2025年九年级数学中考三轮冲刺训练：图形的旋转训练（含解析）

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练图形的旋转训练

1.如图，四边形A8CZ)是边长为1的正方形，且。E=L,△ABF是△AQE的旋转图形.

(1)旋转中心是哪一点？

(2)旋转了多少度？

(3)A尸的长度是多少？

(4)如果连接ER那么是怎样的三角形？

尸B

2.己知△ABC是等边三角形,D是BC上一点，LABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置.

(1)如图，旋转中心是,/DAE=°；

(2)如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了度；

(3)如果点。为BC边上的三等分点，且△A3。的面积为3,那么四边形AOCE的面积

为.

3.如图，平面内三点A、B、C,AB=4,AC=3.以BC为对角线做正方形BDCE,连接

AD.求的最大值.

4.如图，四边形ABC。中，/ABC=NAOC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度

后，点2的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.

(1)请求出旋转角的度数；

(2)请判断AE与3D的位置关系，并说明理由；

(3)若AD=2,C£)=3,试求出四边形ABC。的对角线的长.

5.如图，在正方形A8C。中，E、尸是对角线BD上两点，将绕点A顺时针旋转90°

后，得到连接EM,AE,且使得/MAE=45°.

(1)求证：ME=EF；

(2)求证：EF2=BE2+DF2.

6.如图，在△ABC中，ZABC=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,连接AZ),

BE,延长BE交于点?

(1)求证：ZDEF=ZABF；

(2)求证：尸为A。的中点；

(3)若A2=8,AC=10,且EC_LBC,求斯的长.

7.如图，回ABC。的对角线AC、80相交于点。，对角线AC绕点。逆时针旋转，分别交

边DC,AB于点E、F.

(1)求证：CE=AF

(2)若DB=2,BC=1,8=近.当AC绕点。逆时针方向旋转45°时，判断四边形

8瓦不的形状，并说明理由.

8.如图，在△ABC中，AC=AB,把△ABC绕点A顺时针旋转得到△AOE(点8、C分别

对应点E),3。和CE交于点F

(1)求证：CE=BD；

(2)若A2=2,ZBAC=45°,当四边形ADFC是平行四边形时，求8尸的长.

9.如图所示，点尸的坐标为(1,3),把点尸绕坐标原点。逆时针旋转90°后得到点。.

(1)写出点。的坐标是;

(2)若把点。向右平移。个单位长度，向下平移。个单位长度后，得到的点M(山，”)

落在第四象限，求a的取值范围；

(3)在(2)条件下，当a取何值，代数式机2+2〃+5取得最小值.

10.三角形面积的计算._

(1)如图①，是△ABC的高，AB=5,BC=1,AC=4®

①设无，用x表示Alt②求8。长；③求△ABC的面积.

(2)如图②，点。是等边△ABC内一点，AD=5,BD=7,8=4、①将△A3。绕点

8顺时针旋转60°至△CBE的位置，连结DE.

①求△(7£史的面积；

②求△ABC的面积.

②

11.如图，点E在正方形A8CD边A8上运动，点A与点尸关于。E对称，作射线CF交

OE延长线于点P,连接AP、EF.

(1)若NAOE=15°,求NOPC的度数；

(2)试探究AP与PC的位置关系，并说明理由;

(3)若48=2,求BF1的最小值.

12.如图，在平面直角坐标系中，RtAABC的三个顶点分别是A(-4,1),B(-1,3),

C(-1,1)

(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC,

若A对应的点A2坐标为(-4,-5),画出282c2；

(2)若△4B1C1绕某一点旋转可以得到282c2,直接写出旋转中心坐标

(3)在x轴上有一点P使得B4+PB的值最小，直接写出点尸的坐标.

13.如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1),B(4,2),C(3,4).

(1)请画出AABC向左平移5个单位长度后得到的△4B1Q；

(2)请画出△A8C关于原点对称的282c2；

(3)在x轴上求点P的坐标，使必-尸2|的值最大.

14.已知：点尸是正方形内一点，△A8P旋转后能与ACBE重合.

(1)△A2P旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度?

(2)若BP=2,求PE的长.

B'C

E

15.正方形4BCZ)中，E是C。边上一点，

(1)^AADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD,AB重合，得到如图1所示.观

察可知：与£>£相等的线段是,/AFB=N

(2)如图2,正方形ABCD中，P、。分别是BC、CD边上的点，且/外。=45°,试

通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ

(3)在(2)题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N,你还能用旋转的思想说明BM2+DN2

=MN2.

16.如图，在△ABC中，点。是边上的中点，已知AC=4,BC=6,

(1)画出△BCD关于点。的中心对称图形；

(2)根据图形说明线段C。长的取值范围.

17.已知：如图，E点是正方形48CD的边A3上一点，AB=4,DE=6,逆时针旋

转后能够与△Ob重合.

(1)旋转中心是,旋转角为度.

(2)请你判断△QFE的形状，并说明理由.

(3)求四边形。的周长和面积.

18.如图，点。是等边△ABC内一点，ZAOB=110°,NBOC=a.将△BOC绕点C按顺

时针方向旋转60°得△ADC,连接OZ).

(1)试说明△COD是等边三角形；

(2)当cz=150°时，08=3,0c=4,试求。4的长.

19.四边形是正方形，E,尸分别是。C和CB的延长线上的点，且DE=BF,连接

AE,AF,EF.

(1)求证：AADE丝AABF；

(2)4AB尸可以由△ADE绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；

(3)若8C=8,DE=3,求AAE尸的面积.

20.如图，正方形A8C£＞内有一点P,若B4=l,PB=2,PC=3.

(1)画出绕点2顺时针旋转90°得到的△CBE；

(2)求/AP8度数；

(3)求正方形A8CD的面积.

参考答案

1.【解答］解：观察图形，由△AOE到aAB尸的旋转可知:

(1)旋转中心是点A;

(2),.•△ABB是由△AOE旋转而成的

是。的对应点

：.ZDAB=90°就是旋转角

(3)'：AD=1,DE=^-

4

:对应点到旋转中心的距离相等且尸是E的对应点

••AF=『

(4)VZEAF=90°>AF^AE

.•.△EA尸是等腰直角三角形

2.【解答】解：(1)：△ABC为等边三角形，

；./BAC=60°

,/AABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，

，旋转中心是点A,ZDAE=ZBAC=6Q°；

(2)和AC为对应边，

...经过上述旋转后，点M转到了AC的中点位置，如图,

AZMAM'=60°,

.,.点M转动了60°；

(3):△A3。绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，

AABD^AACE,

•：BD=^BC,

3

:.CD=2BD,

SMBC=-SAABD=-X3=一,

222

.__9

••S四边形？1。。旧=5a43。=一•

2

故答案为点A,60；60；旦

2

3.【解答］解：如图将绕点。顺时针旋转90°得到△COM.

由旋转不变性可知：AB=CM=4,DA=DM.ZADM^9Q°,

AADM是等腰直角三角形，

：.AD=J^AM,

2

...当AM的值最大时，A。的值最大，

'：AM^AC+CM,

：.AM的最大值为7,

：.AD的最大值为二返，

2

4.【解答】解：(1):将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE

:.△BCD9MAeE

：.AC=BC,

又：/ABC=45°,

/ABC=NA4C=45°

ZACB=90°

E

故旋转角的度数为90°

(2)AELBD.

理由如下：

在Rtz\BCM中，ZBCM^90°

：./MBC+NBMC=90°

'：^BCD'^/XACE

；./DBC=/EAC

即NMBC=ZNAM

又•：NBMC=/AMN

：.ZAMN+ZCAE=90°

：./ANZ)=90°

：.AE±BD

(3)如图，连接。E,

由旋转图形的性质可知

CD=CE,BD=AE,旋转角/£>CE=90°

：.ZEDC=ZCED=45°

,:CD=3,

：.CE=3

在RtABCD中，NDCE=9Q°

DE=CD2+CE"=N9+9=3V2

ZADC=45°

，ZADE=ZADC+ZEDC=90°

在Rt^AOE中，ZADE=9Q°

•,-EA=5/①)2+0岳2=V18+4=V22

.•.BD=V22

5.【解答】证明：(1):将△A。/绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABM,

：.MB=DF,AM^AF,ZBAM^ZDAF,

,：ZEAM^45°,ZMAF=90°

.,./曲石=45°,

ZMAE=ZFAE,

在和△APE中

'AM=AF

<NMAE=/FAE，

AE=AE

AAAME^AAFE(SAS)

ME=EF.

(2)由(1)得LAME丝AAFE,

：.ME=EF,

VZABM^ZADF^^5°,NA3D=45°,

；./MBE=90°.

在RtAMBE中，•/MB^+BE1=ME2,

又,：MB=DF,

:.EF2=BE2+DF2.

6.【解答】(1)证明：如图1中,

,:CB=CE,

:./CBE=NCEB,

VZABC^ZCED^90°,

；.NDEF+/CEB=90°,NABF+/CBE=90°,

:.NDEF=/ABF.

(2)证明：如图1中，作AN_L8/于N,DM_LBF交

BF的延长线于M.

；NABN=NDEM,/ANB=/M=90°,AB=DE,

:.AANB名ADME(A4S),

：.AN=DM,

；NANF=NM=90°,NAFN=/DFM,AN=DM,

:.AAFN名ADFM(A4S),图1

：.AF^FD.

(3)解：如图2中，作AN_LBF于N,尸交2尸的延长线于M.

在RtAABC中,VZABC=90°,AC=10,AB=8,

/.BC=EC=J102_g2=6,

:ECLBC,

：.ZBCE^ZACD^9Q°,

；AC=C£>=10,

，AO=10&,

:.DF=AF=5M，

:NMED=/CEB=45°,

：.EM=MD^4

在RtZYDFM中，FM=JDp2_DH2=3A/2-

：.EF^EM-FM=：［2-

7.【解答】证明：(1)..•四边形ABCD是平行四边形

C.CD//AB,AO=CO,AB=CD

J.ZDCO^ZBAO,且AO=C。，ZAOF^ZCOE

：./\COE^/\AOF(ASA)

CE=AF,

(2)四边形BEBP是菱形

理由如下

如图，连接。RBE,

'：DB=2,BC=1,CD=：［S

：.DB2+BC2=5=CD2,

；.NDBC=90°

由(1)可得AP=CE,且AB=C£)

:.DE=BF,>DE//BF

四边形DEBF是平行四边形

：.DO=BO=1,

：.OB=BC=\,且NO5C=90°

・・・NBOC=45°,

•・,当AC绕点。逆时针方向旋转45°时

：.ZEOC=45°

：.ZEOB=90°,BPEF±BD

・•・平行四边形。口尸是菱形

8.【解答】证明：(1)・・,把△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE

AABC^AADE

：.AD=AB,AE=AC,ZDAE=ZBAC

：.NDAE+/BAE=ZBAC+ZBAE

：.ZDAB=ZEAC,

*：AB=AC

：.AD=AB=AC=AE

'：ZDAB=ZEAC,AD=ABfAC=AE

：.AAEC^AADB(SAS)

CE=BD

(2)•・•四边形AD尸C是平行四边形

：.DF=ACfAC//BD

：.ZABD=ZBAC=45°

'：AB=AD

：.ZDBA=ZBDA=45°

：.ZBAD=90°

：.BD=y/2AB=2-j2

9：DF=AC=AB=2

：.BF=BD-DF=142-2

9.【解答】解：(1)由题意：Q(-3,1).

故答案为(-3,1).

(2)把点。(-3,1)向右平移〃个单位长度，向下平移〃个单位长度后,

_3+a>0

得到的点M的坐标为(-3+m15),而M在第四象限，则有J/，

l-a<0

解得。〉3,

即a的范围为a>3.

(3)由(2)得，m=-3+a,n—\-a

机2+2〃+5=(〃-3)2+2(1-〃)+5

=。2-6〃+9+2-2。+5

=a2-8〃+16

=(4-4)2

(4-4)220,

・,・当［=4时，代数式扇+2/5的最小值为0.

10.【解答】解：(1)①・・・40是△相♦的高,AB=5,

：.AD2=AB2-BD1=25-x2,

②是△ABC的高，AC=4&

：.AD1=AC2-CD2,

，25-/=32-(7-x)2,

...x=3

：・BD=3

@"：AD1=AB1-BD1=25-?=16

：.AD=4

：.SABC=—'XBCXAD=14

A2

(2)①•.,将△AB。绕点B顺时针旋转60°至△CBE的位置，

:.BD=BE=1,NDBE=60°,4£>=CE=5,

...△3OE是等边三角形，

:.DE=BD=1,

.•.在△DEC中，DC=AM，DE=1,CE=5

由(1)可得△£»£(7的面积=14

②S^ABD+S^BDC—S四边形BDCE,

S^ABD+S^BDC=X49+14=""3-+]_4

44

同理可得：SMBD+S/^ADC=X25+14=广5遮+14,

44

SAACD+SABDC=也X32+14=8«+14

4

：.S^ABC=21+^J^-

4

11•【解答】解：(1),：ZADE=15°,

；.NFDE=15°,NCDF=60°.

'：DC=AD=DF,

：.ZCFD^6Q°.

又NCFD=NDPC+NFDE=15°+ZDPC,

：.ZDPC^45°.

(2)AP与PC垂直，理由如下：

P关于。E对称，

NAPD=/DPF.

设/ADE=x,可得NFZ)E=尤，ZCDF=90°-2x,

'：DC=AD=DF,

AZCF£>=45°+x.

又/CFD=ZDPC+ZFDE^x+ZDPC,

：.ZDPC^45°,即NA尸尸=90°.

所以AP与PC垂直；

(3)点尸始终在以点。为圆心，2为半径的圆上运动，根据两点之间线段最短,

可知当点。、F、B三点共线时，取有最小值，最小值为2。-。/=2两-2.

12.【解答】解:(1)如图所示，AAiBiCi,△AzB2c2即为所求.

(2)如图所示，点。即为所求，其坐标为(-1,-2),

故答案为：(-1,-2)；

(3)如图所示，点尸即为所求，

设直线A'B的解析式为y=fcc+6,

将点A'(-4,-1),B(-1,3)代入，得：

1-4k+b=-l,

1-k+b=3'

/

解得：…，

心，

直线A'B的解析式为y=2什”，

33

当y=0时，且x+竺=0,

33

解得尤=-"，

4

...点尸的坐标为(-巡，0).

4

故答案为：(-丝，0).

4

13.【解答】解：(1)如图所示：△48C1,即为所求；

(2)如图所示：282c2,即为所求；

(3)如图所示，止匕时|B4-尸2|的值最大，尸点坐标为：(-2,0).

%

14.【解答】解：(1)•..四边形42。为正方形,

：.BA^BC,ZABC=90°,

•/AABP旋转后能与ACBE重合，

...△ABP旋转的旋转中心是点8,按顺时针方向旋转90°；

(2):△ABP旋转后能与△CBE重合，

:.BP=BE=2,/PBE=90°,

:.PE=6PB=2M.

答：(1)△ABP旋转的旋转中心是点2,按顺时针方向旋转90°；(2)PE为2M.

15.【解答】解：(1)如图1,「△AOE绕点A按顺时针方向旋转，使A。、AB重合，得

至U△AB凡

；DE=BF,/AFB=NAED.

故答案为：BF,AED；

(2)将△AOQ绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合，得到△ABE,如图2,

则/。=NA8E=90°,

即点E、B、P共线，ZEAQ=ZBAD=90°,AE=AQ,BE=DQ,

'：ZPAQ=45°,

.,.ZB4£=45°,

：.ZRiQ^ZPAE,

在和△APQ中

'AE=AQ

ZPAE=ZPAQ«

AP=AP

AAAPE^AAPQ(SAS),图2

：.PE=PQ,

而PE=PB+BE=PB+DQ,

:.DQ+BP=PQ；

(3)如图3,二,四边形ABC。为正方形，

AZABD^ZADB^45°,

如图，将△AOV绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD

与AB重合，得到△ABK,

则NABK=NA£)N=45°,BK=DN,AK=AN,

与(2)一样可证明△AMN丝/XAMK,得到MN=MK,

VZMBA+ZKBA^45°+45°=90°,

...△2MK为直角三角形，

:.BI^+BM2=MK2,

:.BM2+DN2=MN2.

16.【解答】解：（1）所画图形如下所示：

△ADE就是所作的图形.

（2）由（1）知：AADE丝ABDC,

则CD=DE,AE=BC,

：.AE-AC<2CD<AE+AC,即BC-AC<2CD<BC+AC,

：.2<2CD<1Q,

解得：1<CD<5.

17•【解答】解：(1)旋转中心是点D旋转角为90度.

(2)根据旋转的性质可得：ADAE空ADCF,则DE=D尸,/EDF=/ADC=90°,

则△。庄的形状是等腰直角三角形.

(3)四边形DEBF的周长是BE+BC+CF+DF+DE=AB+BC+DE+DF^20；

面积等于正方形ABC。的面积=