江苏省南京市某中学2024-2025学年高三年级下册4月调研数学试题（含解析）

江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高三下学期4月调

研数学试题

一、单选题

L]2025~~7=（）

1—1

A.iB.-iC.1+iD.-1+i

2.已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为：个圆，则该圆锥的母线长为（）

A.4B.272C.4VID.872

3.记邑为等差数列｛4｝的前”项和，公差d>0,且％）20/2021<0,则S”取得最小值时〃

为（）

A.2021B.4039C.2020D.4040

4.4知圆（x-1?+（y-l）2=9上的点P到直线3x-4），+7=0的距离为1,则满足条件的点

产的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.设。=lnO.9/=—g,c=e"9,贝巾（）

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

6.男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相

邻，则不同的排法种数为（）

A.36B.72C.144D.288

7.已知函数/l（x）=2sin®x+9）,如图，4B是直线广近与曲线了=/（x）的两个交点，

8.直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为『的小球，全部

放进棱长为8+46的正四面体盒子中，贝k的最大值为（）

13

A.—B.1C.-D.2

22

、多选题

9.已知椭圆C:封+片=1(。>6>0)的左、右焦点分别为耳外,43为椭圆C上关于原点对

/b2

称的两点,且M@=|耳居则()

A.AF,1AF2

B.四边形/耳台鸟的周长为4a

C.四边形/耳台鸟的面积为〃

D.椭圆C的离心率的取值范围为[*,1)

10.函数/(x)=〃e“-Inx的图象可以是()

A.B.

A.%=9

B.｛。,｝是单调递增数列

C.若一为数列/的前”项和,则看<1

[(“+1)3J

D.若对任意“eN*,都有(-W。“+|,则-3W241

三、填空题

12.二项式的展开式的常数项是

一,x>0,

13.已知。>0,函数/'(x)=<xg(x)=ax-a,若函数尸(x)=/(x)-g(x)有三个

ax2+x,x*0.

零点，则实数。的取值范围是

22

14.已知双曲线C:二-4=l(a>0,6>0)的右焦点尸，过点厂作直线/交双曲线C左右两

ab

支于48两点，且方=2而，过点p作直线/的垂线交双曲线c于点“，若点A、M两

点关于原点对称，则双曲线C的离心率为.

四、解答题

TT

15.如右图所示，五边形Z2CED中，ZCBA=ZBAD=ZCDE=-,BA=AD=DE=1,

2

连接3D、CD,将三角形和COE分别沿AD、CD折叠，使点/和点£重合，将重合

的点记作点P.

(2)若面尸BC与面D8C的夹角余弦值为且，求8c的长.

7

16.在V/BC中，角/、B、C所对的边为a、b、c,且

.「C+B.-C—B

smCcosAAcos-------=sin2AAsin--------.

22

7T

(1)若4=7,求角。的正切值；

2

a2-h2

(2)求的取值范围.

ac

17.某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对

其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，

得到数据如下表：

零件直径(单位：厘米)[1.0,1.2)[1.2,1.4)[1.4,1.6)[1,6,1.8)[1.8,2,0]

零件个数1025302510

己知零件的直径可视为服从正态分布〃，4分别为这100个零件的直径的平均

数及方差(同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表).

参考数据：70^52^0,228;若随机变量&则尸(〃-bVJV〃。0.6827,

尸(〃一2bVJV〃+2(?)“0.9545,尸(〃一3bVJV〃+3b)。0.9973.

(1)试估计这批零件直径在［L044,1.5］的概率；

(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间［121.4)内的零件个

数为Z,求Z的分布列及数学期望；

(3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率

的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3,乙机器生产的零件的次品率为0.2,现从这批

零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.

2222

18.如图1,曲线「是3+方=1(7")与方-?=l(y刈组合的.

(I)[+*1(好0)过点“I；求『9=20)的渐近线方程；

■B1

(2)b=42,设T(OJ),-芋3五,曲线r上找一个点。，使得|再|达到最小；

(3)若6=1,如图2,存在过点尸(0,1)的两条直线小乙与曲线「的交点分别是点A、点

M、点、B、点N,点A在第二象限，点M在第一象限.是否存在非零实数彳使得

疝=彳益成立，请说明理由.

19.函数y=〃x),其中/(x)=/-尤2+；X+；,定义域是一切实数.

(1)计算lim/(2+人)-/(2)的值并指出其几何意义；

力-0k

(2)当时，方程/(x)="+x只有一个解，求实数。的取值范围；

(3)设占=0,x“+]=y(x,),乂=：,%+1=〃匕)，bn=yn-xn.求证:

2=1

参考答案

1.【答案】B

，、*产”+1i2024i+l1+i(l+i)(-l-i)-2i

LTTMJ,2025「1(i-l)^l-i)2'

故选B

2.【答案】C

【详解】设圆锥的底面半径为『，母线为/,

由圆锥的侧面积公式可得5=兀〃=L兀解得/=4r,

4

因为厂=收，所以/=4".

故选C.

3.【答案】C

【详解】因为公差1>0,所以数列｛4,｝单调递增，所以。2020<。2021，又。2020，。2021<°，

所以％020<0，。2⑼>。，所以数列｛%｝前2020项全为负，从2021开始为正，

所以前2020项的和$2020为S”的最小值，故〃=2020.

故选C.

4.【答案】D

【详解】(x-iy+(y-l)2=9的圆心为(1,1),半径为r=3,

圆心。,1)到直线的距离为

故尸到直线3尤-4y+7=0的距离为1的点共有4个，

故选D

11_

【详解】记/(x)=lnx-x+l,贝1]r(x)=；-l=TY，

故当0<x<l时，/(力=->0,故/(x)在(0,1)单调递增,

当x>l时，/(x)=?<0,故/(无)在(1,+⑹单调递减，

故/(x)=lnx-x+lV/(1)=0,因止匕对任意的x>0,都有InxWx-l,

当且仅当x=l时取到等号，

^ln—<-,故-ln2<L=ln0.9>-L,故a>6,

991099

由于a=ln0.9<0,b=-"<0,c=e0,9>0,因止匕c>a>6,

故选A

6.【答案】B

【详解】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站

中间，

不同的排法种数为C；A；C；A；=36；

同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为36.

根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为36+36-72.

故选B.

7.【答案】B

【详解】根据/⑼=2可得sin°=l,故夕=92也左",故

/(x)=2sin[6K+^+2《7i]=2cos〃,

令/(%)=2coscox=41,故o)xx=—+2kn或o)x2=-----F2kit,kGZ,

_兀兀

—

结"n'图象RE知（X）XA——+2TI,COXB——+271,

因此创二/—巧=—,故。=2,

2G4

因此/(X)=cos2x,故/2cos兀二一2

故选B

8.【答案】D

【详解】根据题意利用正四面体的性质得出棱长与高之间的关系，再由10个球在正四面体

盒子内部摆放规则以及内切关系，利用三角形相似即可求得〃的最大值.

如图所示，

因为正四面体的高等于其棱长的逅倍，所以其高为/o=8+选.

33

10个半径为『的小球放进棱长为8+4指的正四面体4-38中，成三棱锥形状，有3层,

则从上到下每层的小球个数依次为1,(1+2),(1+2+3)个，

当「取最大值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，

底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，

位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体

则该正四面体E-bGH的棱长为尸+2/+尸=4r,

可得正四面体E-FG”的高EP=4rx"=小昼.

33

连接。。并延长交3c于点“，连接过点E作于点N,

易知AAOMSAANE,AM=DM=3MO,所以"=坐=3,

NEMO1

所以/E=3NE=3r,

所以正四面体力-BCD的高4O=/£+EP+尸。=>+生回驾厂=8+—,

33

解得r=2,所以〃的最大值为2.

故选D.

9.【答案】ABD

【详解】依题意，/用月片互相平分，且|/同=闺闾，则四边形/大8工是矩形，令其半焦

距为c,

对于A,AFX±AF2,A正确；

对于B,四边形/月88的周长为|2月|+|4月|+|出"+旧月|=4a,B正确；

对于C,四边形/月8月的面积为

2s」4尸||"|一("同+叫)―(%/问/『)_2/2c2一2齐C错误；

对于D,由以原点为圆心，C为半径的圆与椭圆有公共点，得cNb,即°2262=/一°2,

解得即离心率ee［交,1),D正确.

a22L2

故选ABD

10.【答案】ABD

【详解】当°=0是，/(x)=-lnx,故A符合;

当.<0时，/'(力=*-111%在(0,+力)上单调递减，且/⑴=ae-lnl<0,故B符合;

当。>0时，由/(X)=讹=:为(0,+司上的单调递增函数，

令/''(x)：。，贝!］展工一,=0,gpa=—,

xex-x

因为y=e'-x,可得y'=e'(x+l)>0,所以y=e，x在(0,+句上的单调递增函数,

所以y=e，・x>e°x0=0,所以。=［一有唯一解/e(0,+℃),

e-x

当(0用)时,/，(x)<0,当(%,+oo)时,fr(x)>0,

所以函数/(x)在(0,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，故D正确.

故选ABD.

11.【答案】ABC

/\"N3n

【详解】由3加〃=(〃+l)Q〃+i,可得---=----,

〃十［

故％=2.也...生q=3(〃-1)3(-2)…之"但为上，

an_xan_2%nn—\32n

4=3也符合，

3

3〃3后

故ci——,4———9,A正确,

nn3

由于簧=湛=1+三］>1,故。，用>%,因此｛%｝是单调递增数列，B正确,

3"

1

=17==1__,

(及+1)3〃优+1)3"(〃+1)n〃+1

1

=1----<1C正确,

n+1

由(一以―定(TK尊=33=3『占］,

当"为偶数时，则”小-士》成立，由于〃加1-贵单调递增，故

由于-±单调递增,

恒成立,故

3

故对任意〃wN*,都有Va“+i，则-5W/IV2,故D错误,

故选ABC

⑵【答案吟

令---3=0,解得左=2,

2

所以展开式的常数项4=晨,^2=?•

13.【答案】fo,1

【详解】因为函数尸(x)=〃x)-g(x)有三个零点，即方程/(X)-g(x)=o有三个解,

当x>0时，方程为一="-。，BP1=ax2—ax<即4-办-1=0,

因为。>0,所以A=(-a)2+4a>0,所以方程有两个根，又

所以ox?-ax-l=0有一个正根与一个负根，

又x>0,所以尸(x)=/(x)-g(x)有一正的零点，

当时，方程为一+x=QX-Q,即办2+(1-Q)X+Q=0

因为函数/3=/(x)-g(x)有三个零点，所以方程办2+(1-〃卜+。=0有两个非正根,

A=(l-a)2-4a2>0

^>0

所以，解得——,又Q〉0,所以°<。<一,

a33

->0

,a

所以实数0的取值范围是

14.【答案】45

【详解】设另一个焦点为片，连接耳4耳瓦耳设忸尸|=机，则|[8|=2〃7,

由双曲线的定义可得忸£|=忸尸|+2<2=〃2+2见|/周=|/目-2々=3"7-2。,

由双曲线的对称性可得。是的中点，也是耳尸的中点，

所以四边形/耳儿牛是平行四边形，

因为所以四边形疝宰即为矩形，

所以/月，/8,

所以在Rt△耳48中，\BF^=\AB^+\AF^\,

所以（阴+20）2=（3加-2a）2+47M,，化简得w=ga,

在Rt△/“/中，=|/歹『+|/£「，贝！14c2=9/+（3加-24，

所以4c-=9x-^-a2+（4。—2a）-=20a",得c2=5a2>

所以c=y/5a>

所以离心率e=£=石.

15.【答案】（1）证明见解析

（2）4

TT

【详解】（1）由=,切=/。=1知

2

BD=4i，ZABD=45°,ZDBC=45°,

由ZDBC=45。，结合余弦定理得DC?=2+4-2x应x2x注=2,

2

则瓦=4=802,所以AD_LCZ）,

又因为。E/CD,即DPLCD,又由。尸CAD=。,。尸,8。u平面尸80,

所以CD_L平面PAD,又因为P8u平面P3D,所以CD_LP8,

以5为原点，以平面5CO为平面。中，建立如图所示得空间直角坐标系,

有。（1,1,0）,设C（〃,0,0）,p（m,n,k）,

可得BP=（m,几,k）,DP=（m—1,n-1,®,DC=（BC=（a,0,0,,

由网=1(m,n,砌=J缶+“+A2=1|^5^m—1,n—1,即冽_/+n-丫+乃=’两式消

元可得加+〃=1,

再由5尸•。尸=0=(加，〃㈤•(加一1,〃一1,q=0=>肩-m+n-n+k=(,

再由丽•比=1—1,—1,0卜0=R—1)Q—1:4—1}0,

设面尸5C法向量为々=(x,y,z),

则3,BP=Gfmx+ny+kz=0

]

[4,前=0[ax=0

令》=左，则、=0,z=-n,则々=（0,左,一〃）,

而平面BCD法向量为第=（0,0,1）,

一一|(0,0,1)-(0,A:,-H)_-nV7

由,I际i4西HtFK丁

整理得：k2=6n2,

代入〃72-〃？+〃2-〃+产=0可得切2-机+7力2-"=0=>加2+7〃2=1，

1

n=—

4个n=0

再与%+〃=1联立解得：，3或

m=l

m=—

4

1

n=—

:时，代入(洸-1)("1)-(1)=0=l-lj=0^a=4

当1-1

m=­

4

n—0

当一，时，代入(加-l)(a-l)-(〃-l)=On(l-l)(a-l)-(O-l)=Onl=O,所以此时不

m=1

成立，则舍去,

综上可得2C=4.

16.【答案】（1）1

（2）（0,2）

【详解】(1)代入4=巴，所以cosZ=0,sin=1,即0=sinC—―

22

因反CeOg，则C-Be4,

7T

所以C-3=。，故。=八"贝hanc=l.

(2)由题可得：sinCcoscos———=sin2Asin———

BPsinCcosAsin—=sin2Asin———

22

口口.「.4A...C—B

艮JsinCsin-cosZ=2sin—cos-smAsm-------

2222

因为HAJ0,—71|,所以sinW。。,则sinCcosZ=2sin/cos'sin^~~—

22(22)222

因为cos且=cosL('+C=cos7iB+C.B+C

=sin-------

22222

C+B.C-B

则sinCcos4=2sin-------sinsin/,

22

C+BC-BC+BC-B

因为cosB-cosC=cos-cos+-------

2222

C+BC-B.C+B,C—B(C+BC-B.C+B,C-B

=cos-------cos---------Fsin-------sin----------cos---------cos----------sm--------sm--------

2222(2222

c.C+B.C-B

=2sin------sin--------,

22

贝ijsinCcosA=sin4(cosB-cosC),gpsinCcosA+sinAcosC=sin4cosB,

故sin(力+C)=sin8=sin4cosB,

TTTT_

若Bw—,贝！JsinZ=tan5；若5=一,则sin5=sin/cos5=0,矛盾,

22

故sinZ=tanB,

则a2-b2_sin2A-sin2B_tan2B-sin2B_tan5-sin5cos5tanB(1一cos28)

acsin/sinCtan5sinCsinCsinC

tan5sin2Btan5sin8_tanBsin8sin4sin上

sinAcosB+sinBcosAsinAcos5+sin5cosA..1,1+cosZ，

------------------------------sinA-----------+cosA

sinBtanB

7t.24242/24

4sm-cos—44tan—4tan

_____________2222-

.4.^44.7-1

A2%tan4^-+1+6tan22V.A

sin——FCOS——I-6sin—cos-1+tang+4tan2—

2222I2)2

因为1+?+[=[3+3]-8,因为te(0,+oo),le(O,+e),

tt\tJt

14

所以1+3+万>1,所以1,61，61，

ttI+N+RI+N+工

故^^的取值范围为（0,2）.

ac

17.【答案】（1）0.47725

（2）分布列见解析，1

（3）—.

11

【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得

jiZ=-l-x(10x1.1+25x1.3+30x1.5+25x1.7+10x1.9)

=j^x[10x(l.1+1.9)+25x(13+1.7)+30xl.5]=j^xl50=1.5.

4」x10x(11一1.5)2+25x0.3-1.5)2+30x0.5-1.5)2+25x0.7-1.5)2+10x(1.9-1.5)1

100

ii

=一x[10x0.16+25x0.04+30x0+25x0.04+10x0.161=—x5.2=0.052.

100L」100

故〃=1.5,o-2=0.052.

设J表示零件直径，则"N3b2),即CN(L5,0.052).

贝!jP(〃一2cr4l4〃+2cr)=尸(L5-2x0.2284141.5+2x0.228)=0.9545,

2尸(1.044<^<1.5)=0.9545,即P(1.044<^<1.5)=0.47725.

(2)由题意知，这批零件直径在[121.4)的概率为，

Z的取值范围为{0,1,23,4},

4

3

则尸(z=o)=c：

4

3

3

尸(Z=l)=C；

2

3

尸(Z=2)=C；

4

因为Z服从二项分布，则z的数学期望E（z）=4x；=l.

（3）设"抽取的零件为甲机器生产"记为事件4,"抽取的零件为乙机器生产"记为事件4,

"抽取的零件为次品"记为事件B,

则尸（4）=1，P⑷=：,P（5|4）=0-3,尸（叫4）=0.2,

3111

则尸（B）=P（4）P（M4）+尸（4）尸（可4）=丁0.3+丁0.2=新，

3

X03

P（A⑶d（48）P（4）尸（即4）_4-_.2

（11P（B）~P⑻-11~11

40

所以这个零件是甲机器生产的概率为彳9.

18.【答案】（1）y=金x

2

（2）0（0,收）

（3）答案见解析，理由见解析

【详解】⑴将点卜,1］代入］+/=1,得:+—=1，得〃=3,

所以渐近线方程：y="x.

2222

(2)因/,=拒，则\+'=1(>20),三一3=1(夕20),

_

历］_22

①当fe-芋近时，即取到最小值时，点Q一定在》+、=1（＞叫上,

设点0(x,y),贝Ijx2=4'-；｝ovy<也)，

贝眼卜6+(yT)2=J4』+产列+〃=3/+小4+》gy<

当”一孝时，贝打=0或4时，|次|取最小值半，止匕时0（±2,0）或。但四b

当-曰也时，当好夜时，网取最小值亚t,止匕时0（0,回；

22

②当北（a,3四］时，|行|取到最小值时，点。一定在?_?=1（了20）上，

设点0（x,y）,贝汁/二彳^一篇了3e），

则|7@=J2y2_4+/_24+〃+^t2-4（^y>V2j,

因也则也应，

33

故当片后时，|/|取最小值此时0（0,亚）.

综上可知，曲线r上存在点0（0,8），使得|逝|达到最小.

（3）设4：y=£x+l,l2:y=k2x+l,

设/（士,%）,5（了2，%）,河（工3，%），"（匕,居）

y=左、1+1

由，

IT+>,=1

y=k2x+1

由，x\.

---FV2=1

4/

fx+1_瓯

°<用<5j,则〃

由，丫2得z=-M-

y2--=134^-1

4

y=k2x+1

—8左2-；〈左2<。］,则N8月一4.一1

由，x2，得A=

24^2-14修-1'4^2-l

>F=i2

一4婿+1—4勾？+1

H_4婷+14左2?+1_（-4始+1）（4片+1）-（-41?2+1乂4始+1）

川AB~叫-此一（-8^）（4V+l）-（-8^）（4^2+l）

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