高中数学-圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

《圆的标准方程》教学设计

一、教材分析

1.教学内容

普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析

几何初步中2.2节圆与方程。本节主要研究圆的方程，直线与圆的

位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2.教材的地位与作用

圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学

习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准

备。同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何

中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的

思想方法。应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和

方法。

初中教材中对圆的内容降低最低要求。本课是单元的第一课，

和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导

学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3.三维目标

(1)知识与技能

A.掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

B.会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法

A.实际问题引入，师生共同探讨。

B.探究曲线方程的基本方法。

(3)情感态度与价值观

培养用坐标法研究几何问题的兴趣。

4.教学重点

圆的标准方程及运用

5.教学难点

求圆的标准方程的条件的确定。

二.教法分析

高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的

能力。所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索

式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的

问题。因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想

象，分析和总结归纳等方面的能力。

三.学法分析

从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题

的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，

而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结

合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。

四.教学过程

教师

教学

项目具体内容

意

活动

图

复教师提复习直

复习上早课内容，思考一下几个问题

习问。线的方

什么是直线方程？确定直线方程的要素有哪些？程形式，

帮助同

直线方程有哪几种表达式，都是什么样的？学去联

想圆的

方程

引

上节课我们已经学过直线方程的概念，直线斜率及直线

入

方程的常见表达式，我们知道了关于X,y的二元一次方程都

新

表示一条直线，那么曲线方程会有怎样的表达式呢？这节课

课

让我们--起火学习最常见的曲线圆的方程的第•节圆的

标准方程。

新课引入

同学们在初中的时候就已经初步了解了圆的有关知识，教师在

那，么哪一位同学来回答圆的概念？黑板上

是的，平面内到•定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。引导启

定,点是圆心，定长是圆的半径。圆心和半径分别确定了圆的发同学

位置和大小.们一起

/

Y现在我们求以C(a,b)为圆心，建立圆

(r为半径的圆的方程的标准

\)首先我们建立一个直角

方程，加

坐标系，设点M(x,y)是圆深学生

0

___________________>上任意一点，那点M在圆上学习印

X的条件是|MC|=r,那么由我象。

们已经学过的两点间的距离公式，所说条件可以转化

为方程表示：

J(x-a)2+(y-b)2=r.

将上式两边平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2.⑴

显然，圆上任意一点M的坐标(x,y)适合方程(1)；

如果平面上一点M的坐标(x,y)适合方程(1),

可得|MC|=r,则点M在圆上。

所以方程⑴是以C(a,b)为圆心、r为半径的圆的方

程.我们把它叫做圆的标准方程.

提醒学同学独立

那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特生注意思考，给

点？思考一下当圆心在原点时，X轴上，y轴上时，圆圆心在出答案。

的方程是什么？不同位

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变置时圆

数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的的标准

坐标和圆的半径.方程的

且当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2不同形

式。

圆心在x轴上时：。一〃)2+)，2=户(厂工0)

圆心在y轴上时；X1i(yb]~=r~(广r0)

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，确定圆

所以，只要a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方程就给定的标准

了.这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件.注方程的

意，确定a、b、r,可以根据条件，利用待定系数法来解决.必要条

口头练工件。

1说出下列圆的圆心和半径：教师注学生独立

22

(l)(x-3)+(y-2)=5；意提醒总结。

22

(2)x+(y-5)=8；同学语

222

(3)(X+2)+y=m(mWO)言精练

总结：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它准确。

的圆心和半径.

2、说出下列圆的方程：

(1)圆心在原点,半径为3.

(2)圆心在点C(3,-4),半径为7.

(3)圆心在点C(3,点).且与y轴相切。

总结：根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标

准方程.确定点

容易看出，如果点M。(xo,yo)在圆外，则与圆的

点到圆心的距离大于圆的半径r,即位置关

222系的条

(X。-a)+(y0-b)>r

件。

如果点M。(xo,yo)在圆内，则点到圆心的

距离小于圆的半径r,即

22

(X。-a)+(y0-b)<r~

当然我们刚才做的练习题都是比较简单的，那当

遇到比较复杂的条件时，我们怎么来确定圆的标准方

程呢？我们来做下面的一道题。

例1写出圆心为A(2-3)半径长等于5教师亲学生独立教师书

的圆的并判断点M(5,-7),自讲解思考，自写板书，

例题的觉发言。规范答

N(-石「1)是否在这个圆上

解题过题过程

程，看同

学反应

情况给

例2根据下列条件，求圆的方程：予适当

提醒、启

(1)圆心在点C(-2,1),并过点A(2,发。

-2)的圆1

(2)圆心在点C(l,3),并与直线

3%-4)，-6=0相切的圆的方程

学生独立

教师注思考，自

意多种觉发言。

方法解

(3)/ABC的三个顶点的坐标分别是

题。

A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接

通过简

圆的方程单的例

题的学

习，熟悉

教师应圆的标

该注意学生自己准方程

提醒学绦习做题的基本

生熟练步骤，然建立方

掌握做后独立思法。

文字叙考。

述题。

小结本题：求圆的方程的方法

⑴定义法：直接求出圆心坐标和半径

⑵待定系数法：步骤是

①设圆的标准方程为：

(x-67)2+(y-Z?)2=r2

②由条件列方程(组)解之得”的值

③写出圆的标准方程

课堂练习与提高

随堂巩固：题目较

为困难，

1、已知两点Pl(4,9)P(6,3),求以

2教师在教师书

课堂上写板书，

线段PR为直径的圆的方程，并判断点M(6,

讲解时规范答

对同学题过程

9)在圆上、在圆内、还是在圆外？

启不。

同学在课

堂练习，

一名同学

在黑板演

示

2、已知AAOB的顶点坐标分别是A(4,0),

B(0,3),0(0,0)，求AAOB外接圆的

方程。

教师提

问。

小组讨

论，课堂

练习，找

一名同学

叙述思路

本课小结

1.圆的方程的推导步骤。

2.圆的方程的特点：点（a,b）、r分别表示圆心坐标和圆的半径。同学总

3.由不同的已知条件求解圆的标准方程。结，巩固

4.求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；（2）定义法。加深印

5.数型结合的数学思想象。

P1242.3.4.

作

业

教

学

后

记

2.3.1圆的标准方程

一、建立圆的标准方程二.圆的标准方程的应用

板1、圆的方程的推导例1复习引入

书（x-a）2+（y-b）2=r2例2（擦掉）

设2、圆的标准方程的特点：例3

计圆心（a,b）定位，r定型学生练习

3、点与圆的位置关系

五.教学后记

教学不仅应向学生传授知识，而更重要的在于让学生参

与获得知识的活动。教师应使学生在解决问题的过程中积极

思考，使其在动手、动口，动脑的过程中懂得如何学习数学，

体会数学知识的来龙去脉，从而培养其主动获取数学知识的

能力。

《圆的标准方程》学情分析

圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了

求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的,但由于学生学习解析

儿何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练,

在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交

流的意识等方面有待加强。

从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的

能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根

据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想,

选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。

《圆的标准方程》效果分析

1、有明确的教学目标，能突出重点、化解难点。

2、善于运用现代化教学手段，根据具体内容，选择恰当的

教学方法。

3、关注学生，及时鼓励，充分发挥学生主体作用，调动学

生的学习积极性。

4、切实重视基础知识、基本技能和基本方法，渗透数学思

想方法，提高综合运用能力。

在实际教学中应因材施教，用不一样的标准衡量学生,

尽量做到让不同的学生得到不同的发展。

《圆的标准方程》教材分析

二、教材分析

1.教学内容

《圆的标准方程》选自普通高中实验教科书新课程标准数学必修

2第四章第一节第一课时。圆是解析几何口一类重要的曲线，而圆的

标准方程的学习是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了

在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质这一基础上进

行展开的，在学习中充分体现了数形结合的思想，以及用代数方法解

决几何问题的思想，是进一步学习圆锥曲线的基础。

2.教材的地位与作用

圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学

习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准

备。同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析儿何

中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的

思想方法。应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和

方法。

初中教材中对圆的内容降低最低要求。本课是单元的第一课，

和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导

学生观察圆上点在运动时.，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3.三维目标

(1)知识与技能

A.掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

B.会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法

A.实际问题引入，师生共同探讨。

B.探究曲线方程的基本方法。

(3)情感态度与价值观

培养用坐标法研窕几何问题的兴趣。

4.教学重点

圆的标准方程及运用

5.教学难点

求圆的标准方程的条件的确定。

《圆的标准方程》观评记录

作为课堂的旁观者，这节课我关注的焦点主要体现在三个方面。

(一)突出重点抓住关键突破难点

求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此王老师布

设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程

之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解

题思路，在突出重点的同时突破了难点.

第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题,

主要是因为应用问题的题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模

型，缺乏解决实际问题的信心，为此王老师首先用一道题目简洁、贴

近生活的实例进行引入，激发学生的求知欲，同时王老师借助多媒体

课件的演示，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学

模型，从而消除畏难情绪，增强了信心.最后再形成应用圆的标准方

程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应

用问题一一问题五。这样的设计，使学生在解决问题的同时.，形成了

方法，难点自然突破.我们通常理解的有效性就是如何在最短的时间

内，掌握最多的知识、技能。我认为这种认识有点偏狭，课堂教学有

效性应该体现在两个方面，其一，在规定的时间内，完成预定的知识

技能的学习，其二，尽可能促进人的综合素质发展。在新课改背景下，

教师在上展示课的时候，更喜欢凸显后者，这本身没有错，教育说到

底应该是育人的，是促进人发展的，但是人的发展不是无本之木、无

源之水，没有知识和技能为载体，人的发展就是镜花水月。因此强调

课堂教学的有效性，二者都不能偏废，今天这位老师在这个问题上的

平衡是值得肯定的，他一节课紧抓教学的主要任务，没有刻意的灌输

做人的大道理，只在结尾的时候水到渠成的引出，“我们要低下头思

考，抬起头走路”，有机的实现了知识获取和人的发展的结合。

（二）学生主体教师主导探究主线

本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始

终.从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、王老师的指导

下，由学生探究完成的.另外，王老师重点设计了两次思维发散点，

分别是问题二和问题四的第三问，要求学生分组讨论，合作交流，为

学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学

研究和真理发现的复杂与艰辛，又在王老师的适度引导、侧面帮助、

不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，在一个个问题的驱动下,

高效的完成本节的学习任务。我理解的活动是让学生的思维活动起

来，哪怕教师就是用讲授法进行教学，但是学生的思维一直处于活跃

状态，我们就认为课堂教学是活动的。从这种理解来看，我认为这位

老师的教学是比较务实的，他没有设计过多花哨的东西，而是力图通

过提问、提示、追问，引导学生深入思考问题，这一节课师生问答大

约用了14分钟时间。略显不足的是问题的开放性不够，教师存在过

度引导的问题。

(三)培养思维提升能力激励创新

为了培养学生的理性思维，王老师分别在问题一和问

题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括

能力.在问题的设计中，王老师利用一题多解的探究，纵向挖掘知识

深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生

的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，使能力与

知识的形成相伴而行。评课的目的不是批评、不是定性，而是帮助

教师发展。我们常说，教学有法、但无定法、贵在得法，每一个老师

都有最适合自己的教学风格，我在听课的过程中就意图通过分析教师

的教学行为以及教学表征来发现这位教师的教学特点。

《圆的标准方程》测评练习

1.已知一圆的标准方程为x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半

径分别为()

A.(1,0),4B.(-1,0),272C.(0,1),4D.(0,

-1),2^2

2.已知点4(—4,-5),B(6,-1),则以线段4B为直径的圆

的方程是()

A.(x+1)2+(y—3)2=29B.(x—1产+(y+3产=29

C.(x+1)2+(y—3产=116D.(x-1)2+(y+3)2=116

3.已知圆心在点尸(-2,3),并且与y轴相切，则该圆的方程是

()

A.(x—2产+廿+3)2=4B.(x+2)2+(y-3)2=4

C.(x-2)2+(y+3)2=9D.(x+2)2+(y—3产=9

4.自点4(—1,4)作圆(x—2产+①―3)2=1的切线，切点为B,

则AB的长为()

A.^5B.3C.VlOD.5

5.已知点尸(a,a+1)在圆*2+必=25的内部，那么实数a的

取值范围是()

A.(-4,3)B.(-5,4)C.(-5,5)D.(-6,4)

6.已知圆O的方程为(x—3产+(y—4产=25,则点M(2,3)到圆

上的点的距离的最大值为.

7.若圆C与圆(x+2)2+(y—1/=1关于原点对称，则圆C

的标准方程是.

8.求圆心在x轴上，且过人(1,4),6(2,—3)两点的圆的方程.

《圆的标准方程》教学反思

圆是我们在学习了曲线方程后初次运用所学知识讨论已知曲线

的方程，在初中学生已经学习过圆的几何性质，并且前面讨论了直线

与方程，因此该部分的重点是运用解析几何来体现圆的性质。在整