第7章 线段与角的画法（压轴30题专练）-六年级数学下学期（沪教版）

第7章线段与角的画法（压轴30题专练）

能力提升

一.选择题（共4小题）

1.（2021春•东营区校级月考）借助一副三角尺不能画出的角是（）

A.95°B.105°C.120°D.135°

【分析】结合一副三角板的度数即可得答案.

【解答】解：：一副三角板的度数分别是：30°,60°,90°和45°,45°,90°,

.,.60°+45°=105°,30°+90°=120°,45°+90=135°,

因此可以拼出105°,120°,135°的角，

故选：A.

【点评】本题考查了学生对三角板的认知，关键在于学生要结合具体图形答题.

2.（2021春•射洪市期末）通过下面几个图形说明“锐角a,锐角0的和是锐角”，其中错误的例证图是（）

【分析】判断“两个锐角的和是锐角”什么情况下不成立，即找出两个锐角的和>90即可.

【解答】解：找出两个锐角的和是锐角，在什么情况下不成立，故只有C满足/a+N2>90°,所以锐角a,

锐角0的和是锐角是假命题.

故选：C.

【点评】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真

假关键是要熟悉课本中的性质定理

3.（2018秋•昆都仑区期末）已知点M在线段A2上，在①AB=2AM；②③@AM+BM

2

=A8四个式子中，能说明M是线段AB的中点的式子有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据线段中点的定义，借助图形逐一判断即可.

【解答】解：如图：

f-----------弋--------w

'：AB^2AM,

...点M是线段AB的中点，

2

...点M是线段AB的中点，

二点M是线段AB的中点，

故①②③都能说明点M是线段AB的中点，

根据：④不能判断点M是线段AB的中点，

故选：C.

【点评】本题考查了两点间距离，借助图形分析是解题的关键.

4.数形结合A,B,C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人，且这三个住宅区在一条大道上（A,

B,C三点共线），如图所示，已知AB=1007〃，BC=2Q0m,为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在

此区间内设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

区3区C区

A.点AB.点BC.点A,B之间D.点B,C之间

【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯

定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理.

【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15X100+10X300=4500（米），

②以点8为停靠点，则所有人的路程的和=30X100+10X200=5000（米），

③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30X300+15X200=12000（米），

④当在A8之间停靠时，设停靠点到4的距离是处则（0<m<100）,则所有人的路程的和是：30切+15（100

-m）+10（300-m）=4500+5m>4500,

⑤当在3C之间停靠时，设停靠点到8的距离为〃，则（0<n<200）,则总路程为30（100+〃）+15»+10（200

-〃）=5000+35n>4500.

，该停靠点的位置应设在点A;

故选：A.

【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短.

二.填空题（共8小题）

5.（2021春•浦东新区月考）如图，把一根绳子对折成线段AB,48上有一点P,已知AP=2P8,PB=40c〃z,

2

则这根绳子的长为120cm.

B

【分析】AP=xc〃z,则8P=2xc相当含有线段AP的绳子最长时，得出方程x+x=40求出每个方程的解，代入2

（x+2x）求出即可

【解答】解：^AP=xcm,贝l]8P=2尤an,

当含有线段AP的绳子最长时，x+x=40,

解得：x=20,

即绳子的原长是2（x+2x）=6x=12。（cm）；

故绳长为120aw.

故答案为：120.

【点评】本题考查了两点间的距离，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解.

6.一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5,第左号楼恰好有火（k=l、2、3、4、5）个A

厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米.A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有4厂职工去车站所

走的路程之和最小，车站应建在距1号楼150米处.

【分析】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值,

根据数的大小即可得出答案.

【解答】解：假设车站距离1号楼x米，

则总距离S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|,

①当0WxW50时，S=2000-13x,最小值为1350；

②当50WxW100时，S=1800-9x,最小值为900；

②当100W工W150时,S=1200-3%,最小值为750（此时x=150）；

当150WxW200时，S=5x,最小值为750（此时x=150）.

综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米.

故答案为：150.

【点评】本题考查比较线段长短的知识，难度中等，与实际结合较紧，解答本题的关键是设出位置后运用

分段讨论的思想进行解答.

7.（2021秋•汝阳县期末）已知NAOB=40°,过。作射线。C,使NCOB=60°,若射线是NC04的平分

线，则NOOA的度数是50°或10°.

【分析】可分两种情况：当/BOC与NAQB在OB的同侧时；当N3OC与NAO8在OB的异侧时，根据角的和

差可求解NAOC的度数，再利用角平分线的定义可求解NOOA的度数.

【解答】解：当/80C与/AOB在。8的同侧时，

VZBOC=60°,ZAOB=40°,

ZAOC=ZBOC-ZAOB=60°-40°=20°,

平分NAOC,

/OOA=1/AOC=10°；

2

当/BOC与NAOB在03的异侧时，

VZBOC^60°,ZAOB=40°,

ZAOC=ZBOC+ZAOB=600+40°=100°,

"OD^ZAOC,

NOOA=2/AOC=50°,

2

综上，N£>OA的度数为50°或10°.

故答案为：50°或10°.

【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键.

8.（2021秋•金牛区期末）如图，长方形纸片ABC£>,点E在边AB上，点RG在边CQ上，连接EREG.将/

BEG对折，点8落在直线EG上的点次处，得折痕EM；将/AE/对折，点A落在直线班'上的点处，得折

痕硒.NFEG=2Q°,则NMEN=100°或80°.

DC

B

AE

【分析】分两种情形：当点G在点尸的右侧；当点G在点尸的左侧，根据/MEN=NNE/+NMEG+NFEG或

/MEN=/NEF+/MEG-ZFEG,求出NNEF+NMEG即可解决问题.

【解答】解：当点G在点尸的右侧,

YEN平分NAEREM平分/BEG,

:./NEF=LNAEF,/MEG=L/BEG,

22

ZNEF+ZMEG^lZAEF+lZBEG^l.(NAEF+/BEG)=』(NAEB-/FEG),

2222

VZAEB^180°,NFEG=20°,

；.NNEF+NMEG=L(180°-20°)=80°,

2

：.ZMEN=ZNEF+ZFEG+ZMEG=800+20°=100°；

当点G在点尸的左侧，

•:EN平分NAEF,EM平分NBEG,

ZNEF=^LZAEF,NMEG=LNBEG,

22

:./NEF+NMEG=L/AEF+工/BEG=L(NAEF+NBEG)=』(/AEB+NFEG),

2222

VZAEB=180°,ZFEG=20°,

:./NEF+/MEG=L(180°+20°)=100°,

2

AZMEN=ZNEF+ZMEG-ZFEG=100°-20°=80°,

综上，NMEN的度数为100°或80°,

故答案为：100°或80°.

【点评】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分

类讨论的思想思考问题.

9.（2021秋•巴彦县期末）如图，已知/AOB=150°,NCOD=40°,NCO。在/AOB的内部绕点O任意旋

转，若OE平分NAOC,则2NBOE-NBOD的值为110

【分析】根据角平分线的意义，设/DOE=尤，根据NAO8=150。，ZCOD=40°,分别表示出图中的各

个角，然后再计算2NBOE-NB。。的值即可.

【解答】解：如图：平分NAOC,

/AOE=/COE,

设NDOE=x,,：ZCOD=40°,：.ZAOE=ZCOE=x+40°,

/.ZBOC=ZAOB-ZAOC=150°-2(x+40°)=70°-2x,

：.2ZBOE-ZBOD^2(70°-2x+40°+x)-(70°-2x+40°)

=140°-4x+80°+2x-70°+2x-40°

=110°,

当角AOC小于80度时，。£＞在OE左侧，同法可得，2NBOE-NBOD=110°

当。£＞和OE重合时，同法可得，2N8OE-/8。。=110°

故答案为：110.

【点评】考查角平分线的意义，利用代数的方法解决几何的问题也是常用的方法，有时则会更简捷.

10.（2021秋•牡丹区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、8E为折痕.若NABE=30°,则

【分析】根据折叠思想，通过角的和差计算即可求解.

【解答】解：:Bn、BE为折痕，BE分别平分NCBC'、ZABA'

：.ZA/BE=/ABE=30°,

ZDBC=ZDBC'

VZA'BE+ZABE+ZDBC+ZDBC'=180°

，ZABE+ZDBC^9Q°

：.ZDBC=60°.

故答案为60°

【点评】本题考查了角的计算，用正确角分线是解决本题的关键.

11.（2021春•奉化区校级期末）一副三角板AOB与C。。如图1摆放，且/A=NC=90°,ZAOB=60°,Z

COD=45°,ON平分/COB,OM平分NAOD.当三角板COD绕。点顺时针旋转（从图1到图2）.设图1、

图2中的NNOM的度数分别为a,p,a+B=105度.

【分析】根据角平分线的意义，以及角的和与差，分别表示出NMGW,然后利用两个图形分别计算a、0即

可.

【解答】解：如图1,YON平分NCOB,0M平分NAOD

ZNOB=ZCON=XZBOC=1.(45°+ZBOD),

22

ZMOD=ZMOA=^ZAOD=1(60°+NBOD),

22

:./MON=a=NNOB+NMOD-ZBOD^l.(45°+60°),

2

如图2,YON平分NCOB,OM平分NAO£).

:.NNOB=NCON=L/BOC=L(45°-NBOD),

22

ZMOD=ZMOA=^-ZAOD^1(60°-NBOD),

22

:./MON=B=NNOB+NMOD+NBOD=L(45°+60°),

2

.,.a+P=45°+60°=105°,

故答案为：105.

【点评】考查角平分线的意义，图形中角的和与差，等量代换和恒等变形是常用的方法.

12.（2020秋•马鞍山期末）有两根木条，一根长60厘米，一根长100厘米.如果将它们放在同一条直线上,

并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是200”或80c〃z.

【分析】分两种情况：两条线段的另一个端点在重合端点的同旁或异侧.

【解答】解：若两条线段的另一个端点在重合端点的同旁，则中点间的距离为50-30=20c加；

若两条线段的另一个端点在重合端点的异侧，则中点间的距离为50+30=80c%

故答案为20cm或80CTM.

【点评】此题考查两点间的距离，注意分类讨论.

三.解答题（共18小题）

13.（2017春•浦东新区校级月考）根据图形填空

•・•・

ABCD

AB+BC^AC,AD^AC+CD,CD^AD-AC

BD=CD+BC=AD-AB.

【分析】根据线段的和差关系即可求解.

【解答】解：AB+BC=AC,AD^AC+CD,CD=AD-AC

BD^CD+BC^AD-AB

故答案为：AC,AC,AC,BC,AB.

【点评】考查了两点间的距离，本题是线段长度的加减，是基础题型.

14.（2017春•浦东新区月考）如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5

个单位长度，可以看到终点表示的数是-2,已知点A,B是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各

题.

（1）如果点A表示数3,将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是1,

A,8两点间的距离为2

（2）如果点A表示数-4,将4点向右移动68个单位长度，再向左移动156个单位长度，那么终点2表示的数

是-92,A,8两点间的距离是88.

（3）一般地，如果A点表示数为如将A点向右移动"个单位长度，再向左移动P个单位长度，那么，请你猜

想终点8表示什么数？A,B两点间的距离为多少？

【分析】（1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得2点表示的数，根据数轴上两点间的距离是

大数减小数，可得答案；

（2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得8点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小

数，可得答案；

（3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得2点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小

数，可得答案.

【解答】解：（1）•••点A表示数3,...将4点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，

那么终点表示的数是3-7+5=1,A,8两点间的距离为3-1=2；

故答案为：1,2；

（2）;点A表示数-4,.•.将A点向右移动68个单位长度，再向左移动156个单位长度，

那么终点B表示的数是-4+68-156=-92,A、B两点间的距离是|-4+92|=88；

故答案为：-92,88；

（3）：A点表示的数为如.•.将4点向右移动力个单位长度，再向左移动p个单位长度，

那么点8表示的数为（〃计〃-p）,A,B两点间的距离为I”-加.

【点评】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，正确利用数形结合分析是解题关键.

15.（2012春•普陀区期末）一只蚂蚁从点。出发，沿北偏东45°的方向爬行了线段a的长度时碰到障碍物4

原路返回爬行了工线段b的长度到达B处，然后向北偏西60°的方向爬行2cm到达C处.

2

（1）画出蚂蚁的爬行路线图，并标出相关字母.（角度可以用量角器画出）

（2）请用a、b表示线段。B：OB=a--b.

2—

（3）ZBOC=40°.

b

O

【分析】（1）根据题意要求画出蚂蚁行走路线即可;

（2）根据。4=a,AB=l-b,即可表示出。8；

2

（3）用量角器量出NBOC的度数即可.

【解答】解：（1）所画图形如下：

(2)：OA=a,AB=lb,

2

OB=a-—b；

2

(3)量得N8OC=40°.

【点评】本题考查了方向角及量角器的使用，解答本题关键是掌握方向角的定义及表示方法.

16.(2015春•普陀区期末)如图，。。是/BOC的平分线，

(1)用直尺和圆规作NAO2的平分线OP.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)结合图形，猜测与NAOC之间的数量关系，然后逐步填空.

解：/P。。与/AOC之间的数量关系是：ZPOO=-l-/AnC.

因为。P是NA08的平分线，

所以ZAOB,

2

同理，ZBOC,

2

于是NPOQ=ZPOB+ZBOQ=―ZAOB+AZBOC=工(ZAOB+ZBOC)=」

2222

OA

【分析】(1)根据角平分线的尺规作图即可得；

(2)由0P平分/A08知Np0B=]/AO8、由。。平分/B0C知/B0Q=_|_/80C,根据NP0Q=/P08+

/80。可得答案.

【解答】解：(1)如图，0P即为所求：

(2)/P。。与NA0C之间的数量关系是：NPOQ=/NA0C，

因为OP是乙4。2的平分线，

所以NPQB=//AO8,

同理，/BOQ=1/B℃

于是/POQ=NPOB+/BOQ=JL/AO8+1/8OC=2(ZAOB+ZBOC)=AZAOC,

2222

故答案为：ZPOB.ZBOQ.ZAOB.ZBOC,ZAOB./BOC、ZAOC.

【点评】本题主要考查作图-尺规作图及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及

角平分线的定义和性质.

17.(2009春•青浦区期末)如图，点A、O、C在一直线上，OE是NBOC的平分线，NEOF=9Q°,Nl=(4x+20)°,

N2=(x-10)0.

(1)求：N1的度数；(请写出解题过程)

(2)如以。尸为一边，在/COF的外部画4DOP=NCOR问边。£)与边08成一直线吗？

请说明理由.

【分析】(1)因为0E是N8OC的平分线所以/BOC=2N2,再根据点4、。、C在一直线上，求出N1和

N2关于x的关系式，列出等式求出x的值；

(2)根据/EOF=/EOC+NCOF=90°和/EOC=」/BOC,ZFOC=^ZDOC,XzBOC+^ZDOC

2222

=90°,得出/友^:+/£＞。7=180°,进而可可判断边OD与边。8成一直线.

【解答】解：⑴因为OE是/BOC的平分线所以NBOC=2N2,

因为点4、。、C在一直线上所以Nl+N8OC=180°,

因为Nl=(4x+20)°,N2=(x-10)°,

所以(4x+20)+2(x-10)=180,

解得：x=30,Zl=140°,

所以N1的度数为140。；

(2)边。。与边02成一直线，

因为NEOF=ZEOC+ZCOF=90°

又因为NE0C=_l/80C,ZFOC=^ZDOC,l.ZBOC+l-ZDOC=90°,

2222

所以点。、O、B在一直线上，

即边。。与边08成一直线.

【点评】本题主要考查角的计算和角平分线的知识点，解答本题的关键是熟练运用角之间的等量关系，此

题难度不大.

18.(2021秋•思明区校级期末)如图，。是直线上一点，/COD是直角，0E平分NBOC.

(1)若NBOD=30°,则/COE=30°；

(2)若NAOC=a,求/Z)OE=_Ag_(用含ct的式子表示)；

—2—

(3)在/AOC的内部有一条射线OR满足』(/AOC-NAOF)=2ZAOF+ZBOE,试确定NAO广与/

3

OOE的度数之间的关系，并说明理由.

C

【分析】(1)先根据NCOD是直角，NBOO=30°,求出NBOC=60°,再根据角平分线性质即可得出

结论；

(2)现根据平角的定义求出/BOC,再根据角平分线的性质求出/BOE,再根据/COD=90°得出结论;

(3)设/£>OE=x,ZAOF=y,先根据平角的定义和角平分线的性质求出/4OC=2x,ZBOE=90°-x,

再根据已知等式得出结论.

【解答】解：(1)是直角，ZBO£>=30°,

：.ZBOC^ZCOD-ZBOD=90°-30°=60°,

'：OE^^-ABOC,

：.ZCOE=1ZBOC=30°,

2

故答案为：30°；

(2)VZAOC=a,

.•.ZBOC=180°-ZAOC=180°-a,

"OE^^ZBOC,

：.ZCOE=1ZBOC=90°-Aa,

22

又•.•/COO=90°,

/.ZDOE=90Q-ZCOE=90°-(90°-』a)=』a,

22

故答案为：la；

2

(3)5ZDOE-1ZAOF=210°.

理由：设NDOE=x,ZAOF^y,

VZAOC=180°-ZBOC,ZBOC=2ZCOE=2(90°-NDOE),

：.ZAOC=180°-2(90°-ZDOE)=180°-180°+2ZDOE=2ZDOE=2x,

NBOE=NCOE=90°-NDOE=90°-x,

VJi(ZAOC-ZAOF)=2ZAOF+ZBOE,

3

AA(2x-y)=2y+90°-x,

3

；.5x-7y=270°,

即5NDOE-7NAOF=270°.

【点评】此题考查的知识点是角平分线的性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差

倍分.

19.(2021秋•武侯区期末)【阅读理解】

定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射

线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”.如图1,点P在直线/

上，射线PR,PS,PT位于直线/同侧，若PS平分NRPT,贝IJ有NRPT=2NRPS,所以我们称射线PR是射线

PS,PTI的“双倍和谐线”.

【迁移运用】

⑴如图1,射线尸S不是（选填"是”或“不是”）射线尸已尸7的“双倍和谐线”；射线PT是（选

填“是”或“不是"）射线PS,PR的“双倍和谐线”；

（2）如图2,点。在直线跖V上，0ALMN,NAOB=40°,射线0c从ON出发，绕点。以每秒4°的速度逆

时针旋转，运动时间为f秒，当射线0C与射线重合时，运动停止.

①当射线OA是射线02,OC的“双倍和谐线”时，求f的值；

②若在射线OC旋转的同时，NAOB绕点。以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分/

AOB.当射线0c位于射线。£）左侧且射线0C是射线。。的“双倍和谐线”时，求/CON的度数.

MN

0

图1备用图

【分析】（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可;

（2）①由题意得：ZAOC=90°-4°t,ZAOB=40°,利用分类讨论的思想方法分NAOC=2NAO2或

NAOB=2NAOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论;

②由题意得：ZC0N=4°t,ZAON=90°+2°t,ZAOD=20°,ZDON=ZAON-ZAOD=10a+2°t,

利用分类讨论的思想方法分/=2/C0£＞或NC0D=2/两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方

程即可求得结论.

【解答】解：（1）:PS平分NRPT,

：.ZRPS=ZTPS,

...射线PS不是射线尸R,PT的“双倍和谐线”；

•.同平分/脂7,

:./TPR=2/TPS.

射线尸7是射线尸S,PR的“双倍和谐线”.

故答案为：不是；是；

（2）①由题意得：ZAOC=90°-4°t,ZAOB=4Q°.

•..射线04是射线OB,0c的“双倍和谐线”，

?.ZAOC^2ZAOB^ZAOB=2ZAOC.

当/AOC=2NAQB时，如图，

则:90-4r=2X40.

解得：

2

当NAQB=2NAOC时，如图,

O

则:40=2(90-4。.

解得：片里..

2

综上，当射线0A是射线OB,OC的“双倍和谐线”时，r的值为5或丝.

22

②由题意得：NCON=4°t,NAON=90°+2°t,N4OO=20°,/DON=/AON-NAOD=10°+2°t.

:当射线OC与射线OA重合时，运动停止，

,此时/4ON=NCON.

/.90+2/=4九

/.Z=45.

J当%=45秒时，运动停止，此时NAON=180°.

•.•射线OC位于射线。。左侧且射线OC是射线OM,。。的“双倍和谐线”,

；./=2NCOD或NCO£>=2N.

即：180°-ACON=1(NCON-NOON),

则:180-32(41-70-2力.

解得：t—40.

；.NCON=4°X40=160°.

当NCOD=2/时，如图,

则：4f-(70+2r)=2(180-4r).

解得：f=43.

:"CON=4°X43=172°.

综上，当射线OC位于射线。。左侧且射线OC是射线OM,OO的“双倍和谐线”时，/CON的度数为160°

或172。.

【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的

关键.

20.(2010春•黄浦区校级期末)已知NAOB=40°,NBOC与NAOB互为补角，OD是/BOC的平分线，求/

AOD的度数.

【分析】①先求出/BOC的度数，然后根据角平分线的性质可求出的度数，继而能得出/AOD的度

数.

②

解：VZAOB=40°,NBOC与NAOB互为补角,

/BOC=140°,

又,/OO是/8OC的平分线，

:.NDOB=10°,

ZAOD=ZAOB+ZBOD=110°.

B

V

②r\

VZAOB=40°,N8OC与NAOB互为补角，

/BOC=140°,

又是NBOC的平分线，

:.NDOB=10°,

ZAOD=ZBOD-ZAOB=30°.

综上可得NA。。的度数为110°或30°.

【点评】此题考查了补角及角平分线的性质，解答本题的关键是掌握互为补角的两角之和为180。，属于基

础题.

21.(2021秋•孟村县期末)以直线AB上一点。为端点，在直线A8的上方作射线OC,使NBOC=50°,将一

个直角三角板。OE的直角顶点放在。处，即NOOE=90°,且直角三角板OOE在直线AB的上方.

(1)如图1,若直角三角板DOE的一边OE在射线上，则/(%>£>=40°

(2)如图2,直角三角板DOE的边OD在NBOC的内部.

①若OE恰好平分NAOC,求NCOE和N8OO的度数；

②请直接写出ZCOE与NBOO之间的数量关系；

(2)①根据平角定义先求出NAOC,根据角平分线的定义得NCOE=/AOE卷NA0C=65°，进而求出/

BOD；

②根据角的和差关系求出NCOE与N5OO之间的数量关系；

(3)分两种情况分别论述：第一种情况，如图②，当NCOD在N30C的内部时，第二种情况，如图③，当

NCOD在N30C的外部时，分别计算.

【解答】解：(1),：ZDOE=90°,

/.ZDOB=90°,

9：ZBOC=50°,

・・・NCOQ=40°,

故答案为:40°；

(2)如图②

①,・・N5OC=50°,

/.ZAOC=180°-50°=130°,

〈OE恰好平分NAOC,

AZC0E=ZA0E^-ZA0C=65"

：.ZBOD=ISO°-ZAOE-ZDOE=25°；

②NCOE1与N5OQ之间的数量关系为：ZCOE-ZBOD=AO°；

VZCOD=ZBOC-ZBODfZCOD+ZCOE=90°,

：.ZBOC-ZBOD+ZCOE=90°,

/.ACOE-ZBOD=90°-ZBOC.

9：ZBOC=50°,

：.ZCOE-ABOD=^°；

(3)第一种情况，如图②，当NCO。在N50C的内部时，

VZCOD=ZBOC-ZBOD.NBOC=50°,

：.ZCOD=50°-ZBOD.

VZAOE+ZDOE+ZBOD=1SO°,NDOE=9U°,

JZAOE=90°-ZBOD.

7ZC0D=4^A0E>

o

•••50°-ZBOD=4(90°-ZBOD))

：.ZBOD=30°；

第二种情况，如图③，当NCO。在N30C的外部时，

VZCOD=ZBOD-ABOC,ZBOC=50°,

：.ZCOD=ZBOD-50°.

VZAOE+ZDOE+ZBOD=1^°,ZDOE=90°,

JNAO£=90°-ZBOD.

vZCOD=yZAOE'

•■•ZBOD-500=4(90°-ZBOD))

o

/.ZBO£>=60°.

综上所述，NBO£>的度数为30°或60°.

【点评】本题考查了余角，角平分线的定义，熟练掌握余角，角平分线的定义的应用，分情况讨论是解题

关键.

22.(2021秋•阳新县期末)如图1,点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使NAOC：NBOC=1：2,Z

MON的一边OM在射线OB上，另一边CW在直线AB的下方，且NMON=90°.

(1)如图1,求/CON的度数；

(2)将图1中的/MCW绕点。以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2,若直线

ON恰好平分锐角/AOC,求NMON所运动的时间f值；

(3)在(2)的条件下，当NAOC与/M9C互余时，求出/80C与/MOC之间的数量关系.

【分析】(1)由角的比值，求解NAOC的度数，结合NMON=NAON=90°,利用/CON=NAOC+NAON

可求NCON的度数；

(2)可分两种情况：射线ON平分/AOC；直线ON恰好平分锐角/40C,计算出ON沿逆时针旋转的度数，

最后求出时间即可；

(3)由NAOC与/NOC互余，结合图形推N2OC与NMOC之间的数量关系.

【解答】解：(1)VZAOC：ZBOC=1：2,ZAOC+ZMOC=180°，

：.ZAOC=1.X180»=60。,

o

:NMON=90°,

：.ZAON=90°,

/CON=/AOC+NAON=90°+60°=150°；

(2)当直线ON平分NAOC时，如图，ON平分NAOC,逆时针旋转60度至OM时，直线ON平分所以f=3,

(Nj①

VZAOC=60°,

二/ACW=30°,

此时射线ON逆时针旋转60度，

二/MON所运动的时间f=60+20=3(s)；

如图②，

,/直线ON恰好平分锐角ZAOC,

.♦.ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°=240°,

/MON所运动的时间f=2"=12(s)；

20

综上，NMON所运动的时间f值为3s或12s；

(3)如图③所示：

蜜

VZAOC+ZNOC=90°,0M与04重合

...NBOC与NMOC互补.

如图②所示：

当ON平分NAOC时，ZAOC+ZNOC=9Ga,

:.NNOC=30°,ZMOC=120°,ZBOC=120°,

ZBOC=ZMOC.

综上所述：/BOC与/MOC互补或相等.

【点评】本题考查旋转的问题，掌握逆时针旋转后的角度，画出符合题意的图形是解题关键.

23.（2021秋•滨海县期末）【阅读理解】

射线OC是NA08内部的一条射线，若/C04=」NA0B,则我们称射线OC是射线。1的“友好线”.例如，

3

如图1,ZAOB=60°,ZAOC=ZCOD=ZBOD=20°,则/40C=4/A08,称射线0c是射线04的友

3

好线；同时，由于称射线是射线08的友好线.

3

【知识运用】

（1）如图2,NAOB=120°,射线OM是射线。1的友好线，则NAOM=40°；

（2）如图3,ZAOB=180°,射线OC与射线04重合，并绕点。以每秒2。的速度逆时针旋转，射线。£）与

射线。8重合，并绕点。以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线。口与射线。1重合时，运动停止；

①是否存在某个时刻f（秒），使得/COD的度数是40°,若存在，求出珀勺值，若不存在，请说明理由；

②当f为多少秒时，射线OC、OD.04中恰好有一条射线是另一条射线的友好线.（直接写出答案）

D、

B0A

0-------------A

图1图2图3

【分析】（1）根据新定义直接可得答案;

（2）①分两种情况：在OC、。。相遇前，180°-3,2f=40°,在OC、OO相遇后，3r+2r-180°=40°,

即可解得答案；

②分4种情况：相遇之前，（I）OC是。4的友好线时，/AOC=」＞/A。。，即2/=工（180°-3t）,（II）

33

OC是。£＞的友好线时，ZDOC=1ZAOD,即180°-3z-2f=A（180°-3f）,相遇之后：（III）0。是

33

OC的友好点NCO£»=』NAOC,即5+2L180°=lx2f,（IV）。。是04的友好点，ZAOD=1ZAOC,

333

即180。-3f=lx26分别解方程即可.

3

【解答】解：（1）:射线是射线。4的友好线，

ZAOM=1ZAOB=40°,

3

故答案为：40°；

（2）射线0。与射线OA重合时，f=60（秒），

①存在某个时刻f（秒），使得NCOD的度数是40°,有两种情况：

在。C、。£）相遇前，180°-3Z-2/=40°,

："=28；

在OC、OD相遇后，3r+2r-180°=40°,

.../=44,

综上所述，当f为28秒或44秒时，NCOC的度数是40°；

②相遇之前，

OC是。4的友好线时，

ZAOC=1.ZAOD,即2f=1(180°-3力,

33

："=20；

（II）如图:

D

C

BOA

OC是。£＞的友好线时，

ZDOC=1ZAOD,即180°-3?-2z=l(180°-3r),

33

.*.r=30；

相遇之后：

。£)是0c的友好点

ZCOD=1.ZAOC,即3什2f-180°=Ax2f,

33

13

。。是CM的友好点，

ZAOD=^ZAOC,BP180°-3f=2X2f,

33

•t=540

11

综上所述，当f为20秒或30秒或四秒或可秒时，射线OC、OD、。4中恰好有一条射线是另一条射线的

1311

友好线.

【点评】本题考查角的和差及新定义，解题的关键是读懂新定义，用方程的思想解决问题.

24.（2021秋•凉山州期末）如图，已知线段

（1）请用尺规按下列要求作图：

①延长线段A8到C,使BC=A2,

②延长线段BA到D,使AD=AC(不写画法，当要保留画图痕迹)

(2)请直接回答线段与线段AC长度之间的大小关系

(3)如果AB=2c机，请求出线段2。和C。的长度.

A'R

【分析】(1)以8为圆心，AB长为半径画弧，交AB的延长线于C,以A为圆心，AC长为半径画弧，交BA的

延长线于。

(2)依据图形，即可得到线段与线段AC长度之间的大小关系；

(3)依据4B=2c机，可得AC=248=4c机，AO=4cm,进而得出BO=4+2=6cm,CD=2A£>=8cm.

【解答】解：(1)如图所示，BC.AO即为所求；

(2)由图可得，BD>AC；

(3)\'AB=2cm,

.\AC=2AB=4cm,

.\AD=4cmf

BD=4+2=6cm,

CD—2AD—^cm.

【点评】本题主要考查了两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的

长度，注意强调最后的两个字“长度”.

25.(2021秋•天门期末)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研

究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点8表示的数分别为a、b,则A,8两点之间的距离A8

=\a-b\,线段AB的中点表示的数为生也.

2

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-2,点8表示的数为8,点P从点A出发，以每秒3个单位长度的

速度沿数轴向右匀速运动，同时点。从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为f

秒(f>0).

【综合运用】

(1)填空：

①A、2两点间的距离43=10,线段AB的中点表示的数为3；

②用含珀勺代数式表示：f秒后，点尸表示的数为-2+3/；点。表示的数为8-用.

(2)求当f为何值时，P、。两点相遇，并写出相遇点所表示的数；

(3)求当/为何值时，尸。=2A&

(4)若点M为PA的中点，点N为尸8的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请

说明理由；若不变，请求出线段MV的长.

ABAB

-208-208

爸用图

【分析】(1)根据题意即可得到结论；

(2)当P、。两点相遇时，P、。表示的数相等列方程得至Uf=2,于是得到当f=2时，P、。相遇，即可得到

结论；

(3)由f秒后，点尸表示的数-2+33点。表示的数为8-2f,于是得到尸。=|(-2+3f)-(8-2f)|=|5L

10|,列方程即可得到结论；

(4)由点M表示的数为.：2+(-2+3<)=3t_2,点N表示的数为8+(-2+3t)=3t+3;即可得到结论.

2222

【解答】解：(1)①10,3；

②-2+3?,8-2r；

(2)