叵,

x~

即切点0（夜,30），

IV2+3V2I

则切点。到直线』+y=o的距离为।/1=4,

Vi7717

故答案为4.

【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学

运算素养,采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

（三）函数的单调性问题

利用导数研究函数的单调性问题，主要考向有：1.讨论、判断函数的单调性；2.求函数单调区

间；3.比较函数值的大小、解不等式、证明不等式；4.由函数的单调性求参数值（取值范围）;

5.研究函数的图象等.

【典例4】

（2021•山东滨州市•高三二模）

9.已知〃=孚，b=-fc=也，则小b,c的大小关系为（）

2e9

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，构造函数/(x)=处，利用函数/(工)=皿单调性比较大小即

可.

【详解】令〃x)=W，所以广(力=上詈

所以当x«o,e)时,r(x)>0,〃力=叱单调递增;

X'

当时，/(6<0,f(x)=皿单调递减,

因为〃=*竿=*/(4),£=*/(e),。=等喈=〃9),

所以"e)>/(4)>"9),即方>a>c.

故选：C

【典例5】

(2021・石嘴山市第三中学高三期末(理))

10.若曲线=A/在点(1J⑴)处的切线过点(TO),则函数〃犬)的单调递

减区间为()

A.(-8,0)B.(0,+的，(-1,0)

C.(F,-1)U(-1,0)D.1,0)

【答案】D

【解析】

【分析】

e-'/(1)-0

根据切线的斜率k=:⑴=EK=17T解得〃=1,再利用/。)<0可解得结

(«+!)■1-(-1)

果.

【详解】因为一,所以/'(幻=—一~3-----=-7-L」，

'7at+1(ax+1)-(ax+l)-

所以切线的斜率k=/（1）=---T,

又曲线/（尤）=上二在点处的切线过点（TO）,

I1

所以人丹宁二高'所以

=1,

(〃+l)2-2(4+1)，解得。

xe'~

所以〃犬）"E

ax+\x+1

由/'（x）vo得。＜0且XW-1,

所以函数/（"的单调递减区间为（-8，-1），（T，。）.

故选：D

【点睛】易错点点睛：函数的单调区间不能用符号'U”连接，要用逗号隔开.

【典例6】

（2021.全国全国•模拟预测）

11.已知关于x的不等式"之父+丁（1+。皿力在（1,口）上恒成立，则实数。的取值

范围是.

【答案】（-8,-3]

【解析】

【分析】运用常变量分离法，结合构造函数法进行求解即可.

【详解】因为X£（l,+oc）,所以lnx＞0,

因此由"之下1+丁（1+〃111工），可得HK_E=3------'-

\nxInx

构造函数/*）="一xT=＞/（x）=/-l,当无£（。,田），J'（x）＞O,/（x）单调递增,

当龙«-oo,0）时，f（x）＜O,/（x）单调递减，因此有/（X）之/⑼=0,

即f（x）=e'—x—120=/2x+l,当且仅当工=0时取等号，

所以有e"“"xlN（x31nx+l）xl=_3（*）,当且仅当存在小＞1,使得

InxInx

为一3111/=0即可，设#。)=%一3111工，^(1)=1>0,^(2)=2-3In2=In-In8<0,

即g⑴g(2)<0,因此当xw(l,2)时、必存在一个零点小,因此(*)成立，故。工-3,

即实数。的取值范围是(-8,-3].

故答案为：(F,-3]

【点睛】方法点睛：利用参变分离法求解不等式恒(能)成立问题，可根据以下原

则进行求解：

(1)V^GD,/rz</(x)<=>/??</(x)n.n；

(2)Dxe。,w>/(x)<=>/7z>/(x)nm；

(3)3XGD,m</(x)<=>m</(x)irax；

XG

(4)3D,m>f{x)<^m>f{x)n.n.

(四)函数的极值、最值问题

关于函数的极值、最值的考向有：1.求函数的极值、最值：2.围绕函数的极值、最值，确定参数

的值或取值范围；3.生活中的最优化问题.

【典例7】

(2021•福建省龙岩第一中学高三期中)

12.已知函数=三之二则()

A.当女=0时，/(力是R上的增函数

B.当％=1时，/(x)的最大值为匕翌

C.若存在实数。，b,使得g(x)=/(戈+。)+。为奇函数，则上=-1

D./(3)不可能有两个极值点

【答案】BD

【解析】

【分析】对于选项A：根据函数解析式和指数函数单调性即可判断；对于选项B：

利用换元法和均俏不等式求解即可：对于诜项C：结合已知条件，利用有函数定义

_rfe2x+2ex-k}

可求得Z=—e2a,故c错误；对于选项D：对求X)求导得/(故=e:，”，

(e+Q-

进而问题转化为〃(x)=e2，+2e，-Z是否含有两个变号零点，通过对参数k进行讨论

即可求解.

【详解】对于选项A：由〃元)==!=4+士可知，”可是R上的减函数，故

CCC

A错误：

对于选项B：当左=1时，/(x)=£±L,

\)e2r+1

不妨令，=e，>0,f3=g")=K7=2-~z>0,

/+1H-------Z

r+l

由均值不等式可知，1+1+二之26，当且仅当1+1==，即时，不等

r+lr+1

式取等号，

故f(X)max=g(a-l)=g+,故B正确；

对于选项C：若命题成立，由奇函数定义可知，g(x)+g(-%)=0,

BPf(x十a)十/(-x+a)=-2Z;,

eFl+L+l

<i+4e…+k

化简整理可得,

3axx2tf2xxax2x4a2

(e+ke)(e+e-)+e(e+e^)+2k=-2bk^(^+e-)-2/?(e+k)f

e〃+Ze“=0

从而-2根=1,解得攵=_。2",故C错误;

2k=-2b(e4a+k2)

选项D：由题意'‘⑴二专喘了

不妨令人(xQ/fe

①当时，易知/GQe?“।21k>0,

此时即/(x)无极值点；

②当女>0时，^h(x)=e2x+2ex-k=0,解得x=InG/TTT—1),

即f\x)=0仅有一个根，故./(A)仅有一个极值点，

综上所述，/(力不可能有两个极值点.故D正确.

故选：BD.

【典例8】

(2021•浙江•高三月考)

13.已知awR,函数/(》)=111。+(2々2+*111工+/的最小值为以4),则g(〃)的最

小值为()

21e

A.——B.一一C.一«D.

ee2

【答案】B

【解析】

【分析】先整理函数求出函数的最小值为xlnx,再利用导数求出其最小值便可求出

答案.

【详解】解：由题意得：

f(x)=a4+2a2lnx+xln^+ln2x

=(a2+lnx)2+^lnx>ilnx

令P(o)=(a2+Inx)2+x\nx,其最小值为x\nx

再令g(。)=QM=xln/,则Q(x)=lnx+l

当xe(0-)时，函数Q(x)单调递减；

e

当X€(L+8)时，函数Q*)单调递增.

e

故'J时,0("min=T

故g(a)的最小值为-L

e

故选：B

讲方法：

一、函数图象问题

I.有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路:

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函数的值域，判断图象的上下位置.

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势;

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复.

（5）从函数的特征点,排除不合要求的图象.

2.函数的图象与函数的导致关系的判断方法

（1）对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减.

（2）对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查

这些区间与原函数的单调-X间是•否一致.

【典例9】

（2020.江苏省平潮高级中学高三月考）

14.函数/（"二」一（XE[—E0）U（0,句）的图象大致是（）

X—sinx

【答案】B

【解析】

【分析】

首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解；

【详解】解：因为/(x)二-^(x«-肛0)11(0,句)，定义域关于原点对称，又

x-sinx

一VYy

/("X)=xsinf=所以/(x4一肛°)U(O,句)

-x-sin^-x)x-sinxx-sinx

为偶函数，函数图象关于)'轴对称，所以排除A、D；

/(x-sinx)-(x-sinx)x_xcosx-sinx

(x-sinx)"(x-sinx)

令g(x)=xcosx-sinx,则g<x)=-xsinx,所以当xe(0,同时g[x)KO,所以

g(x)=xcosx-sinx在了£(0,可上单调递减，又g(0)=0,所以g(x)<0在

x«0,句上恒成立，所以r(司<。在x«0,句上恒成立，即函数/(x)=—J在

x-sinx

(0,可上单调递减，故排除C,

故选：B

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性;

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

【典例10】

(2021•浙江•高三月考)

15.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是()

B（八2）e'

D.y=2-----L——

X

e*e,r

C.y=TT~\D.y=—

12Hr

【答案】C

【解析】

【分析】结合图象，根据函数值的特点排除A、B,根据单调性排除D即可得正确

选项.

』2x|

【详解】对于A：当0H'jy=——<0,为奇函数图象关于原点对称,

-X

不符合题意，故选项A不正确；

对于B：当x<0时，尸、十2）c,<0,不符合题意，故选项B不正确;

x

对于D：当i>0时，由'可得y'=ex-x2-2xex_er（A-2）

x~X-—'

当0c<2时,，y<0；当x>2时，V>o,所以产”（0,2）单调递减，在（2,向

单调递增，不符合图象恃点，故选项D不正确；

故选：C.

二、曲线的切线问题

1.导数的几何意义是指：由线,可（x）在点（xo,yo）处的切线的斜率就是函数）可（工）在

4打处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值.

2.运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲

线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不

是切线的斜率.

3.若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建M关于所设切点横坐标

的关系式进行求解.

切点问题的处理方法

（1）由条件得到直线的f顷斜角或斜率，由这吟信息得知函数在某点的导数，进而求出点的

横坐标.

(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，直

线平行或垂直与斜率的关系等.

4.求曲线在点尸(xo,W)处切线方程的步骤：

(1)求出函数)弓<1)在点血处的导数/(AO)；

(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为广刈寸(期)(x-xo)；

5.过曲线外的点尸(Xi,p)求曲线的切线方程的步骤：

(1)设切点为。(如”);

(2)求出函数产<(x)在点xo处的导数/(xo)；

(3)利用点Q在曲线上和/(讹)=kPQ,解出xo,和及，(xo).

(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为广和=/(A-O)(x-xo).

6.要正确区分曲线)，=/•(外在点尸处的切线，与过点P的曲线内(x)的切线.

求曲线过点P的切线方程时，先殆讦点。是否在曲线匕再分别按上述1、2求解.

7/(次)>0时，切线的倾斜角为锐角；f(xo)<0时，切线的倾斜角为钝角；f(xo)=0时，

切线与文轴平行/(外在处处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在.

【典例II]

(2021•山东聊城市•高三三模)

16.曲线丁="+/一|工在了二。处的切线的倾斜角为。，则sin(2a+')二

4

【答案】y

【解析】

【分析】先求出lana=w，cosa="束，再利用诱导公式和二倍角公式求解.

771

【详解】由题得)3=/'5)="+2入・一记所以40)=«。一鼻二针

JJJ

所以tana=—aw(0,—),/.cosa

32

・71I-)

所以sin2a+—\=cos2a=2cosa-1=2x

故答案为：］4

【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值，常用的方法：三看(看角看名看式)三变

(变角变名变式)，要根据已知条件灵活选择方法求解.

三、函数的单调性问题

1.在(4。)内可导函数/(1)，/'(幻在(〃/)任意子区间内都不恒等于0.

尸(幻20。/(x)在(出人)上为增函数.

f\x)<0«/(x)在("勿上为减函数.

2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数/(X)的定义域；②求导数/'G)；

③由/'(x)>()(或/'(幻<())解出相应的X的取值范围，当/'(x)>()时，/(X)在相应区

问上足增函数；当/'(不)<()时・，八。在相应区间上是减增函数.

3.利用导数求函数单调区间的方法

(1)当导函数不等式可解时，解不等式/(x)>0或/(x)<0求出单调区间.

(2)当方程/(x)=0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各

区间/(x)的符号，从而确定单调区间.

(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据/(x)结构特征，利用图象与性质确定了(工)

的符号，从而确定单调区间.

温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“U”及“或”连接，只

能用'”“和”字隔开.

4.由函数的单调性求参数的取值范围的方法

(1)可导函数在区间(a,b)上单调，实际上就是在该区间上了(x)>0(或/(x)00)恒

成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围.

(2)可导函数在区间(4b)上存在单调区间，实际上就是/(x)>0(或/(公<0)在该

区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求山参数的取值范围.

(3)若已知/(工)在区间/上的单调性，区间/上含有参数时，可先求出/(X)的单调区间，

令/是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.

5.若函数在某一个区间。可导，f(x)>0=>函数在区间。单调递增；

fM<0=函数f(x)在区间。单调递减.若函数f(x)在某一个区间。可导，且函数fM

在区间。单调递增=/(幻之。恒成立；函数/*)在区间。单调递减=/(幻<0恒成立.

【典例12]

(2019.天津高考真题(理))

17.已知。wR,设函数/。)="一:奴+2",用,1,若关于“的不等式/(入).。在

x-alnx,x>1,

人上恒成立，则a的取值范围为

A.[0J]B.[0,2]C.[0,e]D.[\,e]

【答案】C

【解析】

【分析】

先判断时，/一2仆+2420在(3,”上恒成立；若x—alnx》。在(1,”)上恒

Y

成立，转化为。《丁匚在(1,y)上恒成立.

\nx

【详解】•・・/(0)之0,即。之0,

(1)当04〃〈1时，f(x)=x1-lax+2^7=(x-a)2+2a-a2>2a-a2=a(2-a)>0,

当a>l时，/(l)=l>0,

故当。20时，工2一2办+2〃20在(e,l]上恒成立；

X

若x—alnxNO在(1,一)上恒成立，即aW—在(1,”)上恒成立，

Inx

,x,“、lnx-1

令g(x)=^—，则g(切=7^一3，

Inx(Inx)

当函数单增，当0<xve,函数单减，

故&(*)〃淅=g(e)=e，所以当〃之。口寸，丁-2废+2aN0在(YO』]上恒成立；

综上可知，4的取值范围是[0,c],

故选C.

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，

进行综合分析.

【典例13]

(2021•全国•高考真题(理))

Ya

18.已知。>0且函数/*)==(1>0).

ax

(1)当〃=2时，求/(X)的单调区间;

(2)若曲线y=/(x)与直线)，=1有且仅有两个交点，求。的取值范围.

(?2、

【答案】⑴Q蔽上单调递增;卮-上单调递减；⑵(㈤U(…).

【解析】

【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得

到函数的单调性：

(2)方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线y=/(2与直线)，二1有且仅

有两个交点等价转化为方程?=学有两个不同的实数根，即曲线)，=g(x)与直线

)'二焉有两个交点，利用导函数研究g(”的单调性，并结合g(力的正负，零点和

极限值分析g(x)的图象，进而得到0<乎<}发现这正好是0<g(〃)vg(e),

然后根据g(A)的图象和单调性得到。的取值范围.

72x・2、-d♦2、In2_r2'(2-xln2)

【详解】(1)当4=2时，/(x)=57，r(x)

4、

999

令/(力=。得户鼻当o<x<三时,ra)>o,当仁>三时,rw<o,

m2m2m2

(?2、

・・・函数〃力在［0,心上单调递增；工/口)上单调递减;

(2)［方法一］【最优解】：分离参数

f(x)=—=\<=>aK=xJ<^>x\na=a\nx<^>=-，设函数g(x)=,

a'xax

则g'(x)J!\令8’3=0,得x=%

X

在(0,e)内g'(x)>0,g(x)单调递增;

在(e,+oo)上g'(x)<0,g(x)单调递减；

又g⑴=0,当x趋近于包时，g(x)趋近于0,

所以曲线y=/(x)与直线y=i有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线)，二高

有两个交点的充分必要条件是0〈电这即是0<g(a)<g(e),

CX(

所以。的取值范围是(l,e)l(6+8).

［方法二］:构造差函数

由y=fM与直线y=1有且仅有两个交点知了⑶=1,即与=优在区间(0,+8)内有

两个解，取对数得方程aInx=Mn。在区间(0,+8)内有两个解.

构造函数g(x)=〃lnx-xlna,xw(0,+8),求导数得g(x)=g-lna="

当Ovavl时，山4<0,小€(0,+8),4-田114>。8(1)>。8(工)在区间(0,+8)内单调递

增，所以，g")在(。,转)内最多只有一个零点，不符合题意；

当a>l时，lna>0,令g'(x)=。得x='-,当时，g'(x)>0；当

\naVln〃

时，g'(x)<0；所以，函数g(x)的递增区间为递减区间为

\\naJvinaj

(a'

--,+8.

IInaJ

।Q(__L］_i

由于Ove“vlv'一,ge"=—1—ewln«<0,

In。1)

当xf+8时，有alnxvxlna,即g(x)〈O,由函数g(x)=alnx-xlna在(0,+co)内

/\/\

有两个零点知g--二aln-^--l>0,所以7^->e,即a-elna>0.

IInaJIInaJina

构造函数〃(a)=a-elna,则/?'(.)=1_£=生£,所以〃(。)的递减区间为(Le),

递增区间为(e，+8),所以〃3)之〃(e)=0,当且仅当a=e时取等号，故〃(a)>0的解

为a>1且awe.

所以，实数。的取值范围为(l,e)u(e,+8).

［方法三］分离法：一曲一直

曲线y=f(x)与y=1有且仅有两个交点等价为=;1在区间(。,+8)内有两个不相

ax

同的解.

因为V二优，所以两边取对数得Mnx=xlna,即lnx=^，问题等价为

a

g(x)=Inx与〃(x)二上吧有且仅有两个交点.

a

①当Ovavl时，巫vO.〃(x)与g(x)只有一个交点，不符合题意.

a

②当〃>1时，取g(x)=lnx上一点伍』11%)送")='*小)=-!-,履月在点

(x0,ln/)的切线方程为y-lnx0=—(x-x0),g|Jy=-x-l+lnx0.

“0天)

Ina1\na_1

当y=—xT+ln%与p(x)=业上为同一直线时有.

a玉)得，ae

%a

.%)=e.

Inx0-1=0,

直线吧的斜率满足：0〈电时，8(工)二】。工与〃(为=»有且仅有

aaeci

两个交点.

记/2(幻=等,〃(a)J二令〃’3)=。，有《=e.〃€(l,e),//(〃)>0,/?(〃)在区间

(l,e)内单调递增：(〃)<0,人(〃)在区间(乙+8)内单调递减：。=©时，。(〃)

最大值为g(e)=,，所当。>1且awe时有0<小<L

eae

综上所述，实数。的取，直范围为(Le)u(e,”).

［方法四］:直接法

/）=/>0）八）=•Q—。•x"尸（din。）

a

因为x〉0，由/。)=0得%=二

Ina

当Ovavl时，/(x)在区间。”)内单调递减，不满足题意;

当4>1时,--->0,由/'（x）>。得Ovxv/⑺在区间。，后内单调递增,

Ina\na

由fM〈。得%>片,/(X)在区间,+8内单调递减.

Ina\\na

xr^y―

因为1如f(x)=O,且岬/(x)=0,所以/(>1,即5_a、即

温On”

〃唱>(ln〃)％*>In。，两边取对数,得卜——W〉ln(ln〃)，即

In«-1>ln(lna).

令lna=r,则/一l>ln/,4-Mx)=lnx-x+l,则/(工)=,一1,所以〃(x)在区间(0,1)

x

内单调递增,在区间(L”)内单调递减,所以/心”力⑴=0,所以"INln/,则

，一l>ln,的解为1工1,所以Inawl,即a#e.

故实数〃的范围为(l,e)u(e,+8).]

【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求

参数的取值范围问题，属较难试题，

方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性

和最值，图象，利用数形结合思想求解.

方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.

方法三：将问题取对，分成g(x)=lnx与〃@)=里吧两个函数，研究对数函数过原

a

点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论.

方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.

题型四函数的极值、最值问题

1.求函数