专题1.4（1）特殊平行四边形（全章知识梳理与考点分类讲解）（北师大版）

专题1.4（1）特殊平行四边形（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】【知识点1】菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、菱形的性质（1）边：四条边都相等.对边平行.（2）角：对角相等.（3）对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角.（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴.3、菱形的判定（1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形.（3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形.4、菱形的面积菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半.【知识点2】矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2、矩形的性质（1）边：对边平行且相等.（2）角：四个角都是直角.（3）对角线：对角线相等且互相平分，对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴.3、矩形的判定（1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形；（3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形.【知识点3】正方形1、正方形的定义有一组邻边相等,并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形.2、正方形的性质（1）边：四条边都相等.对边平行.（2）角：四个角都是直角.（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）.（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴.3、正方形的判定（1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形.（2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形.（3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形.（4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.（5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.【题型目录】【夯实基础】【考点一】特殊平行四边形性质与判定的理解..........................................................................................3【题型二】特殊平行四边形判定的理解.............................................4【考点二】菱形性质与判定【题型三】利用菱形的性质与判定求值与证明.......................................7【题型四】菱形的性质与判定与一次函数综合......................................11【题型五】菱形的性质与判定与几何变换综合......................................15【考点二】矩形性质与判定【题型六】利用矩形的性质与判定求值与证明......................................22【题型七】平面直角坐标系背景下的矩形的性质与判定..............................26【题型八】矩形的性质与判定与几何变换综合......................................30【考点三】正方形性质与判定【题型九】根据正方形的性质与判定求值与证明....................................34【题型十】正方形的性质与判定与一次函数综合....................................38【题型十一】正方形的性质与判定与几何变换综合..................................43【拓展延伸】【题型十二】特殊平行四边形与动点问题..........................................47【题型十三】特殊平行四边形与存在性问题........................................53【题型十四】特殊平行四边形与探究性问题........................................63第二部分【题型展示与方法点拨】【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4.【考点一】特殊平行四边形性质与判定的理解【题型一】特殊平行四边形性质的理解★★【例题1】（2425八年级下·福建南平·期中）下列说法中不正确的是（

）A．平行四边形的对角线互相平分 B．四边相等的四边形是菱形C．矩形的对角线互相垂直平分 D．正方形是特殊的矩形【答案】C【分析】本题考查了正方形、菱形、平行四边形和矩形的性质，熟练运用菱形、正方形、矩形和平行四边形的判定是本题的关键．利用菱形、正方形、矩形和平行四边形的判定可求解．解：A、平行四边形的对角线互相平分，选项说法正确；B、四边相等的四边形是菱形，选项说法正确；C、矩形的对角线互相平分且相等，选项说法错误；D、正方形是特殊的矩形，选项说法正确；故选：C．★★【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（

）A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直【答案】D【分析】根据矩形，菱形的性质，轴对称图形，多边形内角和，依次判断选项即可求解．解：A.菱形对角线相互垂直，但不一定相等，故A为假命题，故A选项错误；B.矩形的对角线相等，但不一定垂直，故为假命题，故B选项错误；C.平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故C为假命题，故C选项错误；故选：D．【点拨】本题考查了真假命题的判断，矩形，菱形的性质，轴对称图形，多边形内角和，熟练掌握相关知识点的性质定理是解题的关键．★★【变式2】（2425八年级下·重庆·期中）下列说法不正确的是（）A．正方形的对角线相等且互相垂直平分B．菱形的四条边都相等C．矩形的对角线相等且互相平分D．平行四边形、矩形、菱形都是轴对称图形【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，根据正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，即可逐一判断．解：A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，故该选项正确，不符合题意；B、菱形的四条边都相等，故该选项正确，不符合题意；C、矩形的对角线相等且互相平分，故该选项正确，不符合题意；D、平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形都是轴对称图形，故该选项不正确，符合题意；故选：D．【题型二】特殊平行四边形判定的理解★★【例题2】（2425九年级上·广东茂名·期末）下列命题正确的是（

）A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形【答案】D【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项正确，符合题意．故选：D．★★【变式1】（2425九年级上·山西运城·期末）下列叙述正确的是（

）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法依次判断即可．本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法是解题的关键．解：A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是梯形，故A选项错误，不符合题意；B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；C.对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；D.对角线互相垂直的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意．故选：D．【答案】B故选B．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握判定方法是解答本题的关键．【考点二】菱形性质与判定【题型三】利用菱形的性质与判定求值与证明（1）求证：与相互平分．【答案】（1）见分析；（2）【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．菱形的判定与性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．∴与相互平分．A．12 B． C．16 D．【答案】D解：由作法可得：垂直平分，故选：D．

【答案】解：延长、交于H，连接，故答案为：．【题型四】菱形的性质与判定与一次函数综合本题是一次函数综合题，考查了新定义、菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．点在第三象限，

A．12 B．15 C．16 D．20【答案】D故选：D．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质和一次函数解析式的求法，解题关键是利用菱形性质求C的坐标．解：设菱形的两条对角线相交于点D，如图，故答案为：．【题型五】菱形的性质与判定与几何变换综合★★【例题3】（2025·河南信阳·二模）综合与实践课上，小颖和小亮借助某数学软件在平面直角坐标系中对三角形的平移与旋转进行了如下探究，并得出了一些结论，请你补充完整．【研究背景】【平移探究】①填空：点D的对应点的坐标为___________，点B的对应点的坐标为___________；【旋转探究】【分析】平移探究：旋转探究：解：平移探究：旋转探究：如下图，连接，（3）连接，如图，∵点M为中点，①当直线经过第一、二、四象限时且经过点时，如图，②当直线经过第一、二、三象限时且经过点时，如图，【点拨】本题主要考查了坐标与图形、旋转的性质、平移的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键．【答案】A由题意，当旋转到时，则E与关于原点对称，旋转到时，与关于原点对称，旋转到即点E的位置，每4次旋转一个循环；∵点E在第一象限，且是顺时针旋转，∴点在第四象限，故选：A．【点拨】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点对称的坐标特征，找到规律是解题的关键．∵是的中点当取最小值时，有最小值，连接，【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠与轴对称，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用轴对称求最值是解题的关键．【考点二】矩形性质与判定【题型六】利用矩形的性质与判定求值与证明【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A∵G是的中点，∵垂直平分，故选：A．【点拨】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长．（1）线段和的数量关系为；【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．（1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解；故答案为：12【题型七】平面直角坐标系背景下的矩形的性质与判定（1）直接写出点D和点E的坐标：D（），E（）；（2）求直线的表达式；（2）由待定系数法可求出直线解析式；（3）求出直线的解析式，可求出点的坐标，由三角形面积可得出答案．故答案为：4，8；0，5；【点拨】本题主要考查了翻折变换、勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形，直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解答本题的关键；，∵与轴的夹角为，故选：D．【答案】或【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，合理作图是关键．根据题意，由矩形的性质，角平分线的定义，等要三角形的判定和性质，分类讨论即可．综上所述，点到原点的距离为或，故答案为：或．【题型八】矩形形的性质与判定与几何变换综合【分析】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质．解：（1）证明：如图，连接，

（2）解：连接，A．6 B．2 C．12 D．1【答案】A故选：．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．∵折叠，∵点G平分，∵点E是的中点，故答案为：．【考点三】正方形性质与判定【题型九】根据正方形的性质与判定求值与证明【分析】此题考查的是正方形的判定与性质、菱形的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．（3）利用勾股定理及四边形周长公式计算可得答案．∵点E为的中点，∵点D为的中点，

【答案】C∴第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点，∵图中拐点的纵坐标4，故选：C．【答案】40或88【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，四边形面积的求法，分两种情况进行讨论，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键．

故答案为：40或88．【题型十】正方形的性质与判定与一次函数综合（1）以为边作一个正方形．【答案】（1）图见详解；（2）图见详解．【分析】本题主要考查了无尺规作图及一次函数的图像，熟知相关性质是正确解答此题的关键．（1）由正方形的对角线互相垂直平分，四条边相等这些性质，在的左上方、右下方作出正方形即可；点即为所求．

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键．

故选：D【答案】16【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，求一次函数与坐标轴的交点坐标，解本题的关键在熟练掌握相关的性质与判定定理．过点B作平行于，交于N，故答案为：16．【题型十一】正方形的性质与判定与几何变换综合

【答案】（1）见分析；（2）7【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．A． B． C．6 D．【答案】A【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数图象与几何变换，正方形性质，勾股定理等知识，由直线l与直线平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据的长即可得到a的值．解：∵直线l与直线平行，∴直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，故选：A．【拓展延伸】【题型十二】特殊平行四边形与动点问题【点拨】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．【答案】D故选：D．∵E是的中点，故答案为：；【点拨】本题考查正方形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，本题的综合性强，难度大，属于压轴题．熟练掌握相关性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．【题型十三】特殊平行四边形与存在性问题解：（1）解：如图：（3）解：存在，理由如下：【点拨】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．（1）求点的坐标．（2）求直线的解析式．（3）当点P在直线上运动时，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据解方程组，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程组，可得点C的坐标；（3）结合菱形的性质，分情况讨论：若P在x轴上方，若P在x轴下方，进行讨论即可得到答案．∵以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下：如图所示，∴为与轴的交点，如图所示，【点拨】本题考查一次函数、利用了待定系数法求函数解析式、利用平方根的含义解方程，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论，数形结合的方法的运用是解题的关键．（1）