2025北京高一（上）期末数学汇编：指数函数与对数函数章节综合（解答题）

2025北京高一(上)期末数学汇编

指数函数与对数函数章节综合(解答题)

一、解答题

1.(2025北京顺义高一上期末)某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的

课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分，(单位：分)与当

天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系.满足的条件如下：

①函数是区间［0,60］上的增函数；

②每天运动时间为。分钟时，当天得分为。分；

③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；

④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分.

2

现有以下三个函数模型供选择：①y=ntx+n(m>0)@y=m-log2(^+2)+n(in>0)(3)y=mx+n(m>0)

(1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型(不必说明理由)，并求出函数的解析式；

(2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.(注：行土1.414,结果保留整

数).

2.(2025北京顺义高一上期末)已知函数〃x)=log2(l+x)+”og2(l-x),且函数是奇函数.

(1)求实数/的值；

(2)设函数g(x)==,判断函数g(尤)在区间(0,1)上的单调性，并证明你的判断；

(3)设函数尸(x)=〃尤)-：+g,写出函数P(x)的零点个数.(结论不要求证明)

3.(2025北京清华附中高一上期末)已知函数〃x)=|log"x|(a>0,aHl).

(1)若7(2)=；,求实数。的值；

(2)右。<石<工2，且/(%)=/(w)，求石九2的值；

(3)若函数/(x)在；,3的最大值与最小值之和为1,求实数。的值.

4.(2025北京清华附中高一上期末)已知二次函数/(彳卜％2-2小+1,其中机>0.

⑴若“X)的最小值为-1，求加的值；

⑵若〃x)有两个不同的零点%，飞，求证：汇+芯+6>4.

5.(2025北京丰台高一上期末)设函数〃x)=a%2+(2a-4)x-a+5,其中a>0.

⑴当a=l时,求在区间［。,3］上的最大值和最小值：

⑵若〃x)在区间［1,4］上不单调，求。的取值范围；

⑶若在区间(-1,2)内存在零点，求a的取值范围.

6.(2025北京丰台高一上期末)已知函数/(x)=log2M.

⑴判断的奇偶性，并证明；

(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出“X)的图象，并写出的单调区间；

⑶求不等式〃力＞4的解集.

7.(2025北京延庆高一上期末)(1)比较下列各题中两个值的大小，并说明理由：

①0.9"与0.9"7;

②(/+2严与

③logs0.5与0；

④已知实数6满足6。＞6〃，号)"与守的大小.

(2)设/(x)=log.x,其中。＞0且。片1,比较氏)与/(受产)的大小,并证明.

8.(2025北京延庆高一上期末)计算下列各式的值或简化下列各式：

(I)log28+log31+lg5+lg20；

5

⑵e2+log?⑷x2)+log169+log278；

_2

5x

(3)151--；

一4-y2.(_[x3y4)

o

m+mx+2

(4)——丁.

m2+m2

9.(2025北京延庆高一上期末)已知函数〃x)=lg(x+D.

⑴求函数/(x)的定义域、值域；

(2)判断/'(x)的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式;

⑶如果〃2加)＜/(加+2),求机的取值范围；

(4)令g(x)=/(10")+2ax,已知g(x)是偶函数，求。的值.

10.(2025北京密云高一上期末)已知函数，(无)=降+求一，.

(1)当。=1时，证明：为偶函数；

(2)当。=-1时，直接写出的单调性，并解不等式/(2x-l)>e2_e-2；

(3)当a>0时，是否存在实数a,使得的最小值为4,若存在，求出。的值，若不存在，请说明理由.

11.(2025北京海淀高一上期末)已知函数5(x)=e*+ae于(a#0).

⑴若/(0)=0,求。的值；

(2)当a=1时，用函数单调性定义证明以x)在区间［0,+8)上是增函数；

⑶若aeZ,VxeR,/(尤)>0恒成立，且函数g(x)=#(x)在(-8,0)上单调递增，求a的最小值.

12.(2025北京二中高一上期末)已知指数函数/(%)=能的图象过点。,2),

⑴求函数“X)的解析式；

(2)判断—x)=—〃—x)的奇偶性，并加以证明；

⑶如果log。(-必-2麻+3”1在区间［2,3］上恒成立，求实数b的取值范围.

13.(2025北京西城高一上期末)已知函数其中awO.

⑴证明：/(-x)+/(x)=a；

⑵若/(%)在,+e)上单调递减，求。的取值范围；

⑶求〃x)在区间［-1,2］上的取值范围.

14.(2025北京西城高一上期末)已知函数/■(x)=log2(2-x)+log2(l+X).

⑴求〃x)的定义域；

(2)求不等式/(无)W1的解集.

15.(2025北京清华附中高一上期末)2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使

用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获

得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我

国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联(俄罗斯)航天之父

齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：v=%ln今其中为火箭初始质量，加上为火箭燃烧完毕

熄火后剩余质量，票称为火箭质量比，%为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔

科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900m/s.

(1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度；

⑵经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的若使火箭的理想速度增

加3950m/s,求该火箭在技术和材料改进前的质量比.(两问结果均保留一位小数，参考数据：

InlOx2.30,e®2.718,^/e®1.649)

16.(2025北京房山高一上期末)已知函数的定义域为R,对任意实数加,〃eR,都有

+=且当x>0时，

⑴求了(。)；

(2)证明：当x<0时，/(%)>1；

⑶当f(lg(4-2。-3))>1时，求实数。的取值范围.

17.(2025北京石景山高一上期末)已知函数/(x)=ln(3+x)+ln(3-x).

⑴求函数/(x)的定义域；

(2)判断函数/(x)的奇偶性；

(3)求证:/(%)在(0,3)是减函数.

18.(2025北京大兴高一上期末)己知函数/(x)=log“x+x-b,其中a>l.

⑴若/⑴=1,/(4)-/(2)=3,求万的值；

(2)用单调性定义证明：函数f(x)在区间(0,+e)上单调递增；

(3)若当l<a<2<6<3时，函数/(x)在区间(","+l)(〃cN*)上存在零点，写出"的值，并说明理由.

19.(2025北京东城高一上期末)已知函数/(x)=log4(x+2),g(x)=log2x.

⑴当f(x)>g(x)时，求X的取值范围；

⑵若函数y=g(皿)筌］］在［1,8］上的最大值为6,求实数加的值；

(3)通过软件作图发现，当尤e(-l,O)时，/(x)<x+l<g(x+2).试利用上述结论证明：1］<2°2<1.2.

20.(2025北京东城高一上期末)已知函数/(x)=log“x(a>0,awl).

⑴若/(［=2,求a的值；

⑵当0<。<1时，若函数8。)=|〃到在［凡2句上的最大值与最小值的差为，求。的值；

(3)设函数入(x)=a-2x-/(x),当5<a<6时，〃(x)的零点须e(利,加+1)(根eN*),求加的值.

21.(2025北京朝阳高一上期末)己知函数/(x)=1^(a€R)是定义在R上的奇函数.

⑴求〃x)的解析式；

(2)判断的单调性并用定义证明；

⑶解关于x的不等式7•(4x)+y(2-3x2")<0.

22.(2025北京东城高一上期末)已知函数/(%)=":"+的图象过点(2］］,其中meR.

-x+mx+4,0<x<l<24；

⑴求加及/(T)的值；

(2)求证：V^e(-oo,l),都有x+3</(x)Wx+4；

⑶若函数g(x)=|/W-(x+n)|5eR)在(口>,1)上存在最大值，直接写出”的取值范围.

23.（2025北京东城高一上期末）在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度》（单位：毫克/毫升）

与时间单位：小时）满足函数关系y=h,其中a,左为大于。的常数.已知该药物在

-,t＞2

it

血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在2小时时达到最大值21n3毫克/毫升.

（1）直接写出上的值；

（2）当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效.求该药物有效的时间长度T（单位：小时）.

24.（2025北京首师大附中高一上期末）已知函数〃x）=ln（2r）+ln（2+无）.

（1）求函数/（x）的定义域；

（2）判断了（x）奇偶性，并加以证明；

⑶若/（2〃z+l）＜ln3,求实数加的取值范围.

25.（2025北京八中高一上期末）已知函数8（彳）=加-2依-1+Z?（。＞0）在区间[2,3]上有最大值4和最

小值1.设〃司=省.

⑴求6的值；

⑵若不等式/（2*）-h2―0在xe[T,l]上有解，求实数人的取值范围.

26.（2025北京石景山高一上期末）已知函数=xe[-l,2].

⑴当a=2时，求的最小值；

⑵记”X）的最小值为g（司，求g㈤的解析式.

27.（2025北京八中高一上期末）已知函数/（无）=log,匕?的图象关于原点对称，其中。为常数.

x-1

（1）求。的值；

⑵当xe[2,4]时，/（x）＜log2（x+幻恒成立，求实数上的取值范围.

28.（2025北京房山高一上期末）已知函数“无）=log2（尤J2尤+。）的定义域是R.

（D求实数。的取值范围；

（2）解关于x的不等式，＜-1.

a~

2工+1

29.（2025北京四中高一上期末）设函数

（1）若/⑷=2,求实数。的值；

（2）判断函数/（x）的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若〃尤）《机对于xe[l,+oo）恒成立，求实数机的最小值.

参考答案

Y

1.(1)②，y=21og2(-+2)-2

(2)该学生每天至少箫要锻炼47分钟

【分析】(1)选择模型①②③，利用函数图象过的点求出私"，再验证即可得解.

(2)由(1)所得解析式，建立不等式并求解即得.

【详解】(1)选择模型①，由函数过点(。,0),(10,2),得根=g,〃=0,则了=!苫，

当％=30时，y=6〉5,不符合题意；

选择模型③，由函数过点(0,0),(10,2),得根=点,〃=0,贝=

当％=30时，y=18>5,不符合题意；

mlog22+n=0

选择模型②，由函数过点(0,0),(10,2),得10小,解得机=2,〃=—2,

mlog2(—+2)+n=2

此时函数的解析式为y=21ogg+2)-2,当x=30时，L仁+212=4,符合题意,

X

所以函数的解析式为y=21og2(1+2)-2.

Y

(2)由(1)知y=21og2(1+2)-2,由每位学生每天得分不少于5分，

^21og2(-+2)-2>5,即地式1+刀士于则1+222-8五，

解得尤2400-10240x1.414-10=46.56，

所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少箫要锻炼47分钟.

2.(l)f=-l

(2)函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，证明见解析

(3)2个零点

【分析】(1)根据奇函数定义，由〃T)+/(X)=0,代入计算可求得t=-l；

(2)利用函数单调性的定义证明函数的单调性；

(3)借助函数奇偶性和单调性可得零点的个数.

fl+x>0/、/、

【详解】⑴令IT〉。，解得所以函数的定义域为(-U).

由于函数/(X)是奇函数，

所以函数/(X)在其定义域内满足〃r)+/(x)=0,

贝Ulog2(l-x)+rtog2(l+^)+log?(1+x)+dog2(l-x)=0.

2

整理得：(l+r)log2(l-%)=0,

注意到对任意的xe(-M)上式均成立，可得1+/=0,解得r=T.

1I7

(2)因为8(尤)=三|r=六-1,可知函数g(x)在区间(0,1)上单调递增.

证明如下(方法一)：

对任意西，电«0,1),且占</，

则g(6g(/)=占T一七+1=±_±

因为0<%<%2<1,1—%〉0,1—>°，石一元2<0，

可得g(%)-g(%)<。,即g&)<g(z)

所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递增.

证明单调性(方法二)：

对任意看,%2«0,1),且为<%,

贝"(%)一(%)=产-

1一再JL-%2

(1+玉)(1—々)一(1+*2)(1—须)2(须一％2)

(1一%)(1一％2)(1一%)(1一%2)

因为0<%<X2<1』一百〉0/一々〉°，%1一％2<。，

可得g(%)-g(x2)<。，即g(%)<g(%2)，

所以函数g(X)在区间(。,1)上单调递增.

(3)由题意得F(x)=log2(1+x)—log2(1—x)---\--=log2-------H-,

x21xx2

根据第(2)小问得〃尤)=log2二三在区间(0,1)上单调递增，

又函数y=-1+1在区间(0,1)上单调递增，所以网可在区间(0,1)上单调递增,

当x=；时，rW=log23-1=log2V9-log2A/8>0,

当x=9寸，FW=log22-|=l-|<0,

根据零点存在定理得在区间(0,1)上存在一个零点，

同理可得在区间(-1,0)上存在一个零点，

所以函数尸(X)有2个零点.

3.⑴〃=4或

⑵1;

(3)a=或a=陋■

3

【分析】(1)代入直接求解；

(2)计算可知log.(尤1々)=°，由此得中2=1；

(3)分析得函数在曰,3］上最大值是2,分类讨论可求解.

【详解】(1)由题意|loga2|=；,所以108«2=^或108«2=-3,解得q=4或°=［；

(2)由题意|logaxj=〔log"马|，又。<花<%，且y=log“x在(0,+℃)上单调，

所以1呜尤1+1吗尤2=°，Wloga(x1x2)=0,所以中2=1；

(3)显然尤=1时，/(刈=|1。8小|取得最小值0,则函数/(尤)在［；,3］上的最大值是2,

由(2)可知/《)=/(2),

由对数函数性质知f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+s)上单调递增，所以/(2)<〃3),

所以7(3)=|log°3|=2,解得〃=&或

4.⑴万

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据二次函数性质求解；

(2)利用韦达定理把不等式左边表示为根的函数，再结合基本不等式可证.

【详解】(1)/(x)=x2-2mx+1=(x-m)2+1-m2,

所以〃XU=1-/=T，解得根=应(负值舍去)；

(2)由题意/(%)=%2一根X+l=0的两根为七且再W%2，

所以八=疗-4>0,因为m>0,故解得机>2,

%+%2=m,x1x2=1,

22

(X+)—2xx9+6m+44IT.

玉+马玉+%mmNm

4

当且仅当用=一，即加=2时等号成立.

m

5.(1)最小值为3,最大值为7.

【分析】(1)根据二次函数的性质得出最值;

(2)根据函数不单调列不等式计算求参；

(3)解法1：分A=0及△>◊两种情况分类讨论求零点或结合零点存在定理计算范围；解法2：先计算对

称轴为x=乎，再分/(-!)=0，〃2)=0及/(-1)〃2)*0,结合零点存在定理计算求解.

【详解】(1)当。=1时，/(X)=X2-2X+4,

所以的对称轴为x=l，

所以在区间［0,3］上的最小值为了⑴=3,最大值为"3)=7.

(2)由已知，得了(尤)的对称轴为》=个.

因为/(x)在区间［1,4］上不单调，

所以1<三<4.

a

2

由a>0,解得—<ci<1,

故0的取值范围是

(3)解法1：由已知，得△=(2a-4)2-4a(5-a)=4(2a-l)(a-4).

1)当A=0即或〃=4时，

2

由a=［，得〃x)=g尤2-3X+|,此时/⑺的零点为3,不符合题意：

由a=4,W/(X)=4^2+4X+1,此时〃x)的零点为-(，符合题意.

2)^|A>0§P0<a<—,或a>4时，

2

①若a>4,止匕时/(x)的对称轴x==

且〃2)=7a-3>0

所以在区间(-1,2)内存在零点，符合题意

②若0<a<:,止匕时/(X)的对称轴》=乎=：一le(3,+”)，

所以在区间(-1,2)内单调递减.

又因为〃T)=9-2a>0,

所以在区间(T2)内存在零点只需满足"2)=7a-3<0,

3

解得0<。<亍.

综上，0的取值范围是［O4］U［4,+8).

解法2：由已知，得/(-1)=9-2。,/⑵=7a-3,/(x)的对称轴为》=个，

A=(217-4)2-4a(5-«)=4(2a-l)(a-4).

1)当〃—1)=0即0=；时,/(x)=jx2+5x+-,

此时“X)在区间(-1,2)内有零点为-g,符合题意.

2)当/(2)=0即a=T时，=+y)

此时/(x)在区间(-1,2)内无零点，不符合题意，

3)当/(一1)/(2)力。即aw：,且时，

由〃x)在区间(-1,2)内存在零点，则有以下两种情况：

aQ

①〃一1)〃2)<0,解得0<“得,或

〃2)>0,

②{,2-a解得4<a<—.

-1<------<2,2

a

A>0.

综上，a的取值范围是(0：［口［4,+“).

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用零点存在定理列不等式关系计算求参.

6.(l)〃x)是偶函数，证明见解析

(2)答案见解析，单调递增区间为(0,+"),单调递减区间为(-8,0).

(3){x|无<-16或x>16}.

【分析】(1)运用奇偶性定义证明即可；

(2)运用函数图象反正变换画图，写出单调区间即可；

(3)运用对数函数单调性，结合绝对值不等式知识计算即可.

【详解】(1)/(%)是偶函数，证明如下：

由已知，得“X)的定义域为{x|xw。},关于原点对称.

因为Vxe{HxwO},都有-无e{x|xw0},

且=log21-%|=log2|x|,

所以=故是偶函数.

(2)/(x)的图象如下图所示.

/(%)的单调递增区间为(0,+。)，单调递减区间为(-双0).

(3)因为/(x)=log2|x|>4,且log2：16=4,

所以log2W>log2：16.

因为y=log2x在区间(0,+8)上单调递增，

且凶>0,16>0,所以,|>16,

解得了<-16,或犬>16,

故〃x)>4的解集为{x|无<-16或x>16}.

7.(1)①0.9"<0.9"T;②(42+2/32的；③logsOScO；④*<*；(2)答案见解析.

【分析】(1)利用指数函数、对数函数、累函数单调性比较大小.

(2)作差，利用对数运算，按0<a<l,a>l分类，并结合对数函数单调性判断即得.

【详解】(1)①函数y=0.9”在R上单调递减，a>a-l,所以0.9"<0.9"-、

②函数y=x~°J在(0,+s)上单调递减，4+222,所以(/+2尸1=24;

③函数y=logsX在(0,+8)上单调递增,0.5<1,所以logs0.5<logs1=0；

④函数y=6*在(0,+℃)上单调递增，由6">6",得

函数y=审在(0,+T上单调递减,所以/<申.

(2)函数/(x)=log“x,=1(logflX1+logflx2)-loga,

=log”Tog"^4^=bg"，

2xx+x2

ri=ix>0r>02dxix2<27y._1

田玉>U,%2>U,U<—1...-1,

一项+x22Jxrx2

当0<”1时，1吗汉江20,因止匕丛乎21”（三三）;

%%22

当a>l时，logflA£K<O,因止匕/（占）+：（>）4/（土土三）.

Xj+x222

8.(1)4；

311

(2)—+—log23+log32；

31

(3)-/；

⑷苏+机万,

【分析】(1)(2)利用对数运算性质及换底公式化简计算.

(3)(4)利用指数幕的运算法则计算即得.

3412

【详解】(1)Iog28+log31+lg5+lg20=log22+log33-+lgl0=3-l+2=4.

Ini、、1lg32lg23

(2)e2+log(4x2)+log9+log8=-+log2+—7+―5-

2162722lg2lg3

=5+15+；log23+log32=?+—log23+log32.

_2]_

2

(-1)-^-」(二)i

5x3y53-3V224=34

⑶-------1'13

52

-4尤Ty2.(——4)

x3y

6"

£1

m+m-1+2(m2+m2)21

(4)----------=-------------=77722

_L__L1_J_+m

m2+m2m2+m2

9.（1）定义域为（-L+00）,值域为R；

（2）存在，理由见解析，y=10'-l；

（3）（-g，2）；

（4）-7.

4

【分析】（1）利用对数函数求出定义域及值域.

（2）确定Ax）单调性，结合反函数定义判断并求出解析式.

（3）由单调性解不等式.

（4）利用偶函数的定义求出参数值.

【详解】（1）函数/■（元）=lg（x+D有意义，则x+l>0,解得x>—l,

所以函数/（尤）的定义域为（-1,+8）,值域为R.

（2）函数f（x）存在反函数，

函数7'（*）在上单调递增，对每个函数值，，都有唯一自变量无与之对应，因此/（x）存在反函数,

由y=lg（x+l）,得x+l=l（p,%=10'-1,所以八>）的反函数为y=io*T.

(3)函数f(x)在(一1，口)上单调递增，由/•(2〃。</(根+2),得—1<2租<加+2,解得一根<2,

所以m的取值范围是(-'，2).

2

(4)依题意，g(x)=lg(10%+1)+lax,其定义域为R,

由g(x)是偶函数，得g(X)—g(-尤)=。，则值(10"+1)+2〃%-怆(10一"+1)+2G=0,

10r+1

整理得4ax=lg(10-x+l)-lg(10%+l)=lg———=lgl0-x=-x,而％不恒为0,

10x+1

所以4a=—1,即。=—.

4

10.(1)证明见解析

⑵/(X)在(F,y)上递增，不等式解集为［q+CO)

(3)存在，a=4

【分析】(1)当。=1时，利用函数奇偶性定义可证明f(x)为偶函数；

(2)当。=-1时，根据指数函数的单调性可得/(尤)的单调性，将不等式/(2x-l)>e「e一化为

/(2^-1)>/(2),再利用函数的单调性求解即可；

(3)当a>0时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据/(x)的最小值为4,列方程求解即可,

【详解】(1)当。=1时，/。)=1+b，f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称，

因为/(-x)=ef+e，=/(尤)，所以/(x)是偶函数；

(2)当a=-L时，f{x}=e-&x,〃2)=e?-丁

因为y=e',y=-eT=-4都是R上的单调递增函数，

e

所以/(x)=e‘-e-”在(-oo,+oo)上递增，

不等式/(2x-l)>e2-e-2,BP/(2x-l)>/(2),

3

所以2x—1〉2n%〉一，

2

即不等式/(2x-l)>e2-e-2的解集为g，+8)；

(3)当a>0时，/(%)=eJ+ao~x,Mex>0,aeTx>0,

所以y(x)=e'+(7b22Je*xae。'=2-Ja>当且仅当e'=aer,即x=jlna时等号成立,

因为f(x)的最小值为4,所以2&=4na=4,

即存在a=4,使得/(x)的最小值为4.

11.(1)-1;

⑵证明见解析；

6)1.

【分析】(1)代入计算得。的值.

(2)利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证.

(3)对恒成立的不等式分离参数，借助指数函数值域求出〃的最小值，再利用增函数的定义推理得解.

【详解】(1)函数，由/(0)=0,得〃+1=0,所以〃=—1.

(2)当〃=1时，/(x)=ex+e-x,任取£［°，+8),再</，

/(%i)—/(%2)=e占+ef—e巧一e一巧=。为一e巧-e-X1-X2(eX1-e^2)=(ex,-)(1-e-x,,

由OW玉〈马，得铲ve巧,vl,则(炉—e巧)(1—e下f)<0,即/(玉)</(%2)，

所以函数/(x)在区间［。,+8)上是增函数.

(3)不等式/(%)>0oe"+aer〉。0〃>一匕2。依题意，VXGR,a>—匕之芯恒成立，

而VXER,恒有一匕2*<0,则又awO,awZ,因此"之1,

=eX|

任取不，々£(一8,0),玉，/Ui)-/(^2)+。。一看一。巧—ae』

=eX1-eX2-a(eX1-e%2)=(e国一e巧)(1-ae^),

由玉</<0,得更<e巧,ef』>1,

而。21,贝!J(e』一e」)(l—〃ef』)>0,即/&)>〃电)>0,

—玉>—%2>。，)>—X2«/>(*2)，

则/)(西)<%24(%2)，即g(『)Vg(%2)，

因此函数g(X)=V(X)在J%。)上单调递增，

所以。的最小值是1.

12.⑴〃力=2，；

(2)尸(x)是奇函数，证明见解析；

4

⑶人

【分析】(1)将点代入求得〃的值即可求得函数的解析式；

(2)根据奇偶性的定义判断证明即可.

(3)问题转化为狂(；-$在［2,3］上恒成立，令力(力=上-。(尤<2,阴，根据函数的单调性求出6的范

围即可.

【详解】(1)由题知,/(x)=［的图象过点(1,2),

所以〃1)=2］=2,。=2,

二/(力=2，；

(2)尸(x)是奇函数.

证明如下：

由(1)得，*x)=2'-2、

V/（x）的定义域为R,定义域关于原点对称

F（-x）=2r-2«*）=2T-2r=-（2x-2^）=-F（x）,

故尸（x）是奇函数.

（3）如果log?（-/-26尤+3”1在区间［2,3］上恒成立,

即-炉_2法+322在区间［2,3］上恒成立,

即月（2-*在［2,3］上恒成立，

令心）=上上，（xe［2,3］）,

2x2

rr4

显然力（X）在［2,3］上单调递减，Mx）而n=〃（3）=-耳，

故小：4

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数//⑺恒成立（。2/⑺111ax即可）或。4/⑺恒成立即可）；

②数形结合（y=/（x）图象在y=g（x）上方即可）；

③讨论最值〃X）皿2。或〃x）中＜0恒成立；

@讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

13.（1）证明见解析

⑵（0,+巧

（3）答案见解析

【分析】（1）直接将-x代入函数解析式中，得到/（一=再两式相加即可得到结果.

（2）利用函数单调性的定义即可求出。的取值范围.

（3）对参数。分情况讨论，利用函数单调性即可得到在区间卜1,2］上的取值范围.

【详解】（1）因为了⑺二恐，所以〃一同=3=簧

，十乙1十/1十/

)

故〃-）+/（力表+爵a+ax2xax(l+2

=a­

1+2”1+2X

（2）因为〃x）在（-00,+00）上单调递减，则当王＜龙2，有/（%）—"工2）＞0・

xX

a&a(l+2^)-a(l+2'}a2^-2')

所以设不<%，

-l)l〃—l+2--x->----1-+-2=^A(——l+2*)(l+~2*)(l+'2%1、),(~l+2二12),

因为玉<%,所以2H—2为>0,(l+2^>)(1+2-^)>0,

要使/&)一/卜2)>°，则a>0，

故〃的取值范围为(O,+8).

(3)当。〉0时，由小问2得/(%)在(YO,+OO)上单调递减，

/(“比等"2"号哆

故“X)在区间［-1,2］上的取值范围为1,y;

当4＜。时，利用小问2的结论知，“力在(9,")上单调递增，/(-l)=j^Tr=y,

八2)=二，，

'/1+225

故“X)在区间［-1,2］上的取值范围为y,1.

综上：当。＞0时，取值范围为1,y；当。＜0时，取值范围为y,-|.

14.(1)(-1,2)；

⑵(-1,0］31,2)

【分析】(1)利用对数函数定义列出不等式求出定义域.

(2)利用对数函数单调性，结合对数运算求解不等式.

(2—x＞0

【详解】(1)函数/(%)=log2(2—x)+log2(l+%)有意义，则(C，解得—1VX＜2,

l+x>0

所以函数/(尤)的定义域为(-1,2).

-l<x<2

(2)不等式/(尤)Vlolog2(2-尤)+log2(l+x)Vlo

log2[(2-x)(l+x)]<log22

—1<%<2

，解得一lv%4。或1W2,

2+%—x2,W2

所以原不等式的解集为(-1,0］u口2).

15.(l)18170m/s；

(2)6.6

【分析】(1)将给定数据代入公式计算即得；

(2)利用给定信息列出不等式求解.

M

【详解】(1)依题意，v=volnTr-=790011110®7900x2.30=18170m/s.

Mk

MM

(2)技术改进前的理想速度W=%ln才=7900In才，

MM

技术改进后的理想速度%=2voln才=2x7900In才，

要使火箭的理想速率至少增加3950m/s,

旦-7900In”取-21n必

贝Ijv2-=2x7900In>3950,即41n21,

2乂1M2MkMk

In-1+41n2

4In---41n2-21n--与，

MkMMJ2

M"41n21

所以一2=e2-eln4=4Ve«6.6,

Mk

所以该火箭在技术和材料改进前的质量比为6.6

16.(1)/(0)=1

（2）证明见解析

(3)1—yfs<〃<—13<4<1+A/5

【分析】（1）令机=1,〃=0,由已知等式可得A。）；

（2）设x＜0,由题意可得了（T+X）=/（T）"（X）,则得设-x）-f（x）=l,再结合可得

/(X)>1;

:巴之IL,即可求得实数〃的取值范

（3）原不等式等价于/（lg（『-2a-3））＞/（0）,利用单调性可得＜

围.

【详解】（1）因为函数/（X）的定义域为R,对任意实数以〃都有/（相+〃）=/（租＞/（〃）,

且当尤＞0时，

所以当〃?=1,〃=0时，/(1+0)=/(1)-/(0),HP/(1)=/(1)-/(0),

所以/（0）=L

（2）因为当尤＜0时，-尤＞0,所以/'（-彳+刈=〃-》）-〃》）,

即/(-x)"(x)=/(0),由(I)知，即0)=1,

所以/（—尤）"（幻=1,

1

所以/(©=

/(-x)

因为-x＞0,所以。＜

所以/⑶=7匕＞]

（3）任取士,％eR,且王〈马，

贝（石）一/■（%）=/（（不一马）+%）-/（尤2）=/（改一天2）/（%）一/（尤2）=[/（王一工2）-1]/（龙2），

由已知条件及（1）,（2）可知，/（x2）＞0.

又因为玉＜/，所以%＜0.所以/（尤1-9）＞1，

所以/(%-X2)T>°.所以"(X1-工2)T]"%)>0，

所以/&)>/(%)，

所以函数/（无）的是R上的减函数,

当/(lg(〃-2a-3))>1时，不等式转化为/(lg(a2-2a-3))>/(0).

因为函数/(尤)的是R上的减函数，

所以不等式/(lg(a2-2a-3))>/(0)转化为

lg(tz2-2a-3)<0[a2-2a-3<l1-y/5<a<1+y/5

，即I9，解d可,/_p.\

a92-2a-3>0[a2-2a-3>0[〃<-1或4)3

所以实数。的取值范围是1-石<Q<-1或3<〃<1+B

【点睛】关键点点睛：(3)原不等式等价于2a-3))>/(()),利用函数/(%)单调性转化成

lg(〃2—2a—3)<0

,进行求解.

Q?—2〃-3〉0

17.(1)(-3,3)

⑵偶函数.

(3)证明见解析

【分析】(1)根据对数型函数的定义域即可求解定义域;

(2)根据奇偶性的定义即可判断奇偶性.

(3)根据函数单调性的定义证明即可.

“f3+x>0,

【详解】(1)由题忌知:'八，解得一3Vx<3,

[3—%。

所以/(X)的定义域为(-3,3).

(2)由(1)知/(一的定义域为(-3,3),

VxG(—3,3),—xG(—3,3).

/(一%)=ln(3-x)+ln(3+%)=/(x),

所以了(%)是偶函数.

(3)对于W%,9w(°，3),且不<X2,

/(%,)—/(x2)=ln(3+a)+ln(3—玉)一[ln(3+x2)+ln(3—%)]

=ln(9-^)-ln(9-^)=ln|5j

因为。<%<%2<3,所以0<X：<X；<9,

Q_r2

所以9一x：>9-君>0,即广>"

9-r2

0,

所以历厂>即/(不)->0,/(%1)>/(%2),

9一％2

所以函数/Q)在(。，3)是减函数.

18.⑴a=2,b=0

(2)证明见详解

(3)1,理由见详解

【分析】(1)根据析1)=1可解6,根据/⑷-*2)=据结合对数运算可解

(2)根据函数单调性的定义，以及对数函数的单调性，即可证明；

(3)根据零点存在性定理，以及函数/(©的单调性可得〃的值.

【详解】(1)由f(D=l,得1—6=1,解得6=0,

由〃4)-〃2)=3,得log“4-log〃2=l,gpiogfl2=l,解得a=2.

(2)取e(0,+<»),且玉(尤2，

则/a)—/(々)=log”由-iogflx2+^-x2

由。>1,0<xl<x2,得玉-马<0，且log。％<log0%，即log“XTog“％<0,

于是/(芯)一/(9)=108“％-108“々+菁-%<0,

即/㈤</(%)，

因此，函数/(X)在区间(0,+8)上单调递增.

(3)n=\,理由如下：

①当〃=1时，

/(1)=1-^,因为2<b<3,所以/(1)=1-6<0,

/(2)=loga2+2-Z>,因为l<a<2,所以log02>l,则log。2+2:>3,

因为2<6<3,所以〃2)=log.2+2-b>0.

又因为函数/(x)在区间(0,+力)上单调递增，

因此，根据零点存在定理得：

当l<a<2<6<3时，函数在区间(1,2)上存在零点，

②当几EN*时，

由/(2)>。，且/(%)在区间(0,+。)上单调递增可知：

“X)在区间(","+1)(〃eN*)上不存在零点.

综上所述，满足题意的〃的值为L

19.⑴(0,2)

(2)上或1

64

(3)证明见解析

【分析】(1)根据对数函数的单调性和定义域解对数不等式；

(2)将问题转化为y+(log2〃zT)rTog2〃2在0443上的最大值为6,进而可得;

(3)利用/(x)<x+l<g(x+2),分别赋值x=-0.9,x=-0.8即可证.

【详解】⑴由题意函数“X)的定义域为(-2,+8),g(x)的定义域为(0,+e),

2

由/(X)>g(X)得log4(x+2)>log2x=log4x,

故尤+2>/，得-l<x<2,

又x>0,故尤的取值范围为(0,2).

(2)y=g(〃优),g(力=log2(7?u)-log21=(log2m+log2x)(log2x-1)

设好log?%,因故04/43,

2

贝[|y=(log9m+t^t-l^=t+(log2；7i-l)?-log2m,

当「吗；T<j即机>；时，当好3时，取得最大值6,故(1鸣加+3)(3—1)=6,得〃7=1,

当一log?;-即0<mV；时,当1=。时，取得最大值6,故(log2加+0)(0—1)=6,得加=专，

故实数m的值为占或1.

(3)当xe(TO)时，/(x)<x+l<g(x+2).试利用上述结论证明：1.1<202<1.2,

/(x)=log4(x+2),g(x)=log2x,

当X=-0.9时,由〃x)<x+l可得logjl<0.1,故1.1<4°」=2%

当x=-0.8时，由x+l<g(x+2)可得。.2<log21.2故2。2<1.2,

故1.1<2。・2<1.2.

20.(1)<z=—

(3)m=2

【分析】(1)代入结合对数的定义运算求解即可；

(2)注意到g(a)=l,g(D=0,结合题意可知2a<1,结合单调性列式求解即可；

(3)分析可知/z(x)在(0,+8)内单调递减，结合零点存在性定理运算求解.

【详解】⑴因为d1〕=iog」=2,可得笳=9,

44

且所以[=