2023-2025北京高三一模数学汇编：抛物线

2023-2025北京高三一模数学汇编

抛物线

一、单选题

1.（2025北京通州高三一模）已知点厂为抛物线V=4x的焦点，过点尸且倾斜角为;的直线与抛物线交

于48两点，则|明等于（）

A.16B.6C.—D.4

3

2.（2025北京海淀高三一模）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为产，点在C上，

\MF\=2,贝（）

A.1B.72

C.V3D.2

3.（2025北京石景山高三一模）已知抛物线C:/=8x的焦点为尸，点M在。上，若则

（）

A.%«0,2）B.y0e（O,2）C.x0e（2,-i<o）D.y0e（2,+oo）

4.（2025北京丰台高三一模）已知抛物线C：/=2川（p>0）的焦点为F,点加在c上.若M的横坐标为

1,且|“尸|=2,则p的值为（）

A.gB.1C.2D.4

5.（2025北京顺义高三一模）已知抛物线C：/=4x的焦点为产，准线为/,过点歹的直线与C交于不同

的两点A,B,。为坐标原点，直线80与/交于点跖^\AF\=2\FB\,贝限ABM的面积等于（）

A.还B.3&C.9D.2

22

6.（2025北京延庆高三一模）“A=是“直线？=履+2与抛物线/=4x只有一个公共点”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2024北京延庆高三一模）已知抛物线C：/=8x的焦点为耳，点M在。上.若M到直线x=~4的距离

为7,贝!JIMFU（）

A.4B.5

C.6D.7

8.（2024北京西城高三一模）已知抛物线。与抛物线V=4x关于直线>=无对称，则C的准线方程是

()

A.x=-lB.x=—2

C.y=-lD.y=-2

9.（2023北京顺义高三一模）已知抛物线y2=2px（p>0）的准线过双曲线3一丁=］的一个焦点，贝|“=

10.（2023北京海淀高三一模）已知抛物线V=4x的焦点为「点尸在该抛物线上，且尸的横坐标为4,

贝力「用=（）

11.（2023北京房山高三一模）已知抛物线C:/=©的焦点为产，抛物线C上一点P到点尸的距离为3,

则点尸到原点的距离为（）

C.20D.2石

12.（2023北京丰台高三一模）已知抛物线。:y=2°吠0>0）的顶点是坐标原点。，焦点为FA是抛物

线C上的一点，点A到x轴的距离为26.过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为8.若四边形A3。尸

为等腰梯形，则P的值为（）

B.V2D.20

13.（2023北京石景山高三一模）己知正方体ABCZ）-AqGR的棱长为2,点尸为正方形ABCD所在平面

内一动点，给出下列三个命题：

①若点尸总满足PR±g,则动点P的轨迹是一条直线；

②若点尸到直线5耳与到平面CDAG的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；

③若点P到直线DDy的距离与到点C的距离之和为2,则动点P的轨迹是椭圆.

其中正确的命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

14.（2023北京平谷高三一模）已知抛物线C:y2=2px,点。为坐标原点，并且经过点尸（1,%）,若点P

到该抛物线焦点的距离为2,贝力。P=（）

A.272B.2A/3C.4D.Vs

二、填空题

15.（2025北京通州高三一模）已知点P（x,y）是曲线。:％2+/=1+网上任意一点，有以下四个结论：

①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②-1W1,-i<y<i；

③点尸到坐标原点距离的最大值为逝；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.

其中正确结论的序号是.

16.（2025北京东城高三一模）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，点M为C上任意一点，且总

有21,则P的一个值可以为.

17.（2025北京西城高三一模）设抛物线C:/=2py的焦点为尸（0,1）,准线为/,则抛物线C上一点

2）至打的距离为.

18.（2025北京房山高三一模）已知尸是抛物线C:/=12y的焦点，则/的坐标为,设A是直线

尸-3上一点，直线AF与抛物线C的一个交点为B,若羽=2防，则点3到无轴的距离为.

19.（2025北京门头沟高三一模）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为JF,过点尸且垂直于其对称轴的

直线交C于点M,N,若|MN|=4,则焦点到其准线的距离为.

20.（2025北京平谷高三一模）抛物线/=2尤上一点网吃,%）到准线的距离与到对称轴的距离相等，则

21.（2025北京朝阳高三一模）己知点"（2,1）在抛物线C:Y=2py（p>0）上,则抛物线C的焦点/的坐标

为;以尸为圆心，|而|为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是.（填“相交”“相切”或“相

离”）

22.（2024北京朝阳高三一模）已知抛物线％2=2知（°>0）的焦点为F，准线方程为y=-l,贝U

P=;设。为原点，点•（%,%）在抛物线上，^\OM\=\FM\,则为=.

23.（2024北京东城高三一模）已知抛物线C］：V=4x的焦点为工，则月的坐标为；抛物线

〈：y2=8x的焦点为玛,若直线y=〃z（〃件0）分别与GC交于P,。两点；且归用—|四|=1,则

W=一■

24.（2024北京门头沟高三一模）已知抛物线C：y?=4x的焦点为F，点加在C上，若眼尸|=3,则加到

直线x=-2的距离为：.

25.（2024北京丰台高三一模）己知尸是抛物线y2=4x的焦点，A8是该抛物线上的两点，

|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到y轴的距离为.

26.（2023北京西城高三一模）己知抛物线丁=2.（「>0）的顶点为。，且过点48.若△OAB是边长为

的等边三角形，则—.

27.（2023北京朝阳高三一模）经过抛物线V=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,2两点，若|AB|=4,

则AQ4B（。为坐标原点）的面积为.

28.（2023北京石景山高三一模）抛物线C：-=4y的焦点坐标为,若抛物线C上一点M的纵坐

标为2,则点M到抛物线焦点的距离为.

参考答案

1.C

【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求

得I明.

【详解】由题意可得，抛物线的焦点尸(1,0),

由直线的斜角为三，可知直线A2的斜率为6，

二直线AB的方程为y=6(x-1),

设A(%,%),3(乙,%),

联立方程卜2=6"T)，可得_10X+3=0,解得占=3,%=:，

[y2=4x-3

由抛物线的定义可知，\AB\=\AF\+\BF\=Xl+l+x2+l=y.

故选：C.

2.C

【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出p的值，可得出方程，点在曲线上，代入可得解.

【详解】由抛物线定义知：W=|+f=2-解出。=1，故抛物线C:y2=2无，

又点用@，%]在C上，则C:%2=24=3,帆|=6,

故选：C.

3.C

【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出/的取值范围.

【详解】抛物线C：y2=8x的准线方程为％=-2,

又点在C上且同>4,贝i]|MF|=%+2>4,所以％>2,

即飞e(2,+oo),故A错误，C正确；

又\=胱,所以y：e(16,+s),所以%«4,M)U(F,T),故B、D错误.

故选：C

4.C

【分析】利用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解.

【详解】由已知可得抛物线的准线方程为x=-5,

抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，

所以|MP|=§+x=f+1=2,解得？=2,

故选：c.

5.A

【分析】根据|4尸|=2|阳|以及抛物线定义可得直线43的斜率，则可求|相|,以及M坐标，即可得点“

到直线48的距离，最后利用面积公式即可.

【详解】如图，过点A3作44,与，/,直线与x轴分别交/与点瓦H,

设网=2四=2m,则网=叫A4j=2m,

BEBB、_1

因则得忸耳=3m,

AE有-2

BBS1

贝|cos/EBB1=■贝iJtanN£B4=2收,

BE\"3

故直线A3的斜率为20,直线A8的方程为尤=亨、+1,

与y2=4x联立得一4=0,解得A（2,2垃）,2

25

则直线OB：y=-2jlx,M同=，得乱卜1,2后）

故点”到直线村的距离1为-4-藤4-4苛1=2区「

故AABM的面积为工义20乂？=述

222

【分析】求出直线与抛物线有一个交点的等价条件结合充分条件和必要条件的定义，即可得出结论.

fV=Ax+2rc/、

【详解】由2,，得公*2—4（左一1卜+4=0,

[y=4x

因为直线y=kx+2与抛物线y2=4x只有一个公共点，

所以当左=0时，交点为（L2）只有一个公共点，符合题意；

21

当左W0时，A=［—4（上-1）］—4xk2x4=0,:.k=—,

所以直线、=区+2与抛物线y=4x只有一个公共点的充要条件是左=0或A=1,

所以A=能推出“直线、="+2与抛物线y2=©只有一个公共点，

直线丁=丘+2与抛物线y2=4x只有一个公共点不能推出次=

“k=，”是“直线>=依+2与抛物线V=4尤只有一个公共点，，的充分而不必要条件，

故选:A

7.B

【分析】根据抛物线的定义求解.

【详解】由抛物线C:/=8x可知，准线方程为彳=-2,

因为“到直线x=T的距离为7,

所以M到抛物线准线x=-2的距离为5,

由抛物线定义知，1破1=5.

故选：B

8.C

【分析】由对称性可得曲线C方程，求出准线方程即可.

【详解】因为抛物线c与抛物线>2=4无关于直线y=X对称，

所以将X，y互换后可得抛物线C方程为无2=4y,即20=4n。=2,

所以C的准线方程为y=苫=-1,

故选：C.

9.C

【分析】求出抛物线V=2px的准线方程和双曲线丁=1的焦点坐标，由条件列方程求p.

【详解】抛物线9=2Pxm°）的准线方程为x=_g

双曲线］一丁=1的左焦点的坐标为（_2,0）,右焦点的坐标为（2,0）,

因为抛物线V=2px的准线过双曲线1-丁=i的一个焦点，

所以^=2,

所以0=4,

故选：C.

10.D

【分析】直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.

【详解】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,

因为点P在抛物线＞2=4尤上，尸的横坐标为4,抛物线丁=4尤的焦点为R

所以|尸石等于点P到直线x=-l的距离，

所以|尸尸|=4+1=5,

故选：D.

11.D

【分析】由抛物线的定义，将抛物线C上一点P到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点尸的坐

标，进而得出点尸到原点的距离.

【详解】抛物线C:y2=4x的准线为x=-l,

由题意，设尸（工,%）,•.-PF=3=x0-（-l）,.-.x0=2,网2,±2垃），

则点P到原点的距离为"^=2白，

故选：D

12.C

【分析】过点A向x轴作垂线、垂足为E.设准线交x轴于D利用几何法求出直角三角形皿的三边，利

用勾股定理即可求解.

过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E.设准线交x轴于D

因为四边形A20F为等腰梯形，所以|O@=|AF|,ZFOB=ZOFA.

所以NDOB=NEK4.

又ZBDO=ZAEF=90。,

所以ABDO=AAEF,所以|OD|=FE|=$

所以0同=|DO|+\OF\+\FE\=^-.

所以MM=|DE|=学.

由抛物线的定义可得：|A刊=|AB|=学.

在直角三角形AE尸中，|4目=薮,但尸|=3卜同=%=20.

由勾股定理可得：][+（20）2=]学：，解得：P=2.

故选：C

13.C

【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足尸2的动点P的轨迹，从

而可判断①；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义即可判断动点尸的轨迹，即

可得判断②③，从而可得答案.

【详解】对于①，如图在正方体ABCD-AAGR中，连接BR,CR,

在正方体中，因为四边形CDQG为正方形，所以z）G，CA，

又BC_L平面CDDG,0GU平面CDDC,所以BC_L，

又CD,cBC=C,CD],BCu平面BCD,,所以DQ，平面BCD,,

平面BCRc平面ABCD=3C,/^平面回口^点尸总满足「，，^^，

所以Pe平面BCR,所以则动点P的轨迹是一条直线，故①正确；

对于②，24c平面ABCD=3,Pe平面"8,则点P到直线2瓦等于尸到8的距离，

又尸到平面CDD£的距离等于P到DC的距离，

则尸到B的距离等于尸到。C的距离，由抛物线的定义可知，动点尸的轨迹是抛物线，故②正确；

对于③，点尸到直线。，的距离等于P到。的距离，所以P到。的距离与到点C的距离之和为2,即

|PD|+|PC|=2=|DC|,则点P的轨迹为线段。C,故③不正确.

所以正确的命题个数是2.

故选：C.

14.D

【分析】由焦半径公式列出方程，求出P=4,得到邸=4,求出|。尸|的长.

【详解】抛物线准线方程为了=一言，由焦半径可知：1+^=2,解得：p=2.

则C:y2=4x,此时y：=4,贝U|。尸|=+4=逐.

故选：D

15.①③④

【分析】选项A,用(f,-y),(r,y),(x,-y)代替(x,y)验证①；取x=；,即可求解方程的根判断②，根

据题中条件，得出V+y2的范围，即可判断③正确；根据题意，可分析xe(O,l),y>。时的情况，确定第

一象限部分图象应在y=l,x=l与坐标轴围成的正方形外部，对应的面积一定大于1,根据对称性，即可

判定④.

【详解】将代入(r)2+(r)2=i+|(r)(-刈，整理得/+9=1+|孙所以曲线c关于原点对

称，

同理将(-％日,(用-、)代入方程整理后其方程不变，故曲线关于羽y轴对称，故①正确；

取X=g,则/+；=1+：3，故|y「一g•一|=0,

I+A/131+3(增根已舍去)，因此②错误,

---------〉------

44

丫2

因为炉+/=1+回区1+土+产，当且仅当x=y时，等号成立，所以Y+y2v2,

则曲线上任意一点到原点的距离的最大值为正了7=血；故③正确；

令xe(0,l),y>0可得J_孙+/_]=0,

令/3='2_孙+彳2_],

因为A=4-3f>o,

所以函数有两个零点，

又因为〃0)<0,/(l)=x2-x<0,

所以两个零点一个小于0,一个大于I,

即曲线C上当xe(o,l)时y>l,

同理当y©(0,1)时x>1,

即第一象限部分图象应在y=1,尤=1与坐标轴围成的正方形外部，

所以第一象限内的面积应大于1；

由图象的对称性可得，曲线c所围成的区域的面积应大于4,故④正确.

故答案为：①③④

16.2(答案不唯一)

【分析】根据抛物线性质有眼目之与，结合已知得。22,即可得.

【详解】由抛物线的性质知⑼若，又|炳21,即自lnpN2.

所以P的一个值可以为2.

故答案为：2（答案不唯一）

17.3

【分析】先求出0=2,然后得出抛物线的准线方程，即可得出答案.

【详解】由题可得4=1,所以0=2,

2

所以准线/：y=T,所以C上一点A（f,2）至IJ/的距离为2+1=3,

故答案为：3.

18.（0,3）1

【分析】由抛物线性质可知焦点坐标；过3作5。垂直于直线>=-3,由比例关系得出3到x轴的距离.

【详解】抛物线C:x?=12y的焦点尸（0,3）,准线产-3.

过B作垂直于直线产-3于。，则3£>//y轴.

设直线产-3与>轴交于点C,

....AB2

因为荏=2而，所以|4?|=2忸耳，%下=§，

BDAB2

由皿/y轴得，出=行=葭

??

所以忸必=§pC|=§x6=4,

因此点B到x轴的距离为1.

故答案为：（3,0）;1.

19.2

【分析】求得M，N的纵坐标，进而可求得p=2,可得结论.

【详解】抛物线。：/=2/（0>0）的焦点为尸《,0

因为过点尸且垂直于其对称轴的直线交C于点Af,N,所以无“=/=£,

将无M=XN=光，代入抛物线方程，可得加=?，班=-。，

所以|MV|=p+0=2p=4,解得。=2,

焦点到其准线的距离为2.

故答案为：2.

20.-/0.5

2

【分析】由抛物线的定义可知，过尸作x轴的垂线垂足是焦点，即可得到答案.

【详解】抛物线焦点在x轴上，且焦点尸(),0；故抛物线的对称轴为x轴，

抛物线/=2了上一点P(x0,%)到准线的距离与到对称轴的距离相等，

由抛物线的定义可知，点尸(%,%)到准线的距离与到焦点的距离相等，

所以，若尸尸，x轴，则垂足为点尸，即

故答案为：!

21.(0,1)相切

【分析】第一空由点在抛物线上代入可得抛物线方程，进而得到焦点坐标；

第二空由两点间距离公式求出圆的半径与焦点到准线的距离相比较可得.

【详解】由题意可得4=2pnp=2,所以4=1,

2

所以抛物线C的焦点F的坐标为(0,1)；

由两点间距离公式可得|桢|=^(2-0)2+(1-1)2=2,即为圆的半径，

又焦点到准线的距离为2,

所以|引0|为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是相切.

故答案为：(0,1);相切.

22.2-/0.5

2

【分析】借助抛物线的性质及其定义计算即可得.

【详解】由抛物线准线方程为y=T,故P=2,

则％2=4y,尸(0,1),由加(5,%)在抛物线上，

故时|=%+=

^\OM\=\FM\,可得■+此=(%+1)2,

即X：=2%+1=4%,即为=；•

故答案为：2；.

23.(1,0)2

【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出|P4|,|。鸟|,进而可得出

【详解】由抛物线G：/=4x,可得K（1,0）,

设P（%，yJ，Q%，％），

则|两|=百+1,|°&|=%+2,

故|尸耳|—|Q町=%—马—1=1,所以占一3=2,

所以「。|=可一&=2.

【分析】由抛物线的性质得到M到C的准线的距离，然后解出M的横坐标，最后求出M到直线》=-2的

距离即可.

【详解】由点M在C上，C：^二以的焦点为尸，准线为x=—l,知/到直线x=T的距离等于

而|MF|=3,故M到直线x=T