2025举一反三系列高中数学同步复习人教A版必修2-专题7.9复数全章综合测试卷（提高篇）（教师版）

第七章复数全章综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·高一课时练习）设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α和β，则α+A．135° B．315° C．675° D．585°【解题思路】依题意可得cosα=255，sinα=-【解答过程】解：依题意复数2-i和3-i的辐角主值分别为α和所以cosα=255，sin所以cosα因为270°<α<360°，270°<β所以α+故选：C.2．（5分）（2022·高一课时练习）已知复数z1=3+i，z2=-1+2i，z3在复平面上对应的点分别为A，B，C，若四边形OABCA．17 B．17 C．15 D．15【解题思路】令z3=a+bi，结合已知有OA【解答过程】若z3=a+b由四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点），所以OA=CB=OB-所以|z故选：A.3．（5分）（2022秋·广西·高二阶段练习）设z∈C，满足2≤z+i≤3，其在复平面对应的点为A．1 B．5 C．π D．5【解题思路】复数z=x+yi【解答过程】设复数z=x+yix则2≤x+y+1i所以复平面对应的点为Zx,y表示复平面上以0,-1为圆心，以2，3故选：D.4．（5分）（2023秋·江西赣州·高三期末）若复数z=a+bi（a，b∈R，z为其共轭复数），定义：z_=-a+bi.则对任意的复数z=a+bi，有下列命题：p1：|A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】A选项，利用复数模长公式计算出|zB选项，利用复数加法法则计算得到z+C选项，利用复数乘法法则计算得到z⋅D选项，利用复数除法法则计算得到zz_=-a2【解答过程】z=a+bi则|z|=a2+故|z|=|zz+z_z⋅z⋅则z⋅z≠zz若b≠0，且a=0，此时故p4故选：B.5．（5分）（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z⋅z=4且z+zA．-21976 B．-23952 C．【解题思路】首先根据条件求得复数z，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值.【解答过程】设z=z⋅z=z+z+∵x2+当z=-z=2则z1931+2021=2=2当z=-z=-2则z1931+2021=2=2故选：D.6．（5分）（2022春·湖北武汉·高一期中）已知a∈R，“实系数一元二次方程x2+ax+94=0的两根都是虚数”是“存在复数zA．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【解题思路】分别求出实系数一元二次方程x2+ax+94=0的两根都是虚数，存在复数z同时满足【解答过程】∵实系数一元二次方程x2∴Δ=a2-设z=由z=2可得x2+y2由z+a=1可得x+a2由题意可知复平面上的圆x2+y2所以2-1≤(-a-所以，实数a∈因为-3<a<3不能推出a∈-所以“实系数一元二次方程x2+ax+94=0的两根都是虚数”是“存在复数z故选：D.7．（5分）（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ（其中eA．eiπ的实部为0 B．C．eiθ=1 D．【解题思路】根据复数实部定义、复数的几何意义、模长的计算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A，eiπ=cosπ对于B，e2i=∵cos2<0，sin2>0，∴对于C，eiθ=对于D，eiπ=cosπ+故选：C.8．（5分）（2022·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．复数1+i是关于x的方程x2B．设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，若z1C．若z-1=z+1，则复数z对应的点D．已知复数-1+2i，1-i，3-2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若OC=xOA+yOB【解题思路】结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【解答过程】对于A：复数1+i是关于x的方程x2-2i-m对于B：设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z即这两个向量的模长相等，但是OZ1与OZ对于C：若z-1=z+1，设z=x+y对于D：已知复数-1+2i，1-i，3-2i在复平面内对应的点分别为A，若OC=xOA3,-2=y-解得：x=1，y=4，故x+故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022春·辽宁沈阳·高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．复数z满足zB．z1，z2∈C，z1zC．复数z满足z-i=1，则D．2-i2+3【解题思路】对于A：取特殊值复数z=i，否定结论；对于B：设z1=a+bi,z2=c+【解答过程】对于A：取复数z=i，则z2=-1,z2=1，不满足对于B：设z1则z1所以ac-bd=0ad+所以z1，z2中至少一个为0.故对于C：设复数z=x+由z-i=1可得：x2+y-1z+1表示点Z到B-由圆的性质可得：AB-因为AB=1+1=2，所以BZ≤2+1.即对于D：因为2-i所以2-i2+3i的虚部为-813故选：BC.10．（5分）（2022秋·江苏泰州·高三期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．若z=3-2B．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±iC．若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12D．若1≤z-2i【解题思路】A选项：根据虚部的概念判断即可；B选项：根据模的公式判断即可；C选项：根据Z的坐标得到z=-1+3i，然后代入x2D选项：设z=a+bi，根据【解答过程】A选项：因为z=3-2i，所以zB选项：设z=a+bi，则z=1可以得到a2+b2=1C选项：若Z的坐标为-1,3，则z=-1+3i，又z是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，所以-D选项：设z=a+bi，则1≤所以面积为π2-1=π，故故选：CD.11．（5分）（2022秋·湖南长沙·高三开学考试）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z=OZ，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.下列说法正确的是（A．若z=1，则z=±1B．复数6+5i与-3+4i分别对应向量OA与OB，则向量C．若点Z的坐标为-1,1，则zD．若复数z满足1≤z≤2，则复数【解题思路】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．【解答过程】对于选项A，设z=a+对于选项B，∵复数6+5i与-3+4i分别表示向量OA∴表示向量BA的复数为6+5i对于选项C，点Z的坐标为-1,1，则z对应的点为-对于选项D，若复数z满足1⩽|z|⩽2，则复数z对应的点在以原点为圆心，内圆半径为故选：BCD．12．（5分）（2022春·江苏宿迁·高一期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cosx+isinx（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数z1=eix1，zA．cosB．e2C．eD．若Z1，Z2为两个不同的定点，Z3为线段【解题思路】根据共轭复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可.【解答过程】解：对于A选项，∵eix=cos∴ei则cosx=e对于B选项，e2i∵π2<2<π，∴cos∴e2i表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项对于C选项，eix则eix1∵eix1+∴eix1对于D选项，z1-z3可转化为Z1与Z3两点间距离，由于Z3为线段Z根据垂直平分线的性质可知Z1与Z3两点间距离等于Z2则z1-z3故选：ACD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·高一课时练习）满足z+z=2+i的复数z为【解题思路】根据复数的定义及复数的模计算即可.【解答过程】设z=因为z+z=2+i可得a+可得a2+1=2-a计算可得a=所以z=故答案为:3414．（5分）（2023·高三课时练习）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+【解题思路】根据给定条件，利用方程根的意义结合复数相等求出b，c，再解方程作答.【解答过程】因为1+i是方程x2+bx+而b,c∈R，于是得方程x2+bx+c=0为：x2所以方程的另一个根为1-i故答案为：1-i15．（5分）（2022·全国·高一专题练习）在复平面内，等腰直角三角形OZ1Z2以OZ2为斜边（其中O为坐标原点），若Z2对应的复数z2=1+3【解题思路】根据复数的几何意义由z2=1+3i，得到z2=2，点Z2的坐标为1,3，设点Z1的坐标为【解答过程】因为z2所以z2=2，点Z2设点Z1的坐标为x则Z2由题意得，OZ所以x2解得x=1+3所以复数z1=1+故答案为：z1=1+16．（5分）（2022春·浙江宁波·高一期末）设复平面内的不同三点A,B,C对应复数分别为z1,z2,z3【解题思路】设z1=a1+b1i,z2【解答过程】设z1=a1+即z1-z即a3则a3-a2=2则BC=OC-则BC=BC⋅则BC⊥AC，则AB=故答案为：55四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春·高一课时练习）已知复数z满足(z+1)z+1（1）求z+（2）求z的辐角主值.【解题思路】（1）由复数乘法法则和共轭复数的性质计算．（2）由z-1z+1是纯虚数.得z-1z【解答过程】（1）由(z+1)z因为zz=|z|2（2）由z-1z所以z-所以z所以2zz=2于是z，z是方程x2+x所以z当z=-12+3当z=-12-318．（12分）（2022·高一课时练习）（1）计算：32-（2）若复数z满足|z-1z|=1【解题思路】（1）由22(1+i)=cosπ4+isinπ4，【解答过程】（1）32而-∴原式=-i（2）由题意知：z-1z=12∴3219．（12分）（2022春·浙江金华·高一期中）已知复数z1=1(1)若复数z1-z(2)若虚数z1是实系数一元二次方程4x2-【解题思路】（1）求出z1（2）z1也是方程的根，根据韦达定理先求得a，再求得m【解答过程】（1）由已知得到z1-z解得-2<a（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程4x2-4x+所以z1所以z1⋅z20．（12分）（2022春·全国·高一期中）已知复数z=m2（I）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围；（II）若z满足z⋅z-【解题思路】（I）由实部小于0且虚部大于0，联立不等式组求解即可；（II）设出z=x+yix,【解答过程】解：（I）∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，∴m2+2所以m的取值范围是-2<（II）设z=∵z∴x即x∴x∴x=3y∴z=3或∵z∴当z=3时，m当z=3-4i时，m2综上可知：m=121．（12分）（2022春·福建福州·高一期中）在复平面内，已知正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1+i(1)求点D对应的复数；(2)若________，求TA+在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①点T是△ABC②点T是△ABC【解题思路】（1）设Dx,y，表示出AB（2）选①：判断出△ABC的垂心为B,求出T2,-3,利用向量的加法得到TA选②：判断出△ABC的外心为斜边AC的中点,求出T72,-【解答过程】(1)因为点A，B，C对应的复数分别是1+i所以A1,1,B2,-3,C6,-2,设Dx,y因为ABCD为正方形，所以AB=DC，所以6-x所以D5,2，即点D对应的复数5+2(2)选①：因为△ABC为直角三角形，且B所以△ABC的垂心为B,即T所以TA所以TA+对应的复数为3+5i选②：因为△ABC为直角三角形，且B所以△ABC的外心为斜边AC的中点,即T所以TA所以TA+对应的复数为-322．（12分）（2022春·上海普陀·高一期末）在复平面内，设复数z对应向量OZ1，它的共轭复数z对应向量(1)若复数z是关于x的方程2x2+4x+k=0(2)若z=1+2i，且P点满足Z1P=2PZ(3)若z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π)，可知θ在变化时会对