高一预习-2.2基本不等式（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

2.2基本不等式【知识梳理】知识点一基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．知识点二几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.知识点三用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值应注意：一正二定三相等.(1)a，b是正数；(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．【基础自测】1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2【答案】D【详解】∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误.对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误.对于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时，“＝”成立.2．下列等式中最小值为4的是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝2t＋eq\f(1,t)C．y＝4t＋eq\f(1,t)(t>0) D．y＝t＋eq\f(1,t)【答案】C【详解】A中x＝－1时，y＝－5<4，B中t＝－1时，y＝－3<4，C中y＝4t＋eq\f(1,t)≥2eq\r(4t·\f(1,t))＝4，当且仅当t＝eq\f(1,2)时等号成立，D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C.3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．eq\f(7,2)B．4C．eq\f(9,2)D．5【答案】C【详解】∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1.∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(eq\f(a＋b,2))＝eq\f(5,2)＋(eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)(当且仅当eq\f(2a,b)＝eq\f(b,2a)，即b＝2a＝eq\f(4,3)时，“＝”成立)，故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为eq\f(9,2).4．已知0<x<eq\f(1,2)，则y＝x(1－2x)的最大值为________．【答案】eq\f(1,8)【详解】y＝x(1－2x)＝eq\f(1,2)·2x·(1－2x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq\f(1,8)，当且仅当2x＝1－2x，即x＝eq\f(1,4)时取“＝”．5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m．【答案】20【详解】设矩形花园的宽为y，则eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋40－x,2)))2＝400，当且仅当x＝20时，取等号，即当x＝20m时，面积最大．【例题详解】一、利用基本不等式比较大小【答案】D【分析】根据基本不等式的性质，结合作差比较法逐一判断即可.故选：D【答案】ABD【分析】对A、B：利用作差法分析判断；对C、D：根据基本不等式分析判断.故选：ABD.【答案】C故选：C.二、利用基本不等式求最值【答案】（1）4；（2）4.【分析】利用基本不等式结合条件即得.【分析】(=1\*romani)，(=2\*romanii)，(=3\*romaniii)构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.(6)求解下列各题：【答案】（=1\*romani）；（=2\*romanii）8.故y的最大值为；故y的最小值为8.【答案】(1)；(2)（2）将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值.【答案】(3)；(4)【答案】【答案】(6)；(7)【分析】（6）利用基本不等式求得的最大值．所以最大值为．三、用基本不等式证明不等式跟踪训练3设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac；【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.由题设得，本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.四、基本不等式在实际问题中的应用例4(1)某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（

）．A．36平方米 B．48平方米C．64平方米 D．72平方米【答案】C故选：C【答案】故答案为：.(1)写出关于的函数表达式；(2)求为多少时，有最小值，并求出的最小值．【分析】（1）根据为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和，即可建立函数模型．（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【课堂巩固】A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P【答案】B【分析】结合基本不等式、差比较法确定正确选项.故选：B【答案】D故选：DA．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值【答案】D【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.故选：D.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式计算求解.故选：A.【答案】C故选：C.【答案】ABD【分析】根据基本不等式及其性质，结合“1”的妙用以及对勾函数的性质，逐项进行分析判断即可得解.故选：ABD【分析】先分离参数，再运用基本不等式可求解.【答案】9.【分析】根据条件，将函数进行常数分离，并配凑成均值不等式的形式，再利用均值不等式即可求解.【答案】10．已知a＞0，b＞0，a+b＝3．（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.【课时作业】1．下列不等式恒成立的是（

）【答案】D【分析】对于A、B、C：取特殊值否定结论；对于D：利用基本不等式直接证明.故A错误；故B错误；故C错误；故D正确.故选：D【答案】C【分析】由基本不等式的性质进行逐一判断即可.故选：CA．6 B．8 C．10 D．12【答案】B故选：B.A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可故选：A．【答案】B故选：B．A．2 B．5 C． D．【答案】D【分析】直接由基本不等式求解即可.所以的最大值为.故选：D【答案】D故选：D．A．1 B． C． D．2【答案】B故选：B.【答案】AD【分析】应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.故选：AD【答案】ABC【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.故选：ABC．11．（多选）下列说法正确的有（

）C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.对于B选项，当x＞1时，x﹣1＞0，对于C选项，若正数x、y满足x+2y＝3xy，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项正确，，故选：BCD.【答案】CD【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.即AB错误，D正确.故选：CD14．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元，一年总的库存费用为万元，为了使总运费与总库存