2025年武汉数学四调试题及答案

2025年武汉数学四调试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.实数5的相反数是（）A.5B.5C.$\frac{1}{5}$D.$\frac{1}{5}$2.下列事件中，是必然事件的是（）A.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上B.打开电视机，正在播放广告C.任意画一个三角形，其内角和是180°D.买一张电影票，座位号是奇数3.计算$(2x^2)^3$的结果是（）A.$6x^5$B.$6x^6$C.$8x^6$D.$8x^5$4.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）（此处应插入一个由5个小正方体组成的几何体的立体图，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）A.（给出左视图的图形选项A）B.（给出左视图的图形选项B）C.（给出左视图的图形选项C）D.（给出左视图的图形选项D）5.点$A(3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$都在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（）A.$y_1<y_2<y_3$B.$y_3<y_2<y_1$C.$y_3<y_1<y_2$D.$y_2<y_1<y_3$6.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$7.已知关于$x$的一元二次方程$x^22x+m=0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是（）A.$m<1$B.$m>1$C.$m\leq1$D.$m\geq1$8.如图，在$\odotO$中，弦$AB=8$，半径$OC\perpAB$于点$D$，$OD=3$，则$\odotO$的半径为（）（此处应插入一个圆的图形，圆心为$O$，弦$AB$，半径$OC$垂直$AB$于$D$，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）A.4B.5C.6D.79.如图，在平面直角坐标系中，菱形$ABCD$的顶点$A$在$y$轴正半轴上，顶点$B$，$C$在$x$轴上，$\angleABC=60^{\circ}$，点$D$的坐标为$(4,3)$，则点$A$的坐标为（）（此处应插入一个平面直角坐标系中菱形的图形，顶点位置按描述标注，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）A.$(0,\frac{3\sqrt{3}}{2})$B.$(0,\frac{5\sqrt{3}}{2})$C.$(0,2\sqrt{3})$D.$(0,3\sqrt{3})$10.如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$与$x$轴交于点$A(1,0)$，$B(3,0)$，与$y$轴交于点$C$，顶点为$D$，下列结论：①$abc>0$；②$2a+b=0$；③当$m\neq1$时，$a+b>am^2+bm$；④若$\triangleABD$是等腰直角三角形，则$a=\frac{1}{2}$；其中正确结论的个数是（）（此处应插入一个抛物线的图形，与坐标轴交点及顶点按描述标注，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.计算：$\sqrt{16}\sqrt[3]{8}=$______.12.分解因式：$x^34x=$______.13.已知一组数据$2$，$3$，$5$，$4$，$4$，则这组数据的中位数是______.14.如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=1$，$DB=2$，$DE=3$，则$BC$的长为______.（此处应插入一个三角形的图形，$DE$平行$BC$，各点按描述标注，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）15.如图，扇形$OAB$的圆心角为$90^{\circ}$，半径为$2$，将扇形$OAB$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到扇形$O'A'B'$，则图中阴影部分的面积为______.（此处应插入一个扇形旋转的图形，按描述标注各点及角度，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）16.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}xa\geq0\\52x>1\end{cases}$只有四个整数解，则实数$a$的取值范围是______.三、解答题（本大题共8小题，共72分）17.（本题8分）计算：$(\frac{a^2}{a1}a1)\div\frac{1}{a1}$.18.（本题8分）如图，在四边形$ABCD$中，$AB=CD$，$AD=BC$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AE\perpBD$于点$E$，$CF\perpBD$于点$F$.求证：$AE=CF$.（此处应插入一个四边形的图形，各边及对角线、垂线按描述标注，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）19.（本题8分）为了了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球四种球类运动的喜爱情况，某中学对学生进行了随机抽样调查，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类运动，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.（此处应插入两幅统计图，一幅是扇形统计图，一幅是条形统计图，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）请根据图中信息，解答下列问题：（1）求这次抽样调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1200名学生，估计该校喜欢足球运动的学生人数.20.（本题8分）如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，点$O$在$AB$上，以$O$为圆心，$OA$为半径的圆与$BC$相切于点$D$，交$AB$于点$E$.（1）求证：$AD$平分$\angleBAC$；（2）若$AC=6$，$BC=8$，求$\odotO$的半径.（此处应插入一个直角三角形及圆的图形，按描述标注各点及相切关系，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）21.（本题8分）在平面直角坐标系中，直线$y=kx+b(k\neq0)$与双曲线$y=\frac{m}{x}(m\neq0)$相交于$A(1,2)$，$B(2,n)$两点.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出不等式$kx+b>\frac{m}{x}$的解集.22.（本题10分）某商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案.23.（本题10分）如图，在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，点$E$是$BC$边上一点，将$\triangleABE$沿$AE$折叠，使点$B$落在点$B'$处.（1）当点$B'$落在对角线$AC$上时，求$BE$的长；（2）当$\triangleCEB'$为直角三角形时，求$BE$的长.（此处应插入一个矩形及折叠的图形，按描述标注各点及折叠情况，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）24.（本题12分）如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$与$x$轴交于点$A(1,0)$，$B(3,0)$，与$y$轴交于点$C(0,3)$.（1）求抛物线的解析式；（2）点$P$是抛物线上一动点，过点$P$作$x$轴的垂线，交直线$BC$于点$D$，设点$P$的横坐标为$m$，当$m$为何值时，线段$PD$的长度最大？并求出最大值；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点$Q$，使得以点$B$，$D$，$P$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.（此处应插入一个抛物线及坐标轴、直线的图形，按描述标注各点，由于无法直接插入，可在实际出题时补充）答案一、选择题1.A2.C3.C4.B5.C6.C7.A8.B9.B10.C二、填空题11.212.$x(x+2)(x2)$13.414.915.$\pi$16.$3<a\leq2$三、解答题17.\[\begin{align}&(\frac{a^2}{a1}a1)\div\frac{1}{a1}\\=&[\frac{a^2}{a1}(a+1)]\cdot(a1)\\=&\frac{a^2}{a1}\cdot(a1)(a+1)(a1)\\=&a^2(a^21)\\=&a^2a^2+1\\=&1\end{align}\]18.证明：因为$AB=CD$，$AD=BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形.所以$OA=OC$.因为$AE\perpBD$，$CF\perpBD$，所以$\angleAEO=\angleCFO=90^{\circ}$.又因为$\angleAOE=\angleCOF$，所以$\triangleAOE\cong\triangleCOF(AAS)$.所以$AE=CF$.19.（1）喜欢篮球的有20人，占比$40\%$，则抽样调查的学生人数为$20\div40\%=50$（人）.（2）喜欢足球的人数为$50\times30\%=15$（人），喜欢排球的人数为$50201510=5$（人）.补全条形统计图（略）.（3）该校喜欢足球运动的学生人数约为$1200\times30\%=360$（人）.20.（1）证明：连接$OD$.因为$\odotO$与$BC$相切于点$D$，所以$OD\perpBC$.又因为$\angleC=90^{\circ}$，即$AC\perpBC$，所以$OD\parallelAC$.所以$\angleODA=\angleCAD$.因为$OA=OD$，所以$\angleOAD=\angleODA$.所以$\angleOAD=\angleCAD$，即$AD$平分$\angleBAC$.（2）设$\odotO$的半径为$r$.在$Rt\triangleABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.因为$OD\parallelAC$，所以$\triangleBOD\sim\triangleBAC$.则$\frac{BO}{BA}=\frac{OD}{AC}$，即$\frac{10r}{10}=\frac{r}{6}$，解得$r=\frac{15}{4}$.21.（1）把$A(1,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=2$，所以双曲线的解析式为$y=\frac{2}{x}$.把$B(2,n)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$n=1$.把$A(1,2)$，$B(2,1)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}k+b=2\\2k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$，所以直线的解析式为$y=x+1$.（2）由图象可知，不等式$kx+b>\frac{m}{x}$的解集为$2<x<0$或$x>1$.22.（1）设购进甲商品$x$件，则购进乙商品$(100x)$件.由题意得$15x+35(100x)=2700$，解得$x=40$，则$100x=60$.所以购进甲商品40件，乙商品60件.（2）设购进甲商品$a$件，则购进乙商品$(100a)$件.利润$W=(2015)a+(4535)(100a)=5a+10(100a)=10005a$.由$750\leq10005a\leq760$，解得$48\leqa\leq50$.所以进货方案有三种：①购进甲商品48件，乙商品52件；②购进甲商品49件，乙商品51件；③购进甲商品50件，乙商品50件.23.（1）在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，则$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=10$.设$BE=x$，则$B'E=x$，$EC=8x$，$AB'=AB=6$，$B'C=106=4$.在$Rt\triangleB'EC$中，根据勾股定理$B'E^{2}+B'C^{2}=EC^{2}$，即$x^{2}+4^{2}=(8x)^{2}$，解得$x=3$.（2）分两种情况：①当$\angleEB'C=90^{\circ}$时，点$B'$落在$AC$上，由（1）知$BE=3$.②当$\angleB'EC=90^{\circ}$时，因为$\angleBAE+\angleBEA=90^{\circ}$，$\angleB'EC+\angleBEA=90^{\circ}$，所以$\angleBAE=\angleB'EC$.又因为$\angleB=\angleC=90^{\circ}$，所以$\triangleABE\sim\triangleECB$.则$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{BC}$，设$BE=x$，则$\frac{6}{8x}=\frac{x}{8}$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=24$（舍去）.所以$BE$的长为3或2.24.（1）设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x3)$，把$C(0,3)$代入得$3=a(0+1)(03)$，解得$a=1$.所以抛物线的解析式为$y=(x+1)(x3)=x^{2}+2x+3$.（2）设直线$BC$的解析式为$y=kx+d$，把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+d=0\\d=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\d=3\end{cases}$，所以直线$BC$的解析式为$y=x+3$.点$P$的横坐标为$m$，则$P(m,m^{2}+2m+3)$，$D(m,m+3)$.所以$PD=m^{2}+2m+3(m+3)=m^{2}+3m=(m\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$.当$m=\frac{3}{2}$时，$PD$的长度最大，最大值为$