高考数学第一轮复习第五章 数列讲义及试题

【标题】第五章数列

第一节数列的概念与表示

e课程］

通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.

*G■知识•逐点夯实。必备知识系统梳理基独重落实课前自修

J，--一,，，,

迎J©梳理

1.数列的概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的库••个数

数列的通项数列｛4｝的第〃项an

通项公式数列｛m｝的第〃项与序号〃之间的关系式

前”项和数列｛a”｝中,S”=ai+a2~l------卜a”

提醒数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位优序号.

2.数列的分类及性质

（二一“八米14穷数列:项数有限；

1也顶出匆~［施薮列:项数无限

口,________4递增数列：

V按项与项间递减数列:

1——的大小关系——常数列：j=a..其中nCW;

［分类提动数列:。.与a.“大小关

_______系不定

3.数列的表示方法

列表法列出表格表示〃与a”的对应关系

图象法把点（小而）画在平面直角坐标系中

通项公式把数列的通项用公式表示

公式法

'掰推公式如果•个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用•个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通玳公式

基础//自测

1.判断正误.（正确的画“4”，错误的画“X”）

（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（）

（2）I,I,L1,不能构成一个数列.（）

<3）任何一个数列都有唯一的通项公式.（）

（4）如果数列｛a｝的前〃项和为8,则对任意〃£N\都有a”“=S.+i—S".（）

答案：（1）X（2）X（3）X（4）Q

2.在数列｛/｝中，«i=l,a,,=\+—（M^2）,贝］|由=（）

口。・1

A-B-C-DU-

八203V53

Mrxc—II（-02_9-II（-l/_I_|I（-1）4_Q_|1（-I）5-2

解析：Dai—1+----2,03—1+-----»<74—1+----3,«5—1+----

ul口227.43

3.（多逸）已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项可能是（）

B“=f,□为奇数,

A.a=(-1)E+]

nlo,□为偶数

C.%=2si-D.<?n=cos（,?—I）JI+1

解析；ABD对〃=1,2,3,4进行脸证，a“=2sin—不合题意，其他都可能.

4.在数列一I,0,；,•••,—中，0.08是它的第项.

vO

解析：依题意得4>解得〃=10或"W（舍）・

答案：10

5.若Sr,为数列｛0，的前“项和，且Sn=-则L=_______.

匚+1os

解析：•・•当〃时，t/=S«-5n-i.A-=5X(5+1)=30.

n匚+1□+X

答案：30

常用//结论

=1,

I.若数歹|J｛屈｝的前〃项和为S”，则出=k-uz・

（□匚.□匚4,口>2,OtN.

2.在数列｛&｝中，若如最大，则若小最小，则上

（U口N」□+[•I』SU,+i-

呼应用

1.（多选）在数列｛小｝中，跖=（M+I）Q），则数列｛面中的最大项可以是（）

A.第6项B.第7项

C.笫8项D.第9项

（7期4）,所以I!即6OW7,所以最大项为第6

解析：AB由结论2可得(〃+l)Q>(〃+2)-Q且(”+1)

3皿2（0+!）>□,

项和第7项.故选A、B.

2.已知数列｛而｝的前“项和S”=2“2—3〃，则数列｛”“｝的通项公式*=.

解析：由结论1得m=Si=2—3=-I,当“22时，〃”=S”-S”-i=(27-3〃)一[2(〃-I)2—3(”-I)]=4〃-5,因为ai也适合上式，所

以〃"=4”-5.

答案：4/1—5

百a考点•分类突破新选考点典例研析技法重悟通-.......\课堂演练

J,

‘由a”与S”的关系求an

【例I】(1)已知数列｛a»｝满足m+2a2+3G+…+M“=2",则a,i=；

(2)已知数列仿”)的前〃项和为S“，且S”=2小一1,则数列｛〃”)的通项公式由=.

n1

解析(1)当”=1时，由巴知，可得。i=21=2：,.,”|+2。2+3。4+…+〃。”=2",①，数。|+2。2+35+…+(/?—1)an-i=2(〃22),

-If2,□=1,

②，由①一②得〃⑶=2"—2"T=2"T(„>2),(心2).显然当”=1时不满足上式.，如二卜■>,.

(—,LN2.

(2)由数列山”｝的前〃项和为Snr且S”=2a”-1,可得Si=2ai—1,解得ai=l,又an=S,t~■S”-i=2a”-2.<ini(〃力2),即a”=2a”—।

(〃22),.•.数列｛”“｝是以1为首项，2为公比的等比数列，.•.a”=2"।(neNx).

(2,Q-1,

答案->2(2)2"T("EN")

I解题技法I

1.已知S”求公的3个步骤

(1)先利用«i=Si求出的：

(2)用〃一1替换S”中的”得到一个新的关系，利用G=S”-S*I(“22)即可求出当”22时的表达式：

(3)注意检脸”=1时的表达式是否可以与〃N2时的表达式合并.

2.S”与〃”关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用“”=S”-S,i(〃22)转化为只含Sn,Sn-I的关系式，再求解：

(2)利用5”一*」=%(〃N2)转化为只含小，的关系式，再求解.

R训练

I.已知数列｛点｝的前n项和5«=(一I)""•〃，则公+[6=,an=.

——

解析：a&ta6=S6—Sa=(6)—(—4)=—2当〃=1时，«I=SI=1；当”22时，an=Sn~Sn-\=(1)""•〃一(—1)”•(〃一])=(—

1)fl+,-[n+(n-l)]=(-1)"+,-(2n-l),又m也适合于此式，所以0=(-1)«+l-(2«-1).

答案:一2(-1)"+,-(2n-l)

2.设S。处数列｛<?”）的前〃项和，已知ai=l,an=-Sn-Sn-t（“22），则S”=.

解析：依题意得S”_1-S”=S“iS”（〃22）,整理得-L--L=],又_L=2_=i,则数列｛工｝是以1为首项，1为公差的等差数列，因此'=1+

口口Oo-I口|U1

（M-1）X1=W,即Sn=L

答案：！

由递推关系求通项公式

[例2]分别求出满足下列条件的数列的通项公式:

(1)ai=0,。”+1=。”+(2/j—1)("WN"):

n

(2)«|=Lan+\=2an(z»GN*)：

(3)0=1,a”+i=3a”+2(”EN').

解(1)un=m+(,u2~ui)H---F(“"—“”-1)=0+l+3H---F(2//—5)+(2〃—3)=(〃—I)

所以数列的通项公式为〃”=(〃-1)*12.3

（2）由于——=2",故==21—=22,—.——=2"

口1口2

将这I人等式一乘,得一=2i+2+“,+5F=2七\

□1

（二⑷

故an=2~2~,

口《”

所以数列的通项公式为“”=2F—.

（3）因为而+i=3a”+2,所以a-i+l=3（。”+1）,

所以T；=3,

所以数列｛/+1｝为等比数列，公比q=3,

又m+l=2,所以。”+1=23»，

所以该数列的通项公式为如=23”'-1.

I解题技法I

由数列递推式求通项公式的常用方法

•9•••••••••••••••••••••••••・/•••••••••••••••••••»1

（g遢）6彩如Oii=7"J・+m（P，析为常数•pf1,mW。）：

时,也迫装空竺到.....................j

彩石，二EMRN/G汀可求Q海:由7

系加法求解

再90渺加等_弓5)(编i可求枳京,用半记

阳g_____________________J

提醒利用累积法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到二，漏掉口而导致错误：二是根据连乘求出出之后，不注意检验0

口|

是否成立.

身训练

1.在数列｛%｝中，6/1=3,a“+i=a”+「+1'则通项公式。”=.

解析：«„=—...当2时，a“一a"一i=」y-L““_2=J；—二，…，/一m=l—，以上各式相加得a”-ai=I-

□（11+1）□□+1D-l□11-2D-l2

一,•*•Cln=4——,41=3适合上式，•*•Cln=4——.

答案：4」

2.已知数列｛雨｝的首项是m=g,且雨川二不，则数列｛雨｝的通项公式为.

解析：由题意得——->当〃N2时，=-=Jx；X?X…X―Y(〃22)，所以—=J(〃22),因为ai=1,所以a”

=t(G2).因为a1=g满足上式,所以「=(7).

答案：

投列的性质

考向/数列的周期性

【例3】无穷数列｛%｝满足:只要即=.(p,q£N"),必有卬+1=的+”则称｛潟为“和谐递进数列”,若｛""｝为“和谐递进数列”.S”为其

前“项和，且41=1，42=2,出=1,。6+。8=6,则47=：$2023=.

解析因为数列是”和谐掰班数列"，且"1=3=1,02=2,所以〃5=〃2=2,同理有=«7=«4=1.公=05=2,又〃6+公=6,所以

43=16=4,则数列｛aj：ai=\,ai=2,出=4,小=1,as=2,偏=4,ai=\,*=2,…，故数列｛。“)是以3为周期的数列，所以S20”=S674x3

+i=(1+2+4)X674+l=4719.

答案I4719

I解题技法I

解决数列周期性问题的方法

根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前"项的和.

考向2数列的单调性

【例4】EL知数列(m｝中，小=一一,若数列｛%｝为递减数列，则实数上的取值范围为()

A.(3,+<o)B.(2»+oo)

C.(1,+oc)D.(0,+oo)

解析a”+La”=3；：：_q_=3；3+；,由数列｛“”｝为递减数列知，对任意"WN",(/„+1—an=3~\\<0.所以k>3—3〃对任意AWN”恒成立，

所以k的取值范围为(0,+8).

答案I)

I解题技法I

解决数列单调性问题的方法

(1)件差比枝法।根据小一1一%的"号判断数列UJ是递增数列，递成数列还是常效列।

(2)作商比较法：根据7(G>0或.mVO)与1的大小关系进行判断：

(3)函数去：结合相应的函数图象直观判断.

考向3数列的最大(小)项

【例5】若数列｛点｝的前"项积5=1一]，则的最大值与最小值之和为<：)

A1O5

A「B-7

C.2D.g

2

解析由题意am…。《=1—%①.当〃=1时，”i=l—：=；.当〃22时，aiaz-Ot-i=l—(n—1)=齐力，②.由①+②,

方一

1+。(〃22).又m=,也满足上式，所以。”=1+六(〃£N").易知数列｛a,J在〃£[1,4](“GN")上单调递减，此时出Wa”Wm,即一

1效列｛““｝在：5,+oc)("EN")上单调递减，此时lV“”Wa5，即lVo»W3,所以的最小值为o*=—1,最大值为“5=3,所以

g的最大值与最小值之和为-1+3=2,故选C.

答案C

I解题技法I

求数列最大项与最小项的常用方法

(1)函数法：利用相关的函数求最值.若能借以表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法：

(2)利用以(G2)瑜定最大项，利用1口亍[小(心2)瑜定最小项.

(U口2Uj+I(U口S口匚十|

口训练

1.已知数列｛&»｝的通项公式是德==，那么这个数列姑()

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列

解析：Aan+i~an=^4~m=(3+1)(3+4)>C，>•,•an+i>an，故选A.

2.若数列｛&｝的前”现和&=/产一】。〃5END.则数列｛“小｝中数值蚊小的坝班()

A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项

2

解析：B'."Sn=n—10/b...当“22时，a»=Sn—S*i=2”-11；当〃=1时，"i=Si=—9也适合上式..••”“=2”-11("WN*).记/(“)—nan

=n(2/i-H)=2"2-]1”，此函数图象的对称物为直线〃=?,但〃WN，.•.当〃=3时，f(〃)取最小值.，数列｛〃m｝中数值最小的项是第3

项.

3.已知数列｛〃”｝中，41=1,02=2,且““心，IS2=。"+。""+〃”.2,其中〃GN",则)[+。2+。3~1---hfl24=.

解析：当〃=1时，m42〃3=。1+。2+。3，可得。3=3,同理当”=2时，可得04=1,当〃=3时，可得45=2,以此类推可知数列的周期为3,所

以tn+a2+…+。24=8(ai+02+03)=8X6=48.

答案：48

■课时•过关检测°关就能力分层施练素养支提升课后练习

4-7------------------------------------------------------------------------------

I.已知数列&,V5,2a,…，则26是该数列的()

A.第5项B.第6项

C.第7项D.第8项

解析：C由数列&，x/5,2a,…的前三项为日，瓜通可知，数列的通项公式为〜=J2+3叵1)=75hT,由>/5而=2百，可得〃=7.故

选C

2.在数列｛oj中，m=2,2a”.1=2。”+〃，则。9=()

A.20B.30

C.36D.28

解析：A因为“1=2,2-=2a“十〃，所以—«»=：,所以《9=(«9—as)+(d8—47)H---F(。2—<“)+<“，所以----F：+2=

1±比产+2=%9管+2=20.故选A.

3.已知数列⑷｝满足：对任意〃J,“金叶，都有“处=小+川且“2=2,那么，20=()

A.240B.230

C.220D.2'°

解析：Di。M欢="八.州,S=2,得420=〃2〃18=。2〃2。16=…=]°=2叱故选D.

4.已知正项数列｛aJ中，Q+j工+…+/或=」/，则数列｛m｝的通项公式为()

A.Un=llB.«“=〃’

匚2

C.。兀=彳D.Qn=—

解析：B:阿+G+…+©=-iyLU，•••C+G+…+网二二-^(〃22),两式相减得压(〃力2),.•.出

=n2(，e2),①.又当〃=1时，S7=?=l,〃|=1,适合①式，，a”=〃2,”eN*.故选B.

5.若数列｛温满足0=2,a”“=F—(“£!<),则该数列的前2023项的乘积是<：)

】一口[

A.-2B.-1

C.3D.I

解析：C因为数列｛“”｝满足m=2,«»»n='p--<//CN*).所以"2=*~1=罟=3,同理可得“s=“、=2,…，所以数列｛“M每

四项重复出现,即5+4=。”,且的6。3s=1，而2023=505X4+3,所以该数列的前2023项的乘积是aisarai•…,0。口=15rlsx”[X02Xa3=

3.故选C.

6.(多选)若数列｛小｝满足：对任意正整数"，[加+]—“,｝为递减数列，则称数列(加｝为“差递减数列”.给出下列数列｛4｝(«€N*),其中是

“差递减数列”的有()

A.Un=3nB."”=，「+1

C.««=­/□D.An=In--

□+1

解析：CD对于A,若a”=3〃，则—一0"=3(〃+1)—3〃=3,所以｛ar»+i—a”｝不为递减数列，故A错误；对于B,若则a“+i—

a=<//+1)2—M2=2M+1,所以｛〃”+】-为递增数列，故B错误：对于C,若则『+|—〃”=>/□+1—后=~；_厂,所以｛a”+|—

nv+I+VU

“"｝为递减数列，故C正确；对于D,若小=ln-1，则ae+|_4t=ln-^_|nF=ln(W-^)=ln(l+)’由函数产款(1+、二)在(°，

+oo)上单渊递减，所以｛雨+1—跖｝为递减数列，故D正确.

7.已知数列｛aj的前n项和S”=“2+2”+1,则cn=.

解析：当〃=1时，ai=51=1+2+1=4；当〃N2时，an=Sn-Sn-i=2?j+L经检验。i=4不适合&=2〃+I,故&=｛*

答案.I4，=L

a米.l2：i+1,□22

8.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a”=.

16

解析：由的=1=5X1—4,02=6=5X2—4.ai=11=5X3—4.,,,»归纳a”=5〃-4.

答案：5〃一4

9.已知数列｛而｝的通项为(〃EN・)，则数列的最小项是第项.

解析：因为数列彷」的最小项必为a”V0,即广=〈°，3/：-16<0,从而又因为“£N",且数列｛温的前5项递减，所以“=5

3-163LJ-163

时内的值最小.

答案：5

10.已知函数/(x)=三\设(〃£N').

(1)求证:an<\\

(2)｛猴｝是递增数列还是递减数列？为什么？

解：(1)证明：an=f(/»)=—=1—-<1,

(2)因为如.|一如=7=1一」

=(iVh-1)=—!—>o,

V□+1>I□?0(□+1)

所以

所以｛心)是递增数列.

FO综合应用

11.已知数列｛<U,若如+1=如+□匚+2,则称数列｛&｝为“凸数列”,已知数列｛6｝为“凸数列“，且/力=1,历=-2,则彷”｝的前2

024项的和为()

A.0R1

C.-5D.-1

解析：Db,^2=bn+\-b,fb\=\,〃2=-2,*.by=ln—b\=—2—1=—3,儿=加一历=-3—(-2)=—\,bs=板一氏=一\一(-3)=

2,岳=以一九=2—(-1)=3,岳='一以=3—2=1.，｛6｝是周期为6的周期数列，且8=1-2—3—1+2+3=0..*.S：3=S337x6+2=-l.

12.设数列以“｝的前“项和为S”，且S“eS6.请写出一个满足条件的数列｛小｝的通项公式如=.

解析：V”WN‘，an+l>a„,则数列｛%｝是递增的；V〃£N*,S.2s6,即S«最小，只要前6项均为负数，第7项为非负数，或前5项为负数，第6

项为0即可.所以满足条件的数列｛厮｝的一个通项公式5=/-6(nSN*).

答案：”一6(nEN-)(答案不唯一)

13.已知数列仿”｝的前〃项和为若*=〃&,且S2+S4+S6+…+5岫=1860,则a=.

解析：法一：因为Sn=M,所以当〃22时，an=Sn—Sn-1=na„—(n—1)an-i,得(n—1)On—(”-1)an-i,即a”=a”-i,所以数列｛“”｝是常

数列，所以Sn=nai,所以S2+S4+S6+…+S60=(2+4+6+…+60)"'ai=930ai=l860,解得ai=2.

法二：因为S”=〃a“，所以当“22时，Sn=n(工一$,“)，得(w-1)S-i,则有一=T，所以数列｛—｝是常数列，则一=—=«,所以

S,.=na\,则S2+S4+&+…+S«)=(2+4+6+“・+60)m=^^m=930m=l86Q,解得s=2.

答案：2

14.记S”为数列的前〃项和,儿为数列⑸｝的前〃项积,己知三+'=2.

(1)求数列仿,J的通项公式：

(2)求数列｛或｝的通项公式.

解：(1)将S”=——(〃22)代入三+'=2,得」+'=2(“22)，整理得儿一儿」=:(〃22).

00.1口口口口□口口口2

又当〃=1时，可得三+'=2,即三+上=2,得加=：,所以数列｛仇｝是以:为首项，：为公差的等差数列，

□l匚1口1口|222

所以儿=：一(W-I)x：=》+l.

(2)由(I)得及=1+1,将其代入工+」_=2,得S”=T,

当〃22时，fln=Sn-5n-i=-^--=-

又当〃=1时，ai=Si=g,不满足上式,

fl

=1,

4

所以an—

L，匚2=

15.(2022・新病考I卷〉记S为数列｛0“｝的前〃项和，已知m=l.

(I)求｛a4的通项公式；

(2)证明：-+-+•••+—<2.

01口2

解：(1)法一：因为0=1,所以」=1,

ul

又｛-｝是公差为g的等差数列，

所以一=1+(M-1)Xj=-^.

因为当〃22时，a”=S"一S”-i,

所以------=TSN2),所以(z;>2),

整理得——=—(”22),

□o-i

所以二——一£乂？乂・..乂_!1乂*=壬

□]口？0gDQ.(120・20-!

所以S=<+?+»(G2),

6

又S=1也满足上式，

所以S”=<+?(+2)(；*),

6?eN

则S”_|=<+D（〃22）,

6

所以“产｛+?（+2）_3^2

66

（”汕，

又m=l也满足上式，

所以（nGN4）.

法二：因为川=1,所以」=1,

口|

又｛一｝是公差为1的等差数列，

所以三=1+（H-1）Xg=9,

所以Sn=~~~Un.

因为当〃22时，<bt=Sfi-SHI=-J-fbi——J-6//i1,

所以（〃22）,

所以一=三（〃22）,

D0.|口“

所以二XnX…XjX——=-X-X-X-X—X—=-^<（〃22）,

rIn20［u2D：;.|1230-2~-l2

所以服=-4^（〃力2）,

又a\=\也满足上式，

所以〃”=W^（〃WN'）.

（2）证明：因为小=号!2,所以_£=77b=2（1_」万），

所以5+卜+…+_L=2［（1—B+（鼻）+…+（+」）+&47）］=2（1—T）V2.

第二节等差数列

叵底嗫渝

1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前“项和公式，理解等差数列的通项公式与前”项和公式的关系.

3.体会等差数列与一元一次函数的关系.

知识•逐点夯实…必备知识系统梳理基独重落实-…一课前自修

迎夕梳理

L等差数列的有关概念

（I）定义：如果一个数列从第2顼起，每一项与它的前一项的差都等于国二仝常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

公差,通常用字母d表示，符号表示为小一小一=%“WN♦且〃22,d为常数；

提醒在公差为"的等差数列｛.J中：①d>0o[aj为递增数列；②d=0=｛a”｝为常盘列；③dVOo®｝为递减数列.

（2）等差中项：数列a,A,b成等差数列的充数条件是人=三一,其中人叫做a与七的等差中项.

提醒在等差数列｛m｝中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即｛aj成等差数列+=（”22〉.

2.等差数列的有关公式

（1）通项公式：an=ai+（n-1）d=nd+（如-d）=当4工0时，或是关于“的一次函数模型，即a“=p”+q,其中〃为公差：

a.=ai+（fi-l）d

1

（2）前〃项和公式：5=-^'*=，刈+」7勿=3〃2+（-「3〃=当£/#0时，S”是关于〃的二次函数模型，且没有常数项，即S”=A〃2+/，〃.

3.等差数列的常用性质

（1）通坝公式的推1、：dn=am+（.n—m）d（〃，〃?£N"）；

（2）若｛a/为等差数列，且2+/=/〃+"（匕/,m,/JGNO,则at+a尸am+a»；

（3）若｛a/是等差数列，公差为d,则at，m+“，血+2,”，…（A，〃iWN‘）是公差为加d的等差数列：（4）数列S?m-Sm，S.—S》H,…也

是等差数列，公差为四.

基础b自测

1.判断正误.（正确的画“7”，错误的画“X”）

《I）若个数列从第2项起每项与它的前项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（）

（2）等差数列｛小｝的单调性是由公差”决定的.（）

（3）数列｛期｝为等差数列的充要条件是对任意〃£N*,都有2rtM=a”+小+2.<）

（4）等差数列的前〃项和公式是常数项为0的二次函数.（）

答案：（1）X（2）«（3）4（4）X

2.在数列｛倔｝中，«i=—2,a"“一a”=2.则公=（）

A.-6B.6

C.-10D.10

解析:B•:「.数列｛〃｝是公差为2的等差数列.又。=一2..・.如=5+44=-2+2乂4=6.故选B.

3.在等差数列｛而｝中，若m+G=5,G+G=15,则公+。6=（）

A.10B.20

C.25D.30

解析：C等差数列｛a»｝中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d,若m+s=5,/+小=15,则4=15—5=】（），因此仆+“6=

(4+⑥)+4=15+10=25.

4.（2022・仝国乙卷）记S”为等差数列｛洞的前〃项和.若2s3=353+6,则公差d=.

解析：因为2s3=3Sz+6,所以2（〃|+02+。3）=3<6?|+«2）+6.化简得3d=6,得d=2.

答案：2

5.已知S,）为等差数列｛%»｝的前n项和，“2=2,&=14,则an=.

,□1+□=2,

解析：也题意得.,4x3_14解得则""=-1+(n-1)X3=3〃-4.

4'+力

答案：3〃一4

常用"结论

I.若麻)均为等差数列且其前〃项和分别为S",T,则一=二二.

n♦口口2-1

2.若｛.“)是等差数列，则｛一｝也是等差数列，其首项与｛&｝的首项相同，公差是｛小｝的公差的g.

3,若等差数列｛〃”｝的项数为偶数2”，则S”=〃(ai+血)=•,•=/:(a|+。"+1)；S佻—St)=nd,—=-----.

°w0°+«

4,若等差数列｛〃”｝的项数为奇数2”-1,则S；bt-】=(2«—1)am—(中间项).

1un-'

身应用

1.已知等差数列MJ的前〃项和为S”，若山=一2023,且然一僦=1,则S2024=()

20242023

A.OB.1

C.2023D.2024

解析：A由结论2可得：｛—｝是等差数列，首项为一2023,公差为1,所以一=一2023+(〃-1)XI,所以温=一2023+(2024-1)

Xl=0,所以S2O24=0.故选A.

2.在项数为2”的等差数列中，各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项与首项之差为27,则〃=.

解析：由结论3可得：S/—S*=〃d=9O-75=15,又•.♦4%一防=27,「Jc二解得〃=5.

答案：5

3.已知数列｛〃｝,仿4都是等差数列，S”,7；分别是它们的前〃项和，并且_=存，则,=______.

3+8口7

解析：由结论1可得：==」2=券需=^=2.

U?U|33x13+847

答案：2

4.已知等差数列｛0｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为.

解析：设项数为奇数2〃一1,由结论4可得：S*—S®="M=319—290=29.

答案：29

考点•分类突破州选考点典例研析技法支悟通课堂演练

禧O

.等差数列的基本里运算

1.已知等差数列｛m｝的前〃项和为S”,若“2=4,乱=22,如=28,则〃=()

A.3B.7

C.9D.10

解析：D因为54=ai+G+a3+oj=4a：!+2J=22,所以4=丑二？=3,ai=G—d=4—3=1,(/»—1)d=l+35—1)=3n~2,由

3〃-2=28,解得〃=10.

2.在等差数列｛.｝中，已知G=5,0m=7,m+3=10,则数列｛“”｝的前加项和为()

A.12B.22

C.23D.25

解析：B数列｛0｝是等差数列，设公差为d,因为“m=7,4m+3=IO,所以“m+3=am+3d=7+3d=IO,解得d=l,又G=5,所以ai=4,所

以而=4+(m-1)Xl=7,解得小=4,所以数列｛m｝的前〃j项和为54=＜产="卫=22.故选B.

3.(多选)记S”为等差数列｛〃“｝的前〃项和，已知a=0,4=5,则下列选项正确的是()

A.。2+。3=0B.an=2n—5

C.Sn=n(n—4)D.d=~2

解析：ABC54=4X(4)=0,所以ai+ai=G+a3=O,A正确；a5=m+4d=5,Q.m+a4=〃i+s+3d=0,②.联立①②得｛所以““

=-3+X2=2”-5,B正确，D错误；S“=-3”+-^X2=/-4〃，C正确，故选A、B、C.

4.在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石

板铺成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石

板数为，前9圈的石板总数为.

解析：由题可知从第I圈到第9圈石板数构成等差数列｛小｝,且首项出=9,公差d=9,则第7圈的石板数为G=9+6X9=63,前9圈的石板

总数为59=9X9+^X9=405.

答案：63405

I练后悟通I

等差数列基本运算的常见类型及解题策略

(1)求公差”或项数〃：在求解时，一般要运用方程思想：

(2)求通丽：m和d是等差数列的两个基本元素；

(3)求特定项：利用等差数列的通项公式或等息数列的性质求解：

(4)求前”项和：利用等差数列的前“项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.

.等差数列的判定与证明

【例1】(2021•全国甲卷)已知数列｛〃”｝的各项均为正数，记S”为｛小｝的前〃项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛小｝是等差数列；②数列(0)是等差数列;

③“2=3m.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解①(§)遍.

已知彷”)是等差数列，42=30.

设数列｛猴｝的公差为d,则ai=3a\=a\+d,得d=2al,

所以=ne।+1=n2a\.

因为数列｛4｝的各项均为正数，所以JTF=〃口,

所以—同=(〃+□同一〃口=口(常数)，所以数列｛厂｝是等差数列.

①②—

已知｛。小是等差数列，｛JH)是等差数列.

设数列｛“”｝的公差为力

2

则Sn=na।+■(/"</=\nd+(□「；)〃,

因为数列｛「｝是等差数列，所以数列｛厂｝的通项公式是关于〃的一次函数，则创一3=0,即4=2G,所以G=m+d=3m.

②③g.

已知数列｛、后一｝是等差数列，a2=3a\,所以Si=m,S2=«i+«2=4«I.

设数列｛J5］的公差为4d>0,则J二一J57=0百'-J57=d,得小=屋，所以(〃-1)d=〃"，所以&=〃2,凡

所以an=S”一Sni="法一(n—1)2d2=2d2n—d'(w>2)»是关于〃的一次函数，所以数列｛〃”｝是等差数列.

I解题技法I

判断数列S，J是等差数列的常用方法

(1)定义;去：对任意〃£N“，小+是同一常数：

(2)等差中项法：对■任意”