北京市东城区2024-2025学年高一下学期期末统一检测数学试题

东城区2024-2025学年度第二学期期末统一检测高一数学2025.7本试卷共6页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设复数满足，则（）A. B.2 C. D.42.已知，则（）A. B. C.1 D.33.已知向量，，且，则（）A B. C.1 D.44.甲、乙两个袋子中分别装有标号为1，2，3，4的4个球，这些球除标号不同外没有其他差别.分别从两个袋子中随机摸出一个球，则摸出的两个小球的标号相同的概率是（）A B. C. D.5.在中，若，，，则的大小为（）A. B. C. D.或6.已知直线和平面，若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要7.已知函数，则（）A.是奇函数 B.在上单调递增C.的最大值为2 D.在内有5个零点8.在正方体中，，为侧面上一动点．若，则的长的最大值为（）A B. C. D.9.如图，四棱台两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（）A15 B. C.25 D.10.在矩形中，，，，交于点，，分别为边，边上的点，且关于点中心对称.为矩形所在平面内的动点，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据_____.12.将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则_____13.已知向量，，若，，向量与的夹角为，则向量与的夹角为_____.14.在锐角中，若，则_____；的取值范围是_____.15.如图，正方体的棱长为6，动点在棱上，为棱上一点，，点在线段上，且满足，（i）当为中点时，异面直线与所成角的大小为_____；（ii）的长的最小值是_____.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数，，其图象相邻的两个对称中心间的距离为.（1）求，的值；（2）若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.17.某校学生会制定了本学期学生活动计划.为了解该校学生对活动计划是否支持，按照高一、高二、高三三个年级进行分层随机抽样，获得数据如下表（单位：人）：年级支持不支持高一7020高二6030高三20100假设所有学生对活动计划是否支持相互独立.用频率估计概率.（1）分别估计该校高一年级学生支持活动计划的概率、该校学生支持活动计划的概率；（2）从该校高一全体学生、高二全体学生、高三全体学生中各随机抽取1人，估计这3人都支持活动计划的概率；（3）已知该校高一（1）班至少有一半的学生支持活动计划.将该校学生支持活动计划的概率估计值记为，除高一（1）班学生外该校其他学生支持活动计划的概率估计值记为.比较与的大小.（结论不要求证明）18.如图1，在中，，，，分别为，，的中点，将沿翻折到的位置，如图2.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？请说明理由.19.已知的面积为，.（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.如图，正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2.为棱上一动点，平面截正四棱柱所得截面交棱于点.（1）求证：；（2）求四棱锥的体积；（3）写出当的长为何值时，四边形的周长最小，并求此时平面与平面的夹角的正切值.21.已知为给定的正整数，平面向量组A由个平面向量构成，即A：，其中，，，.若，均为非负实数，则称为非负平面向量组.记：，；，，.若等于在轴上的投影向量或等于在轴上的投影向量，等于在轴上的投影向量或等于在轴上的投影向量，，等于在轴上的投影向量或等于在轴上的投影向量，称平面向量组