反比例函数与几何综合常考热点-2025年中考数学提分必刷训练

反比例函数与几何综合常考热点专题提升训练一2025年中考数

学提分必刷训练

1.如图，点A在第一象限内，轴于点8,反比例函数y="（左wO,尤＞0）的图象

尤

分别交A。、A3于点C、D.已知点C的坐标为（2,2）,BD=1.

⑴求上的值.

（2）已知点尸在该反比例函数图象上，且在ABO的内部（包括边界），求出点尸的横坐标x

的取值范围.

1”

2.如图，直线％=:7力与双曲线%=—（左〉。）交于A点，且点A的横坐标为4,双曲线

2x

k

%=—（%＞0）上有一动点。（私〃）（。＜加＜4）,过点A作X轴垂线，垂足为B,过点C作X轴

X

垂线，垂足为。，连接OC.

⑴求人的值;

(2)直接写出%%时x的取值范围；

(3)连接AC,当△COD与VA03的重合部分的面积为1时，求,OAC的面积.

3.如图，三角形ABC为等腰直角三角形，斜边AB〃了轴，点C在x轴上，反比例函数

>=£(尤>0)经过的中点。，交边BC于点、E,已知点C(2,0).

(1)点B的坐标为,反比例函数解析式为

(2)连接DE,求V3DE的面积.

4.如图，四边形QVC是菱形，其中点C（0,5）,点A在反比例函数y=：（左>0,x>0）的图像

3k

上，Q4与1轴正方向的夹角为。，且tana=：，反比例函数》=-（左>0,%>0）的图像与线段5c

4x

交于点。.

（1）求人的值；

（2）点E为反比例函数y="（左>0,%>0）图像上的一个动点（点E在点A,。之间运动，不与A,

x

。重合），过点E作EM，AB,垂足为点M,过点E作硒〃3C,交OC于点N,连接MN.若

3

AffiN的面积为彳，求点E的坐标.

2

5.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A、2在函数y=［（x>0）的图象上（点

A的纵坐标大于点8的纵坐标），点A的坐标为（2,4）,过点A作轴于点。，过点8

作轴于点C,CD=2OD,连结。4、AB.

⑴求B点的坐标.

⑵求四边形Q4BC的面积.

k

6.如图，正比例函数丫=%与反比例函数y=7(ZxO)的图像相交于点A,其中点A的横

坐标为2,点C是双曲线上点A右侧的一点(不与点A重合)，过点C分别作CD1OA,

CELx轴，垂足分别为点。、点E.

(1)求反比例函数的解析式；

⑵如果OE=4,求点。的坐标；

(3)取OC的中点连结DM、OE,试判断△£>£"的形状，并证明你的结论.

k

7.如图，点A,C分别是反比例函数y=2的图象与正比例函数y=的图象的交点.其

中点A的坐标为(-1,3).过点A作ABLy轴于点3,过点C作CD，y轴于点。，连接A。，

BC.

(1)求反比例函数与正比例函数的解析式；

⑵写出C点的坐标，并求四边形458的面积；

⑶请结合函数图象，直接写出不等式与＞%了的解集•

8.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=8(无＜0)的图象与直线。4交于点

X

A(-5,3),过点A作A8■!y轴于点乩

⑴求上的值.

(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段4。的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法).

(3)设(2)中所作的垂直平分线与x轴交于点C,与A8交于点。，连接8,AC,求证:

AC^AD.

k

9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数必=-苫+》的图象与反比例函数丫2=—的图象交

x

于点A(T6),与尤轴交于点8.

⑴求％和6的值；

(2)连接。4,取线段上一点C,连接OC,使得OCB与△OA3的面积比为1:2,将线段

0c绕点。逆时针旋转90。，得到。C',判断点C'是否落在函数y=与(k<0)的图象上，

X

并说明理由.

(3)请直接写出当%>当时，尤的取值范围;

10.如图，一次函数y=x+4与反比例函数y=—(x<0)的图象交于A(-3,a),5(),3)两点,

x

与九轴交于点c,与>轴交于点。.

⑴求该反比例函数的表达式;

n?

⑵当x<0时，写出关于x的不等式尤+4〈%的取值范围;

⑶连接OB,求VAOB的面积.

16

11.已知一次函数无+3的图象与y轴交于点A,与反比例函数y=7(x>0)的图象交于

点3(3,6).

(2)以A8为斜边在直线AB的下方作等腰直角三角形ABC,求点C的坐标;

(3)在(2)的条件下，将VABC沿直线平移，当点C的对应点C1恰好落在反比例函数

y=：(尤＞0)的图象上时，求C1的坐标.

12.如图1,在平面直角坐标系中，已知点4(1,1),5(3,0).尸是反比例函数y=：(左＞0)的

图像在第一象限内的一动点，当AP〃彳轴时，止的面积为2.

阳1图2

⑴求反比例函数的表达式；

⑵如图2,当点P在射线。4上时，Q为x轴正半轴上一点，若以尸，O,。为顶点的三角

形与△OA3相似，求点。的坐标.

13.在平面直角坐标系中，已知四边形QMC为矩形，其中A（4,0）,C（0,3）.

（1）当反比例函数y=：（尤>0）的图象和矩形Q4BC有交点时，上的最大值为一.（请直接写出

结果）

k

⑵如图，反比例函数y=、（x>0）的图象与AB,BC分别交于点。，E,连接OE.

①当左=6时，求一ODE的面积；

②连接AC,判断。E与AC是否平行？并说明理由.

14.如图，矩形ABCO的顶点3（10,8）,点A,C在坐标轴上，E是BC边上一点，将_ABE沿

k

AE折叠，点8刚好与OC边上点。重合，过点E的反比例函数y=—的图象与边A8交于点

X

F.

⑴求反比例函数的解析式;

⑵求出线段放的长.

15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=依+6化、6为常数，左片0)的图象与反比例

函数y=为常数，〃件0)的图象相交于点A(-2,“)，3(8,-1),与y轴交于点C.

ni

⑴求一次函数丫=履+6和反比例函数>=—的表达式；

x

(2)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点。，连接OD,求OD的长.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形Q4BC的顶点8在反比例函数y=：(x>0)的图象

上，顶点A在y轴正半轴上，顶点C在X轴正半轴上，点尸在。4上运动，连接3尸，CP,BPC

的面积为6.

⑴直接写出上的值.

(2)已知。4=3AB.

①若tanZABP=1,求直线BP的解析式;

②当AP=/时，AABPs^OPC,求f的值.

k

17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数%=6+3的图象与反比例函数%=—的图

x

象交于点A,B,与X轴、y轴分别交于点C(-6,0)、。，点E在第一象限，点厂是X轴正

半轴上一点，菱形CDEF的边DE与反比例函数的图象交于点G,且一三=二.

••DG2

⑴利用无刻度的直尺，在反比例函数%=£的图象上作出点Q,使kOCB=&OC°(不写作

.........X

法，保留作图痕迹)

(2)求。的值和反比例函数的表达式；

(3)将菱形CD所向下平移，当点C落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为.

18.如图，一次函数，=-2x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,四边形ABCD是正方

⑴求上的值；

k

(2)若将正方形ABCD向下平移根个单位长度后，点C刚好落在反比例函数y=—的图像上,

x

则m=.

k

19.如图，VA03是边长为2的等边三角形，反比例函数>=((x>0)的图象经过点A,过

点2作5C〃Q4交反比例函数的图象于点C,轴于点。，连接AC.

⑵求四边形Q4CD的面积.

20.如图，一次函数/=：犬+2的图象与反比例函数了=：("-0)的图象交于点人(2,3)和点

D,与y轴交于点8,与X轴交于点c.

⑴求优的值以及点。坐标；

(2)P为x轴上的一动点，CBP的面积6时，求P点坐标.

(3)。为y轴上的一动点，连接QC和QD,当QC+QD的值最小时，求点。的坐标.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=klx+b(k^0)与反比例函数y=j的*0)

的图象交于A、2两点，与x轴，y轴分别交于C、。两点，点3(8,-2),点C为线段2。的

中点，连接。4、OB.

⑴求反比例函数和一次函数的表达式;

(2)求VA03的面积；

(3)点M为线段Q4上一动点(不与点A、。重合)，过点M作直线"N,使得MN0B,交AB

于点N.若aAMN与VAOB的面积比为1:4,则点M的坐标为一.

参考答案

1.⑴笈=4

(2)2<x<4

【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是

明确题意，求出左的值.

(1)根据点C(2,2)在反比例函数y=O(kH0,x>0)的图象上，可以求得上的值；

x

(2)再把y=l代入函数解析式，即可得到点。的坐标，再求出点P的横坐标的取值范围.

k

【详解】(1)解：点CQ2)在反比例函数>=—(k/0,x>0)的图象上，

x

-25

2，

解得k=4；

(2)解：BD=1.

二点。的纵坐标为1,

4

点。在反比例函数>=一(女工0,%>0)的图象上，

x

X

解得x=4,

即点。的坐标为(4,1),

点C(2,2)，点。(4,1),点P在该反比例函数图象上，且在的内部(包括边界)，

点P的横坐标x的取值范围是2WxW4.

2.(1)8

(2)x>4或T<x<0

(3)6

【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的

计算，反比例函数系数％的几何意义，正确地求得％的值是解题的关键.

(1)首先将A点横坐标代入y求出A(4,2),然后代入y求解即可；

1Q

(2)根据要使得%>%，只需的图象在%=9的图象上方时x的取值范围，再结合

其交点坐标即可得出答案；

(3)设△CQD与VA03的重合部分的面积值为S,设根据三角形的面积公式

得到E（2,l）,求得OD=2,根据梯形的面积公式即可得到结论.

【详解】（1）解：：点A的横坐标是4

.,.将x=4代入％=gx=；x4=2

A（4,2）

.•.将A（4,2）代入%=:,得上=8,

.,"的值为8；

1Q

（2）令％与％=一的另一个交点为厂，

2x

由反比例函数与正比例函数的性质可知/（-4,一2）,

1Q

要使得%>%，只需乂的图象在%=9的图象上方，

2x

止匕时，x>4或TvxvO；

（3）连接AC,令与CD交点为E,设与VA03的重合部分的面积值为S,

£在直线y=；力上，

「•设E点的坐标为石［九;相］,

/.OD=m,

..S=—OD'DE=—m'—m=—m12=1,

2224

解得机=2或-2（舍去），

.•・£（2,1）,

:.OD=2,

Q

「点C在函数y=—的图象上，

X

Q

CD=y=—=4

2

AOB=SCOD=5=4，

-e-SCEO=梯形ABDC的面积=4—SODE=3,

由(1)知06=4,AB=2,

.•.6D=4—2=2,

二梯形ABDC的面积=；2O-(OC+A8)=gx2x(4+2)=6,

Loe=梯形ABDC的面积=6.

3.(1)(4,2),y=：

⑵3-6

【分析】(1)连接CD,根据等腰直角三角形的性质结合AB〃x轴，可得CDLAB,易证

ADC是等腰直角三角形，可得。(2,2),进而得到8(4,2),利用待定系数啊即可求出反比

例函数解析式；

y=x-2

(2)连接£)£,由(1)知5(4,2),求出直线5C的解析式为丁=1-2,联立＜_4,求

出石即+1,拓-1),由SBDE=；BD{)即可求解.

【详解】(1)解：如图，连接C。，

:三角形ABC为等腰直角三角形，斜边至〃x轴，点。为A3的中点,

：.CD1AB,AD=BD,/G4B=NC胡=45。，

NACO=45°,

AADC是等腰直角三角形，

AD=CD,

•••C（2,0）,

AD=CD=BD=2,

：.0（2,2）,

•••8（4,2）,

v反比例函数y=?无>0）经过点r>,

/.2=-,

2

解得：k=4

4

・・・反比例函数解析式为y=—；

X

故答案为：（4,2）,y=|；

设直线BC的解析式为y=mx+n,

0=2m+nm=l

则一，解得

2=4m+n〃=-2

...直线BC的解析式为y=x-2,

fx=^+l卜一君+1

联立4,解得厂或r（舍去）;

>=一V=A/5-1y=-V5-l

lx

E（石+1,百-1）,

，S皿十*-%）=gx2x[2一心一1）卜3一氐

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数交点问题，三角

形的面积，解一元二次方程，综合应用以上知识点是解题的关键.

4.（1）12

（2）（2,6）

【分析】(1)延长B4交工轴于点Q,根据题意，得OC=CB=B4=Q4=5,结合已知得到

A03_________

设AQ=34,OQ=4Z,于是QA=《AQ?+。。2=5左=5,确定左=1,继而确定A(4,3),

求女=12.

(2)延长2VE交A5于点F,过点N作NG,于点G,得OC=CB=BA=OA=5,CN〃BF,

得到四边形NEBC是平行四边形即NF=CS=5,得至！JtanN0"=山EM~=N"G=二4设

FMFG3

EM=4t,FM=3t,^t=~,过点E作，x轴于点H,则四边形EHQM是矩形，当％=2

2

12

时，＞=耳=6,求解即可.

【详解】(1)解：延长用1交x轴于点Q,

D\

£

O\Qx

・・,四边形。4BC是菱形，点C（0,5）,

OC=CB=BA=OA=5,CN//BF,

/.ZOQA=180°-ZNOQ=90°,

3

：（M与x轴正方向的夹角为a,J=Ltana=-,

.AQ_l

,,。。一"

设AQ=3匕。。=4笈，

，OA=7AQ2+OQ2=5k=5,

解得k=lf

AQ=3,OQ=4,

・•・A（4,3）,

k

•・•点A在反比例函数y=—（左＞0,尤＞0）的图像上,

.1.3=-,

4

解得左=12.

(2)解：延长地交A5于点R过点N作NGLAB于点G,

・・•四边形Q4BC是菱形，点C（0,5）,

OC=CB=BA=OA=5,CN//BF,

BCNF,

・••四边形NFBC是平行四边形,

：.NF=CB=5,

・.・ZNOQ=ZOQG=ZQGN=90°,

・・・四边形NOQG是矩形,

：.NG=OQ=4,ZNGM=90°f

,,FG=VNF2—NG2=3,

EMNG4

・'.tan/EFM-------

FMFG3

设EM=4%,FM=3/,

113

•*SEMN=S,FMN~SEMF=-x4x3r--x4rx3r=-,

...4Z2-4Z+1=0,

解得仁g;

：.EM=4t=2,

过点石作石轴于点H,

则四边形石是矩形,

...EM=HQ=2,

.・・OH=OQ-HQ=2f

故当x=2时，y=—=6,

故点E(2,6).

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的

判定和性质，三角形面积计算，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是

解题的关键.

5.

(2)T

【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的

关键.

(1)将点A的坐标(2,4)代入求出上的值，然后求出点8的坐标即可；

(2)利用S四边形OABC=，a。。+S梯形ABCD计算解题.

【详解】(1)解:将点A的坐标(2,4)代入y=?x>0)可得上=^=2x4=8,

.,"的值为8；

Q

二函数的解析式为>=2,

X

CD=2OD,OD=2,

.•。=4,

:.OC=6,

，一84

•••点5的横坐标为6,将％=6代入y=—，得,=彳，

x3

•••点8的坐标

11/4、44

=x2x4+x4x4+=

(2)S四边形OABC=SAOD+5WABCD22ljj^->

4

6.(l)y=-

x

⑵呜，3

(3)_DME是等腰直角三角形

【分析】(1)根据点A在y=x上，且横坐标为2,求出点A(2,2),再代入〉=等中0)即可

求解.

(2)根据题意求出点C(4,l),在必OCE中，求出0。2,设。(孙⑼，表示出0£>2=21，

OC2=(m-4)2+(m-l)2,在RtOCD中，OD1+CD2=OC2,列出方程求出=即

可求解.

(3)在小ODC,RtOEC中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出

DM=；OC=OM=MC=EM,根据等边对等角得出Nl=N2,N5=N6,再根据直线V=%

是第一，三象限角平分线，证出/DME=90。，即可得出。磔是等腰直角三角形.

【详解】(1)解：：点A在丫=》上，且横坐标为2,

.•.A(2,2),

k

才巴A(2,2)代入y=：(ZwO)得左=^=2x2=4,

4

X

(2)解：轴，且OE=4,

•••点C横坐标为4,

4

在丫=一中，令x=4,贝ijy=l,

尤

C(4,l),

在RfOCE中，OE=4,CE=1,

OC2=OE2+CE2=4?+V=17,

•点£>在直线y=x上，设£>(〃?,〃?)，

QC(4,1),0(0,0),

OD2=(m-0)2+(m-0)2=2m2,OC2=(m-4)2+(m-l)2,

在RtOCD中，Ob1+CD~=OC2,

即2〃/+(m-4)2+(m-l)2=17,

整理得2m2-5m-0,

解得：m=0(舍去，不符合题意)，加=1，

2

5

:.m=—,

2

(3)解：△DEN是等腰直角三角形.

理由如下：在R，QDCR&OEC中,V为斜边OC的中点,

2

：.DM=EM,

・•・是等腰三角形，

DM=OM,

・•・Z1=Z2,

设Nl=/2=a,

.•.N3=N1+N2=2a,

■:EM=OM,

：.N5=N6,

设N5=N6=夕，

/.N4=N5+N6=26，

/./OME=N3+N4=2a+2£=2(a+/?),

・・,直线丁二%是第一，三象限角平分线，

/.Z2+Z6=-x90°=45°,

2

即a+/=45。，

：.ZDME=2x45°=90°,

・•.是直角三角形，

综上：.ZWE是等腰直角三角形.

【点睛】该题考查了反比例函数解析式求解，反比例函数和正比例函数交点问题，直角三角

形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质

等知识点，解题的关键是掌握以上知识点.

3

7.(1)y—，>=-3x

X

⑵点C的坐标为(1,-3),S四边形A8CO=6

(3)尤>1或一1<无<0

【分析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比

例函数的性质，平行四边形的面积.

(1)根据点4(-1,3)在利用待定系数法即可得出反比例函数与正比例函数的解析式；

(2)由反比例函数及正比例函数的性质可知，点C的坐标为(L-3),再结合平行四边形的

性质即可求解；

k

(3)直接根据两函数的图象即可得出不等式」〉修元的解集.

【详解】(1)解：将A(-1,3)代入y=g,可得：^=-1x3=-3,

3

...反比例函数的解析式为>

将4(一1,3)代入y=可得：-质=3,即人=一3

正比例函数的解析式为>=-3x；

(2)由反比例函数及正比例函数的性质可知，点A与点C关于原点。成中心对称，

；•点C的坐标为(L—3),

•.•/15，丁轴于点8,CDLy轴于点。，

AB〃CZ)且AB=C£>=1,BC=6,

，四边形ABCD为平行四边形，则§四边形ABCD=ABBC=6.

(3)解：•••>(-1,3),C(l,-3),

由函数图象可知，当x>l或-l<x<0是直线在双曲线的下方，

k

・・・不等式」〉人2%的解集为尤>1或Tv尤<0.

x

8.(1)-15

(2)画图见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)把点A坐标代入反比例函数解析式计算即可求解;

(2)根据线段垂直平分线的画法作图即可；

(3)设跖V与Q4交于点，证明—APCWAPD(ASA)即可求证；

本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，线段垂直平分线的画法，反比例函数与几何图

形等，根据题意正确画出图形是解题的关键.

【详解】(1)解：•••点A(-5,3)在反比例函数、=：5<0)的图象上，

k=—5x3=—15；

(2)解：如图所示，直线脑V即为所求，

(3)证明：如上图，设与Q4交于点,

・・・MN是A0的垂直平分线，

AAC=OC,ZAPC=ZAPD=90°,

：.ZCAO=ZCOAf

・・・轴于点3,

：.AB//OCf

：.ZCOA=ZDAOf

：.ZCAO=ZDAO

;AP=APf

：.APC^.APD(ASA),

:.AC=AD.

9.(1求和匕的值分别为-6,5

⑵点C是落在函数%=-9的图象上.理由见解析

x

（3）x<-M0<x<6

【分析】（1）将A（T6）代入必=t+6可求出6的值;将A（-1,6）代入%=g可求出发的值；

（2）由一次函数的解析式求出8点坐标为（5,0）.根据OCB与△043的面积比为1:2,得

出C为A8中点，利用中点坐标公式求出C点坐标为（2,3）.过点C作CD^x轴，垂足为。，

过点C'作C'ELx轴，垂足为E.根据AAS证明C'OE^,OCD,得出

OE=CD=3,CE=OD=2,又C'在第二象限，得出C'（-3,2）,进而判断点C'是落在函数

%=的图象上；

X

（3）根据函数图象可直接进行求解.

【详解】（1）解：将A（T6）代入+6,得，6=1+"

；.6=5,

将4（一1,6）代入％=:得，6=占，

解得，k=-6；

（2）解：点C'是落在函数丫2=-9的图象上.理由如下：

X

%=T+5,

%=0时，0=—x+5,解得尤=5,

：.B（5,0）.

CB与△OAB的面积比为1:2,

；.C为A3中点，

VA（-l,6）,8（5,0）,

・••c]y，Tj,即C（2,3）.

如图，过点C作轴，垂足为。，过点C'作C'ELx轴，垂足为E.

:将线段OC绕点0逆时针旋转90°,得到OC,

：.OC'=OC,NCOC'=9。。.

：.ZC'OE=ZOCD=90°-ZCOD.

在一COE与OCD中，

ZC'OE=ZOCD

<ZC'EO=ZODC,

OC'=OC

，COEqOCD(AAS),

/.OE=CD=3,C'E=OD=2,

：C在第二象限,

AC(-3,2),

...点C'是落在函数必=-9的图象上.

X

6

y二一一

(3)解：由题意可联立：X

y=—兀+5

x=-lx=6

解得:尸6或

y=T，

反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为(6,-1),

由图象可知：当%>%时，x的取值范围为x<-l或0<x<6.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等

三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握.

10.(l)y=--

X

(2)%<—3或一1v无v0

(3)4

【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数

法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标,三角形的面积是解决问题的关键.

(1)将点A(-3,0代入、=尤+4得。=(-3)+4=1,进而可得反比例函数的表达式；

(2)根据一次函数与反比例函数交点，结合函数的图象即可得出关于x的不等式x+4〈竺

x

X的取值范围；

(3)求出一次函数与y轴交点。的坐标为(0,4),由此面积和差可得出答案.

【详解】(1)解:将点4一3,0代入y=x+4,得。=(_3)+4=1,

•・•点A的坐标为(-3,1).

将A(—3,l)代入y=生，得l=r，即机=—3.

x-3

3

该反比例函数的表达式为V=--

X；

(2)解:将点BS,3)代入y=B,得3==,

xb

解得b=—l,

x+4<—的取值范围是x<-3或一l<x<0；

x

(3)解：将x=。代入y=x+4,得y=4,

二点。的坐标为(0,4).

由(1),(2)知A(—3,1),8(—1,3),

AOB的面积=SAAO£>-&BOT>=gx4x3-gx4x1=4.

11.(1)6=4,笈=12

⑵C(2,2)

(3),2加一「牛2)

【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结

合的思想进行求解，是解题的关键：

(1)把点8代入一次函数的解析式求出6,待定系数法求出左的值即可；

(2)作轴，轴，CE，至于点尸，证明ACg-CFB,进而求出C点坐标

即可；

(3)平移得到CG〃AB,直线CG与反比例函数的交点即为点,求出直线CG的解析式,

联立直线和反比例函数的解析式，求出点C1的坐标即可.

【详解】(1)解：把点3(3⑼代入y=，+3,得：b=gx3+3=4,

.1.5(3,4),

.•4=3x4=12；

故6=4次=12；

(2)Vy=-x+3,

3

，当％=0时，y=3,

/.A(0,3),

OA=3,

作班_Lx轴，过点。作小〃无轴，贝lj：CD_Ly轴，CF^BE,OE=DF,OD=EF,

•・"（3,4）,

...BE=4,DF=OE=3,

•・,等腰直角三角形ACS,

・・・AC=BC,ZACB=90°,

：.ZACD=ZCBF=90°-ZBCF,

・•・ACDWCFB,

:.CD=BF,AD=CF,

设CD=x,则：BF=x,AD=CF=DF-CD=3-x,

'：OD=EF,

••3—3+x=4—xj

x=2,

CD=2,

・・・QD=3—3+2=2,

・•・C（2,2）；

（3）•・,将VABC沿直线A5平移,

・・.CC]//AB,

设CG的解析式为：y=^x+m,把C（2,2）代入，得：2=《+加,

4

解得：m=-,

d,

33

12

由（1）可知：反比例函数的解析式为：）=一

14

y=—x+—x=2丽-2X=-2A/10-2

33

联立,，解得：v2710+2或,-2^0+2（舍去）;

丁二一y=-------y=--------

x1313

・•・q2^0-2,

⑵（3底0）或三一,0

【分析】本题考查待定系数法求反比例解析式，相似三角形判定及性质等.

（1）设点尸（见1）,继而得到=根据面积列式得gx（根-l）xl=2,求出P（5,l）,

再代入反比例解析式即可求出；

（2）先求出。2=碗，后分两种情况讨论，①当A3〃尸。时和②当A3与尸。不平行时,

分别利用相似三角形判定及性质即可作答.

【详解】（1）解：AP尤轴，

二设点P（〃z,l）,

AP=m—l,

△PAB的面积为2,

「.gx（m—l）xl=2,解得根=5,

/.P（5,l）,

点?在反比例函数图像上，

:.k=5,

...反比例函数表达式为：y=-；

X

（2）解：点A。』），

直线表达式为y=%,

点尸是射线Q4与反比例函数交点，P（石,班卜

/.OP=J\0,

①当AB〃PQ时，OABsOPQ,

.OAOB^

=B61n3

'OP-OQ'忑f

OQ=3^/5,

②当AB与PQ不平行时，OAB^,OQP,

OAOQBnV2_OQ

.•西一9’即5=而，

OQ=手,

综上，符合条件的点Q坐标为（3君,0）或看,0

13.(1)12

9

(2)@-；②。6与AC相互平行，见解析

【分析】(1)由反比例函数的性质可得k二冲，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即

0<x<4,0<y<3,进而得到当％=4,y=3时，%有最大值；

(2)先根据题意得到O卜①连接OD,OE,由々=6,得到O卜野，矶2,3),

求得AD,CE,BD,BE,然后利用割补法SODE=S矩形OABC-S、OCE~,ODA~BED即可求得

答案;②连接AC,先求得跳>=与小，BE=与小，可得丝=空，从而证明&BEDS.CA,

43BABC

得至！JNBXD=4C4,即可推出加〃40.

【详解】(1)解：「反比例函数丫=勺尤>0),

:.k=xy,

・反比例函数y=£(x>0)的图象和矩形Q4BC有交点，其中A(4,0),C(0,3)

.-.0<x<4,0<y<3,

.•.当X=4,y=3时，上有最大值4x3=12,

故答案为：12.

(2)解：A(4,0),C(0,3),且四边形QMC为矩形,

.■.8(4,3),

/.AB=OC=3,BC=AO=4,

「反比例函数y=人的图象与AB,8C分别交于点。，E,

X

3

:.AD=-,CE=2,

2

3

BD=—,BE=2,

2

••S,ODE=S矩形OA5c-SQCE-SQDA—SBED

^ABBC--OCCE--OAAD--BEBD

222

113139

=3x4——x3x2——x4x-----x2x—=

222222

②OE与AC相互平行,理由如下:

连接AC,如图

n-kcl/kn-k

-------,BE=4一一=--------

433

n-k12—k

BDn-k,BE3」2T,

BA312BC412

BDBE

NB=NB,

:.Z\BED^Z\BCA,

:.ZBED=ABCA,

DE//AC.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的

判定，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键.

30

14.⑴y=一

x

噌

【分析】本题主要考查了反比例函数的结合综合，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，解

题的关键是熟练掌握矩形的性质和折叠的性质.

(1)根据折叠得出AD=AB=1。，DE=BE,根据勾股定理得出00=715=^=6，设

石(10,b),DE=BE=8—b,/石8=90。，根据勾股定理得出42+廿=(8-求出b的值,

即可得出答案；

(2)根据/点纵坐标为8,求出尤=当==，得出”=即可求出结果.

844

【详解】(1)解:A5E沿AE折叠，5(10,8),

.-.AD=AB=10,DE=BE,

四边形A5co是矩形，AO=BC=8,^AOD=90°,

.-.OD=7102-82=6-

.-.CD=10-6=4,

设E(10,b),DE=BE=8-b,NECD=90°,

根据勾股定理得：DE2=CD2+CE2,

42+〃=(8叫2,

「.6=3,

.•.E(10,3),

k=10x3=30,

，反比例函数解析式为y='30；

X

(2)解:尸点纵坐标为8,

「.8普

X

3015

..x=—=—,

84

即AF=^,

4

1525

:.BF=AB-AF=10——=——.

44

1-8

15.(i)y=--x+3,y=——

2x

⑵叵

3

【分析】本题考查了待定系数法求函数的表达式、反比例函数与一次函数的交点问题和反比

例函数与几何的综合应用.熟练掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键.

(1)先将点3的坐标代入y二一中得到加的值，从而得出反比例函数的表达式，再把点

4（-2,〃）代入〉=?中，求出〃的值，最后根据待定系数法求出一次函数的表达式；

（2）先把x=0代入>龙+3中求出点C的坐标，再由题意可以知道CD〃x轴，得到点

。与点C的纵坐标相等，从而求出点。的坐标，最后根据勾股定理求出OD的长.

【详解】（1）解：将3（8,-1）代入y=:中，得加=一8,

将人（-2,〃）代入y=?中，得w=4,

.-.A（-2,4）.

将A（-2,4）,*8,-1）分别代入y=中，得

\-2k+b=4",\k=--

,,］，解得2,

［8ok+b=-l,°

i［。=3

，一次函数的表达式为y=-1x+3.

（2）把尤=0代入y=-gx+3得y=3,

：.C点坐标为（0,3）,

由题意知点C,点。纵坐标相等，

一88

把y=3代入>=一中，得X=—

8

.,.在Rtz\OCD中，OD=+Y

16.（1）12

⑵①y=；x+5,②当f=3+行或3-百时，AABPsAOPC.

【分析】（1）由矩形Q4BC,BPC的面积为6.可得矩形。1BC的面积为12,结合上的几

何意义可得答案；

(2，①由tanNABP=5,可得AB=2AP,设AB=m，则OA=3m,AP=5/〃，可得m-3m=12,

求解：根=2,可得3（2,6）,尸（0,5）,再进一步可得答案；

4RAp

②由可得而=无，结合①得：AB=OC=2fOP=6-t,再建立方程

求解即可.

【详解】（1）解：,・•矩形Q4gC,3PC的面积为6.

・・・矩形。钻。的面积为12,

:.k=n,

（2）解：①・・,矩形A0C5,

AZOAB=90°,AB=OC,AO=BC,

*.*tanZABP=—,

2

.AP

••=一,

AB2

JAB=2AP,

OA=3AB,

.,.设AB=〃z,则OA=3〃z,AP=—m,

2

m-3m=l2,

解得：m=2（%=-2舍去）

AAP=1,

；.B（2,6）,P（0,5）,

设直线3尸为y=ex+5,

2e+5=6,

解得：e=g,

直线BP为y——x+5；

②•：AABPSAOPC,

.ABAP

"'~OP~~OC'

当AP=/时，结合①得：AB=OC=2,OP=6T,

.2t

••—―，

6T2

t2-6t+4=0,

解得：q=3+逐，t2=3—A/5,经检验符合题意；

•••当仁3+君或3-若时，AABP^/\OPC.

【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，反比例函数的解析式，相似三角形的判定与

性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，理解题意，掌握反比例函数的性质是解

本题的关键.

17.(1)见解析

(2)。的值为;，反比例函数的解析式为%=还

⑶平移的距离为石

【分析】(1)连接20交第三象限双曲线于点Q,连接C0,由关于原点对称的点的性质，

即可矢口S&0CB=S^OCQ；

(