第2章 轴对称图形（知识梳理+热考题型）原卷版

第2章轴对称图形

本章知识综合运用

有关概念

••L车由对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关

于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.

团轴对称的性质：

1.成轴对称的两个图形全等；

2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.

拓展：成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.

••2、军由对称图形：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图

形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.

团轴对称图形与轴对称的区别与联系:

轴对称图形轴对称

本质不同一个具有特殊形状的图形两个图形之间的对称关系

区对象不同一个图形两个图形

对称轴的位

过图形的某条直线在两个图形之间

置不同

别对称轴的数

不一定只有一条只有一条对称轴

量不同

⑴沿对称轴折叠，图形的两部分重合⑴沿对称轴折叠，两个图形重合

联系⑵如果把轴对称图形对称轴两边的部分看⑵如果把成轴对称的两个图形看成一个整

作两个图形，那么这两个图形成轴对称体，那么它就是一个轴对称图形

••3、线段的垂直平分线的概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的垂直平分线.

团线段的垂直平分线必须满足两个条件：

1.经过线段的中点；

2.垂直于这条线段.

注意：线段的垂直平分线是一条直线，而不是一条线段，且只有一条.

••4、等边三角形：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.

简单的轴对称图形

••L线段：线段是轴对称图形，有2条对称轴，分别是线段所在直线和线段的垂直平分线.

团线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.

团线段的垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

••2、角：角是轴对称图形，有1条对称轴，角平分线所在的直线是它的对称轴.

回角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

拓展：三角形三个内角的平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等.

团角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

••3、等月要三角形：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（也可以说是底边上的中线或底边上的高）

所在的直线是它的对称轴.

团等腰三角形性质定理：

1.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；

2.等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.

回等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.

团直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

注意：该定理需满足两个条件：1.直角三角形；2.斜边上的中线.

••4、等边三角形：等边三角形是轴对称图形，角平分线（也可以说是三边上的中线或三边上的高）所

在的直线是它的对称轴

团等边三角形性质定理：等边三角形的每个内角都等于60。.

拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质.

团等边三角形判定定理：

1.三个角都相等的三角形是等边三角形.

2.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

尺规作图

••1、画已知图形的对称图形（“三步法”）：

一找一找已知图形的关键点；

二画——根据对称点的位置关系画出各关键点的对称点；

三连一按照已知图形的形状连接各对称点，得到所要求作的图形.

••2、用尺规作线段的垂直平分线

••3、已知底边及底边上的高作等腰三角形

题型归纳

题型四角的轴对称性

题型一轴对称图形的识别

题型五等腰三角形的轴对称性

题型二轴对称的性质与应用

题型六等边三角形的轴对称性

题型三线段的轴对称性

题型七直角三角形斜边中线的性质

口^题型一轴对称图形的识别

【例题】（2023秋・江苏•八年级专题练习）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）

【变式1］（2023•江苏扬州•二模）垃圾分类标识中的图形是轴对称图形的是（）

【变式2】（2023秋・江苏•八年级专题练习）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）

【变式3】（2023•江苏•八年级假期作业）如图（1）,小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2）,

再对折一次得图（3）,然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（

A.◊

【变式4]（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，在4x4的正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方

（1）若将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，涂法共有一种.

（2）请在备用图中至少画出具有不同对称轴的三个方案，并画出对称轴.

J题型二轴对称的性质与应用

【例题1】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，若A48C与△ABC关于直线对称，BB1交MN于

点O,则下列说法不一定正确的是（）

A.AC=A.C；B.BO=BQC.CC,1MND.AB//BtCt

【变式11】（2023秋•江苏南京•八年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，RtAABC中，

^ACB=90,NA=55,将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为C。，则4'/汨=（）

C.20D.10

【变式12]（2023秋・江苏•八年级专题练习）将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开.如果/1=66。,

2V

✓

1A/

C.52°D.无法确定

【变式13】（2023・江苏•八年级假期作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,每个小

正方形的顶点叫做格点.网格中有一个格点AABC（即三角形的顶点都在格点上）.

（1）在图中作出AABC关于直线/的对称图形的46（要求点A与4，B与B],C与G相对应）.

（2）在直线/上找一点尸，使得AR4c的周长最小.

【例题2】（（2023春・全国•八年级专题练习）如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤

小队从A处出发，先到公路相上设卡检查，再到公路〃上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如

何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法.

___________________________nt

【变式21］（（2023•江苏•八年级假期作业）如图，直线/是一条公路，A、2是两个村庄•欲在/上的某点

处修建一个车站，直接向48两地提供乘车服务.现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道

路，则铺设道路最短的方案是（）

•B

【变式22】（2023春・江苏•八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，ZB=ZD=90°,/C=50。，在

BC、CD边上分别找到点M、N,当AAMN周长最小时，/AMN+/ANM的度数为

线段的轴对称性

ci题型三

【例题1]（2023•全国・单元测试）如图，在A/IBC中，AB=AC20cm,DE垂直平分4B,垂足为E,交"

于点。，若ADBC的周长为35cm,则BC的长为（）

A.5cmB.10cmC.15cmD.17.5cm

【变式11]（2023•湖南省・单元测试）如图，等腰△4BC的底边BC长为4,腰长为6,EF垂直平分4B,点P为

直线EF上一动点，贝UBP+CP的最小值（）

【变式12]（2023秋•江苏无锡•八年级校联考期末）在4ABC中，48的垂直平分线分别交4B、BC于点D、

E,4C的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,若NE4G=30°,则NB4C=°.

【变式13】（2023秋・江苏•八年级专题练习）三个村庄A、B、C（其位置如图所示）准备修建一口水井,

要求水井到三个村庄的距离相等，水井应该修在什么地方呢，你能找到吗？（写出作法，并保留作图痕迹）

A

BC

【变式14】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，在AABC中，4B的垂直平分线EF交BC于点E,交力B于

点F,D为线段CE的中点，且=

A

(1)求证：AD1BC；

(2)若NC=70°,求ABAC的度数.

【例题2】（2023•陕西省渭南市•模拟题）如图，4。是AZBC的角平分线，DE,。尸分别是△4BD和△4CD的

高.求证：4。垂直平分EF.

【变式21】（2022•广西梧州•梧州市第一中学校考三模）将长方形纸片沿AC折叠后点8落在点E处，则

B.AC1BES.AC=BE

C.AC1BED.AC1BE且力C平分BE

【变式22】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，在AABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、

E.

(1)若BC=10,求AADE的周长；

(2)设直线DM、EN交于点O

①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由;

②若/BAC=100。，求NBOC的度数

【例I题3】(2023•甘肃陇南•统考二模)今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年.十年来，我国与

151个国家、32个国际组织签署了200余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源建设、交通

运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息.如图，北京与雅典、莫斯科建立了

“一带一路”贸易合作关系，记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建一个货物中转仓，使其到

A,B,C三地的距离相等，那么如何选择中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置P,保留作

图痕迹，不用说明理由，并在答题卡上描黑作图痕迹.

【变式31】(2023秋・江苏扬州•八年级统考期末)如图，已知△ABC{AB<BC<AC),用尺规在AC上确

定一点P，使PB+PC=4C,则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是(

A.B.

A

D.

【变式32]（2023春•河南平顶山•七年级统考期末）如图2,一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄4和B,

现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P,使站点P到两个村庄4和B的距离相等.请你用尺规作图找出点

P的位置，不写作法，保留作图痕迹.

.B

4

MN

信府丁角的轴对称性

【例题1】（2021.福建泉州.八年级南区中学校考期中）如图，在AA8C中，ZC=90°,ZCAD=ZBAD,

。£_148于£,点尸在边4。上.

（1）求证：DC=DE；

（2）若AC=4,AB=5,且AABC的面积等于6,求。E的长.

【变式11】（2023春・江苏•八年级开学考试）如图，在R3A8C中，ZC=90°,AD是NBAC的平分线.若

AC=6,AB=10,贝!JSMBD：S4ACZ）为（）

A.5：3B.5：4C.4：3D.3：5

【变式12】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，OP平分N40B,PA±OA,PBLOB,垂足分别为A,

B,下列结论中不一定成立的是（）

A.PA=PBB.P。平分乙4PBC.OA=OBD.4B垂直平分。P

H列题2】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA.

OB,拟在MN上建造一个大型超市，使得它到04、。8的距离相等，请确定该超市的位置P.

【变式21］（2023秋•江苏•八年级专题练习）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，

如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选

的位置有（）

【变式22］（2023春・山东淄博•七年级统考期末）如图，某地有两个村庄M,N,和两条相交的公路04

OB,现计划在N40B内修建一个物资仓库P,希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，

请你确定物资仓库P的位置.（保留画图痕迹，不写画法）

【例题3】（2022春・湖南娄底•八年级统考期末）如图，己知EF1CD,EFLAB,MNLAC,M是EF的

中点，只需添加，就可使CM,4M分别为“CD和NC4B的平分线.

【变式31】（2020秋.河南南阳•八年级校考阶段练习）如图，已知点尸到AE、AD,2C的距离相等，下

列说法：

①点P在ABAC的角平分线上；②点尸在NCBE的平分线上；③点尸在NBCD的平分线上；④点尸在ABAC,

乙CBE,NBCD的平分线的交点上.

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式32］（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，四边形力BCD中，NB=NC=90。，E是BC的中点，DE

平分NADC.

⑴求证：2E平分乙84。；

（2）判断力B、CD、4D之间的数量关系，并证明;

（3）若力。=10,CB=8,求SNDE•

江题型五等腰三角形的轴对称性

【例题l】（2023秋•江苏常州•八年级统考期末）如图，在AABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。在BC上，

且=则NC4D的度数为（）

A

:

BDC

A.30°B.25°C.22.5°D.21°

【变式111（2023秋.江苏宿迁.八年级统考期末）如图，在△ABC中，AC=BC,ZC=50°,

点尸在线段AC上且不与A、C重合，则NBPC的度数可能是（）

C

A

AB

A.60°B.65°C.80°D.130°

【变式12】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，在3x3的正方形网格中,点A,B在格点上，若点C

也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点。的个数为（）

A

ixn

B

A.1B.2C.3D.4

【变式13】（2023秋・河南省直辖县级单位•八年级校联考期末）在中，点。,E是边BC上的两点.若

AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE；

A

【例题2】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，在AABC中，ZA=36°,AB=AC,平分NA8C,则

图中等腰三角形的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式21】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，在△力BC中，48=AC,Z.BAC=108°,

点。在4C的垂直平分线DF上，AE平分NBAD,则图中等腰三角形的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【变式22】（2023春•江苏淮安•八年级统考期末）如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图,

把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（）

【变式23】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，A/IBC中，。为4C边上一点，DE14B于E,ED的延

长线交BC的延长线于R且CD=CF.

A

E,

D

BCF

(1)求证：△4BC是等腰三角形；

(2)当4尸=度时，AABC是等边三角形？请证明你的结论.

【变式24](2023秋・江苏•八年级专题练习)已知：如图△4BC中4B=6cm,AC=8cm,BD平分乙4BC,

CD平分乙4CB,过。作直线平行于BC,交AB,AC于E,F,

(1)求证：ADFC是等腰三角形;

(2)求A4EF的周长.

【变式25】(2023秋・江苏南京•八年级统考期末)如图，已知线段a,b.

求作：等腰△ABC,使得△ABC的底边等于a,底边上的高等于瓦(要求：尺规作图，不写作法，保留

作图痕迹，写出必要的文字说明)

Q题型六等边三角形的轴对称性

【例题1】(2023秋・江苏•八年级专题练习)已知，如图，△力BC为等边三角形，AE=CD,AD.BE相交

于点P.

(1)求证：AAEBCDA；

⑵求NEPQ的度数；

（3）若8Q，力。于Q,PQ=7,PE=3,求BE的长.

【变式11】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，4。是等边△力BC的中线，AE^AD,贝此EDC的度数

C.25°D.15°

【变式12】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，△ABC是等边三角形，4D平分ABAC,若BD=3,则

4B的长为（）

C.6D.7

【变式13】（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，△ABC为等边三角形，点。是BC边上异于8,C的任

意一点，DE14B于点E,DF14C于点孔若BC边上的高线力M=2,贝！|DE+DF=

【例题2】（2023秋・江苏•八年级专题练习）下列推理中，不能判断△力BC是等边三角形

的是（）

A.Z.A=Z-B=Z.CB.AB=AC,Z.B=60°

C.44=60°,=60°D.AB=AC,且=(C

【变式21］（2023秋・江苏•八年级专题练习）如图，在4ABC^,AB=AC,D是边8c上的中点，若NB4D=

30°,BD=2,则△ABC的周长为（）

C.10D.12

【变式22】（2023春・全国•八年级专题练习）如图，C为线段4E上一动点（不与点4E重合），在4E同侧

分别作等边△ABC和等边ACDE,4。与BE交于点。，2D与8C交于点P,BE马CD交于点Q,连接PQ,下列

结论错误的是（）

A.AD=BEB.乙DOE=60°C.DE=DP