专题08有理数的乘除运算（4知识点9大题型思维导图过关测）

专题08有理数的乘除运算内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：9大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和1.知识点02有理数的乘法运算律知识点03确定乘积符号（1）若a＜0，b＞0，则ab<0；（2）若a＜0，b＜0，则ab>0；（3）若ab＞0，则a、b同号；（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab=0，则a、b中至少有一个数为0.知识点04有理数除法法则◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.【题型1两个有理数的乘法运算】例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】两个有理数的乘法运算【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．（1）根据有理数的乘法运算法则求解即可；（2）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可；（3）根据有理数的乘法运算法则求解即可；（4）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可．【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】两个有理数的乘法运算【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换．（1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；（2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；（3）根据0乘以任何数都是0，即可求解；（4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；．．2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(2)（−【答案】(1)(2)(3)【知识点】两个有理数的乘法运算【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解题的关键．(1)根据两数相乘，异号得负，先确定符号，再把绝对值相乘即可；（2）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可；（3）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可．3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：【答案】(1)(2)(3)【知识点】两个有理数的乘法运算【分析】利用有理数的乘法法则，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键；（1）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解；（2）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解；（3）根据有理数的乘法法则，任何数与相乘都得，计算即可求解；（4）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解；【题型2多个有理数的乘法运算】例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：【答案】(1)【知识点】多个有理数的乘法运算【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．（1）根据有理数的乘法运算法则计算即可；（2）根据有理数的乘法运算法则计算即可．【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(2)【知识点】多个有理数的乘法运算【分析】本题主要考查了有理数乘法运算等，掌握多个有理数相乘的符号规律为解题的关键．（1）先确定积的负号，然后进行计算即可；（2）先确定积的负号，然后进行约分计算即可．2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：【答案】(1)(2)(3)【知识点】多个有理数的乘法运算【分析】本题考查多个有理数相乘，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键；（1）根据多个有理数乘法法则计算即可求解；（2）根据多个有理数乘法法则计算即可求解；（3）根据多个有理数相乘法则计算即可求解；3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：【答案】(1)(2)(3)0(4)【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算【分析】本题主要考查了有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则，准确计算．（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；（2）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；（3）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；（4）逆用乘法分配律进行计算即可．【题型3倒数】例题：（2025·江苏南京·二模）的倒数是．【答案】【知识点】倒数【分析】本题主要考查倒数，根据两个数的乘积为1，这两个数互为倒数求解即可．∴的倒数是，故答案为：．【变式训练】1．（2425六年级上·上海·阶段练习）的倒数是．【答案】【知识点】倒数【分析】本题考查了倒数的定义，解题的关键是知道乘积为1的两个数互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．故答案为：．【知识点】倒数【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键．将带分数化为假分数，再求倒数即可．的倒数是，故答案为：．【答案】【知识点】倒数、相反数的定义【分析】本题属于较为基础的相反数与倒数的概念填空题，主要考查了相反数与倒数的判断，考生做此类题时一定要认真，细心，抓住细节，防止出错．根据题意，相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数．据此即可求解．故答案为：，．【题型4有理数乘法运算律】【答案】47【知识点】有理数乘法运算律【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．利用有理数的乘法分配律求解即可．【变式训练】【答案】【知识点】有理数乘法运算律【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用有理数的乘法分配律求解即可．2．（2425七年级上·广东河源·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．任务：(1)填空：①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是；②第步开始出现错误，错误的原因是．(2)请直接写出正确的计算结果．【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误(2)【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算【分析】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键．（1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可；（2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可．【详解】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律；②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误，故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误；3．（2425七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算【答案】(1)【知识点】有理数乘法运算律【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键．（1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可；；【题型5有理数乘法的实际应用】(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？(2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？【答案】(1)离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼(2)116元【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用【分析】本题考查了正数和负数的应用，绝对值的应用，有理数运算的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，比较简单．（1）把记录的数字加起来，看结果是正还是负，就可确定是向东还是西；（2）求出记录数字的绝对值的和，再乘以2即可．故出租车离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼；故司机一个下午的营业额是116元．【变式训练】(1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？(2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？(3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？【答案】(1)科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里；(2)科考队的船只总共行驶了海里；【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法和乘法，绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据有理数的加法运算，再由结果即可得出答案；（2）根据绝对值的意义求解即可；（3）根据单位耗油量乘以行驶里程即可求解．∴科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里；（2）解：由题意可得：∴科考队的船只总共行驶了海里；2．（2425七年级上·湖南永州·期中）道州脐橙“橙红鲜美、香甜多汁”，因出产于永州市道县而得名．现有20筐道州脐橙，以每筐千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）筐数(1)这筐道州脐橙中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？(2)若道州脐橙每千克售价元，则这筐道州脐橙可卖多少元？【答案】(1)最重的一筐比最轻的一筐重千克【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用【分析】本题考查有理数的应用，解题的关键是根据题意分别列出算式，再根据有理数的加减乘除运算的顺序计算即可．（1）利用超出最多的重量减去不足最多的重量，即可解题；（2）用总质量成单价即可．答：最重的一筐比最轻的一筐重千克；（2）解：由题知，3．（2425六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量/单(1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单．(2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元．【答案】(1)45(2)1574元【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用（2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可．本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键．答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单．（2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．∴本周工资为：答：外卖小哥这一周工资收入1574元．【题型6有理数的除法运算】例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：【答案】(1)5(3)(4)36【知识点】有理数的除法运算【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键．（1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；（3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；；【变式训练】1．（2425七年级上·全国·课后作业）计算：【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】有理数的除法运算【分析】本题考查有理数的除法运算．根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值．2．（2425七年级上·全国·假期作业）计算：【答案】(1)4(2)(3)0【知识点】有理数的除法运算【分析】（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可；（2）根据有理数除法运算法则进行计算即可；（3）根据有理数除法运算法则进行计算即可；（4）根据有理数除法运算法则进行计算即可．本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算．3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：【答案】(1)3(2)(3)(4)【知识点】有理数的除法运算【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键．（1）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可；（2）直接进行除法运算即可；（3）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可；（4）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可．；【题型7有理数的乘除混合运算】例题：（2425六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：【答案】(1)(2)3(3)(4)12【知识点】有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，掌握其运算法则是关键．（1）先将除法变乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可；（2）先将除法变乘法，再根据有理数乘法，加减运算法则计算即可；（3）先将除法变乘法，再根据有理数乘法分配律的逆运算计算即可；（4）运用乘法分配律计算即可．；．【变式训练】1．（2425七年级上·黑龙江·期中）计算：【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、有理数乘除混合运算【分析】（）利用有理数的乘除运算法则即可求解；（）利用有理数的除法法则即可求解；（）利用有理数的乘法分配律即可求解；（）利用有理数的乘法分配律即可求解；本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．；．2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(2)(3)【知识点】有理数乘除混合运算【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键．（1）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可；（2）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可；（3）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可．3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算．【答案】(1)(2)【知识点】有理数乘除混合运算【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则．（1）利用有理数的乘法和除法法则计算即可．（2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可．【题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题】【答案】【知识点】有理数的除法运算【分析】本题主要考查了有理数的除法运算和新定义运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题中给出的信息，利用已知的新定义运算法则和有理数的除法运算法则计算即可．【变式训练】【答案】．【知识点】有理数的除法运算【答案】(1)6(2)7【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算【分析】此题考查了有理数的加法和乘法混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；【详解】（1）解：根据题中的新定义得：；（2）解：根据题中的新定义得：．【答案】(1)10(2)3(3)【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算、有理数的除法运算【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值等知识点，将新定义的运用化成有理数的运算成为解题的关键．（1）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可；（2）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可；（3）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可．【题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】【答案】(1)1(2)(3)2或【知识点】有理数的除法运算、绝对值的几何意义【分析】本题主要考查绝对值的意义及有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算及绝对值的意义是解题的关键；（2）根据绝对值的意义及有理数的除法运算可进行求解；【变式训练】【答案】(1)(2)【知识点】有理数的除法运算、有理数的减法运算、带有字母的绝对值化简问题、利用数轴比较有理数的大小【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的比较大小，有理数的除法运算．（1）根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，有理数的减法法则判断即可；（2）根据绝对值的性质去掉绝对值化简即可．【答案】(1)或(2)或(3)【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则；3．（2425七年级上·江苏盐城·期中）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题．解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题：【答案】(1)或0(2)1【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算、绝对值的几何意义【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．一、单选题1．（2025·江西新余·模拟预测）下列各组数中，互为倒数的是（

）A．2和 B．3和 C．1和 D．和【答案】A【知识点】倒数【分析】本题考查了倒数的概念，熟练掌握乘积为1的两数互为倒数，是解题的关键．根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案．【详解】解：A.2和互为倒数，符合题意；B、C、D选项均不符合倒数的定义，故不符合题意；故选：A．2．（2425七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（

）【答案】C【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算【分析】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可．故选：C．3．（2425七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（

）A．乘法结合律及分配律B．乘法交换律及分配律C．乘法交换律及乘法结合律D．分配律及加法结合律【答案】A【知识点】有理数乘法运算律【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键．根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案．∴运用的运算律为乘法结合律及分配律，故选：A．4．（2025·北京·一模）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）【答案】C【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．故选：C．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负∴正确的有①②③，故选：A．二、填空题6．（2025·上海杨浦·模拟预测）的倒数是．【答案】【知识点】倒数【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键．先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案．∴的倒数是，故答案为：．【答案】【知识点】有理数的除法运算【分析】本题考查的是有理数除法的计算，以及如何将除法运算转化为乘法运算的基本数学技巧．需要理解除以一个分数等同于乘以它的倒数．故答案为：．【答案】【知识点】有理数四则混合运算【分析】本题主要考查了新定义运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．根据新定义列算式计算即可．故答案为：．9．（2425七年级上·内蒙古包头·期中）如图，是正方体包装盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个平面展开图折成正方体后，相对面上的两数字互为相反数，则A、B、C内的三个数的乘积为．【答案】0【知识点】正方体相对两面上的字、相反数的定义、多个有理数的乘法运算【详解】解：由题意得：B与0是相对面，C与是相对面，A与2是相对面，∵相对面上的两数字互为相反数，故答案为：0．10．（2425七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题：【答案】10或/或0【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键．（1）由给出条件和绝对值的性质即可解答；（2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可．故答案为：1．∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负，综上，该代数式的值为0或．故答案为：0或．三、解答题11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：【答案】(1)(2)【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数乘法运算律，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．．12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：【答案】(1)(2)(3)【知识点】有理数乘除混合运算【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键．（1）先把除法转化成乘法，最后计算即可．（2）先把除法转化成乘法，最后计算即可．（3）先算乘除，最后算加减即可．．13．（2425六年级下·黑龙江大庆·开学考试）下面各题，怎样简便就怎样算．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，掌握相关知识是解题的关键．（1）直接利用乘法分配律进行简算；（2）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律计算；（3）