2015年高考数学模拟题冲刺-答案隐藏

目录TOC\o"13"\h\z\u一、选择题的解法 3选择提分专练(1) 9选择提分专练(2) 12选择提分专练(3) 15二、填空题的解法 18填空提分专练(1) 24填空提分专练(2) 25填空提分专练(3) 26三、解答题的八个答题模板 27四、三角函数、解三角形、平面向量 47高考专题训练三角函数(解答题) 55五、立体几何 58高考专题训练立体几何(解答题)(理) 66六、概率与统计 69高考专题训练概率与统计(解答题) 79七、数列、不等式 82高考专题训练数列(解答题) 90八、函数与导数 93高考专题训练函数与导数(解答题) 105九、解析几何 108高考专题训练解析几何(解答题) 116十、专题训练 119专题练习一函数与导数 119专题练习二函数与导数 123专题练习三三角变换与解三角形、平面向量 127专题练习四数列与不等式 131专题练习五立体几何 135专题练习六直线与圆 140专题练习七圆锥曲线 143专题练习八排列组合二项式定理与概率统计 147专题练习九集合与逻辑用语、框图、复数、几何证明、坐标系与参数方程 151人大附中高三年级第二学期月考数学（理科）练习 156一、选择题的解法【题型特点概述】选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．方法一直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝eq\f(1,3)，且对任意正整数m、n，都有am＋n＝am·an，若Sn<a恒成立，则实数a的最小值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．2解析对任意正整数m、n，都有am＋n＝am·an，取m＝1，则有an＋1＝an·a1⇒eq\f(an＋1,an)＝a1＝eq\f(1,3)，故数列{an}是以eq\f(1,3)为首项，以eq\f(1,3)为公比的等比数列，则Sn＝eq\f(\f(1,3)1－\f(1,3n),1－\f(1,3))＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3n))<eq\f(1,2)，由于Sn<a对任意n∈N*恒成立，故a≥eq\f(1,2)，即实数a的最小值为eq\f(1,2)，选A.答案A将函数y＝sin2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得到的图象都与函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)的图象重合，则|m－n|的最小值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)

答案C解析函数y＝sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y＝sin2(x＋m)＝sin(2x＋2m)的图象，向右平移n(n>0)个单位可得y＝sin2(x－n)＝sin(2x－2n)的图象．若两图象都与函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)的图象重合，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝\f(π,3)＋2k1π，,2n＝－\f(π,3)＋2k2π，))(k1，k2∈Z)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(π,6)＋k1π，,n＝－\f(π,6)＋k2π.))(k1，k2∈Z)所以|m－n|＝|eq\f(π,3)＋(k1－k2)π|(k1，k2∈Z)，当k1＝k2时，|m－n|min＝eq\f(π,3).故选C.方法二特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例2(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．130B．170C．210D．260(2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A．3∶1 B．2∶1C．4∶1 D.eq\r(3)∶1解析(1)取m＝1，依题意a1＝30，a1＋a2＝100，则a2＝70，又{an}是等差数列，进而a3＝110，故S3＝210，选C.答案(1)C(2)B已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A＝60°，eq\f(cosB,sinC)·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(cosC,sinB)·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2m·eq\o(AO,\s\up6(→))，则m的值为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(2)C．1 D.eq\f(1,2)答案A解析如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，则有eq\f(1,\r(3))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,\r(3))eq\o(AC,\s\up6(→))＝2m·eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\f(1,\r(3))(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝2m×eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\f(1,\r(3))·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)meq\o(AD,\s\up6(→))，∴m＝eq\f(\r(3),2)，故选A.方法三排除法(筛选法)例3函数y＝xsinx在[－π，π]上的图象是()解析容易判断函数y＝xsinx为偶函数，可排除D；当0<x<eq\f(π,2)时，y＝xsinx>0，排除B；当x＝π时，y＝0，可排除C；故选A.答案A函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，a变动时，方程b＝g(a)表示的图形可以是()答案B解析研究函数y＝2|x|，发现它是偶函数，x≥0时，它是增函数，因此x＝0时函数取得最小值1，而当x＝±4时，函数值为16，故一定有0∈[a，b]，而4∈[a，b]或者－4∈[a，b]，从而有结论a＝－4时，0≤b≤4，b＝4时，－4≤a≤0，因此方程b＝g(a)的图形只能是B.方法四数形结合法(图解法)通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和等于()A．2B．4C．6D．8解析由f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|＋2cosπx＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|＝－2cosπx，令g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－2≤x≤4)，h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)，又因为g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，1≤x≤4，,2x－1，－2≤x<1.))在同一坐标系中分别作出函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|关于x＝1对称，又x＝1也是函数h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的对称轴，所以函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.答案C过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)答案B解析由y＝eq\r(1－x2)，得x2＋y2＝1(y≥0)，其所表示的图形是以原点O为圆心，1为半径的上半圆(如图所示)．由题意及图形，知直线l的斜率必为负值，故排除A，C选项．当其斜率为－eq\r(3)时，直线l的方程为eq\r(3)x＋y－eq\r(6)＝0，点O到其距离为eq\f(|－\r(6)|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(6),2)>1，不符合题意，故排除D选项．选B.方法五估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例5若A为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为()A.eq\f(3,4)B．C.eqC.eq\f(7,4)D．2解析如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2小，故选C项．答案C思维升华“估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB的面积小且大于其面积的一半．已知sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)(eq\f(π,2)<θ<π)，则taneq\f(θ,2)等于()A.eq\f(m－3,9－m) B.eq\f(m－3,|9－m|)C.eq\f(1,3) D．5答案D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值，再根据半角公式求taneq\f(θ,2)，但运算较复杂，试根据答案的数值特征分析．由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m为一确定的值，进而推知taneq\f(θ,2)也为一确定的值，又eq\f(π,2)<θ<π，因而eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，故taneq\f(θ,2)>1.选择提分专练(1)一、选择题1．设i是虚数单位，复数eq\f(a＋i,2－i)是纯虚数，则实数a＝()A．－2 B．2C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)2．设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}3．下列命题中，真命题是()A．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则”B．命题p：∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋1<0，则：∀x∈R，使得x2＋1≥0C．已知命题p，q，若“p∨q”为假命题，则命题p与q一真一假D．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－14．某校200名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．则成绩在[90,100]内的人数为()A．20 B．15C．10 D．55．函数f(x)＝|log2(x＋1)|的图象大致是()6．已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大面积是()A．6 B．8C．2eq\r(5) D．37．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()A．k＝eq\f(1,2)，b＝－4 B．k＝－eq\f(1,2)，b＝4C．k＝eq\f(1,2)，b＝4 D．k＝－eq\f(1,2)，b＝－48．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)29．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(15),6) B.eq\f(\r(15),4)C.eq\f(\r(15),2) D.eq\r(15)10．已知函数f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，则下列说法正确的是()A．f(x)有且只有一个零点B．f(x)至少有两个零点C．f(x)最多有两个零点D．f(x)一定有三个零点11．椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上有两个动点P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，则eq\o(EP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))的最小值为()A．6 B．3－eq\r(3)C．9 D．12－6eq\r(3)12．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sinx＋4cosx；④|x|＋1＝eq\r(4－y2).对应的曲线中存在“自公切线”的有()A．①② B．②③C．①④ D．③④选择提分专练(2)一、选择题1．若集合A＝{x|0≤x＋3≤8}，B＝{x|x2－3x－4>0}，则A∩B等于()A．{x|－3≤x＜－1或4＜x≤5}B．{x|－3≤x＜4}C．{x|－1＜x≤5}D．{x|－1＜x＜4}2．复数z＝eq\f(4－3i,1－2i)的虚部是()A．2 B．－2C．1 D．－13．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲、乙两组数据的中位数依次是()A．83,83 B．85,84C．84,84 D．84,83.54．函数y＝2|log2x|的图象大致是()5．已知a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)；④ba－c>ab－c.其中所有正确结论的序号是()A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④6．已知双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()7．如图所示的程序框图，输出的S的值为()A.eq\f(1,2) B．2C．－1 D．－eq\f(1,2)8．若由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤my＋n,x－\r(3)y≥0n＞0,y≥0))确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m的值为()A.eq\r(3) B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(5),2) D．－eq\f(\r(7),3)9．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(x)＋\f(1,x)))n的展开式中各项系数之和为125，则展开式的常数项为()A．－27 B．－48C．27 D．4810．(理)某研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A、B、C、D、E五个实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复．若上午不能做D实验，下午不能做E实验，其余实验都各做一个，则不同的安排方式共有()A．144种 B．192种C．216种 D．264种10．(文)已知函数f(x)＝cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)的部分图象如图所示，则ω的值为()A．2 B．3C．4 D．512．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：x－1045f(x)1221f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的命题：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中真命题的个数是()A．4 B．3C．2 D．1选择提分专练(3)一、选择题1．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是()A．所有奇数的立方都不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数2．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A．－2iB．2iC．－4iD．4i3．若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于()A．－1B．0C．1D．24．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A．y＝cos2x－sin2x B．y＝lg|x|C．y＝eq\f(ex－e－x,2) D．y＝x36．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，那么输入的实数x的取值范围是()A．{x∈R|0≤x≤log23}B．{x∈R|－2≤x≤2}C．{x∈R|0≤x≤log23，或x＝2}D．{x∈R|－2≤x≤log23，或x＝2}7．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,3)，kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)

8．设数集S＝{a，b，c，d}满足下列两个条件：(1)∀x，y∈S，xy∈S；(2)∀x，y，z∈S，且x≠y，则xz≠yz现给出如下论断：①a，b，c，d中必有一个为0；②a，b，c，d中必有一个为1；③若x∈S且xy＝1，则y∈S；④存在互不相等的x，y，z∈S，使得x2＝y，y2＝z.其中正确论断的个数是()A．1B．2C．3D．49．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()10．若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数y＝f(x)的图象上；②M，N关于原点对称，则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点对”．(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3xx>0，,－x2－4xx≤0，))此函数的“友好点对”有()A．0对B．1对C．2对D．3对

11．定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．312．已知函数f(x)＝2x－1(x∈R)．规定：给定一个实数x0，赋值x1＝f(x0)，若x1≤257，则继续赋值x2＝f(x1)；若x2≤257，则继续赋值x3＝f(x2)；……以此类推．若xn－1≤257，则xn＝f(xn－1)，否则停止赋值．已知赋值k(k∈N*)次后该过程停止，则x0的取值范围是()A．(27－k＋1,28－k＋1] B．(28－k＋1,29－k＋1]C．(29－k＋1,210－k＋1] D．(28－k,29－k]

二、填空题的解法【题型特点概述】从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))的最大值为解析由椭圆方程知c＝eq\r(4－3)＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(9,4)，所以y0＝±eq\f(3,2).设P(x1，y1)，则eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1)，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(0，y0)，所以eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝y1y0，因为点P是椭圆C上的动点，所以－eq\r(3)≤y1≤eq\r(3)，eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))的最大值为eq\f(3\r(3),2).答案eq\f(3\r(3),2)已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则复数zi在复平面上所对应的点的坐标为________．答案(0,1)解析因为复数z＝a＋(a－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，所以a－1＝0，解得a＝1.所以复数z＝1，所以zi＝i.所以复数zi在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)．方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．解析方法一∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，∵AP⊥BD，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.又∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AP,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAP＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|2，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|2＝2×9＝18.方法二把平行四边形ABCD看成正方形，则P点为对角线的交点，AC＝6，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝18.答案18(1)如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.(2)cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________________．答案(1)eq\r(3)(2)eq\f(3,2)解析(1)不妨取|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∠ADB＝eq\f(π,3)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\r(3)×1×coseq\f(π,3)＋0＝eq\r(3).(2)令α＝0°，则原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝eq\f(3,2).方法三数形结合法(图解法)对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例3已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)的解集为________．解析函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)知，eq\r(2)－x≤eq\r(2)＋1，从而得到不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．答案[－1，＋∞)(2013·北京)设D为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,2x－y≤0，,x＋y－3≤0))表示的平面区域．区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．答案eq\f(2\r(5),5)解析作不等式组表示的平面区域，如图所示(△OAB及其内部)，易观察知，所求最小值为点P(1,0)到2x－y＝0的距离d＝eq\f(|2×1－0|,\r(22＋－12))＝eq\f(2\r(5),5).方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例4(1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，则球O的体积等于________．(2)eq\f(e4,16)，eq\f(e5,25)，eq\f(e6,36)(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________．解析(1)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的体积V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.(2)由于eq\f(e4,16)＝eq\f(e4,42)，eq\f(e5,25)＝eq\f(e5,52)，eq\f(e6,36)＝eq\f(e6,62)，故可构造函数f(x)＝eq\f(ex,x2)，于是f(4)＝eq\f(e4,16)，f(5)＝eq\f(e5,25)，f(6)＝eq\f(e6,36).而f′(x)＝(eq\f(ex,x2))′＝eq\f(ex·x2－ex·2x,x4)＝eq\f(exx2－2x,x4)，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即eq\f(e4,16)<eq\f(e5,25)<eq\f(e6,36).答案(1)eq\r(6)π(2)eq\f(e4,16)<eq\f(e5,25)<eq\f(e6,36)(1)已知a＝lneq\f(1,2013)－eq\f(1,2013)，b＝lneq\f(1,2014)－eq\f(1,2014)，c＝lneq\f(1,2015)－eq\f(1,2015)，则a，b，c的大小关系为________．(2)已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．答案(1)a>b>c(2)①②④解析(1)令f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x).当0<x<1时，f′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵1>eq\f(1,2013)>eq\f(1,2014)>eq\f(1,2015)>0，∴a>b>c.(2)用正方体ABCD—A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例5观察下列算式：13＝1,23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2015”这个数，则m＝________.解析由题意可得第n个算式的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个算式的第一个数为an，则有a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝7－3＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，以上n－1个式子相加可得an－a1＝eq\f(n－1[2＋2n－1],2)，故an＝n2－n＋1，可得a45＝1981，a46＝2071，故可知2015在453的展开式中，故m＝45.答案45(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形数 N(n,4)＝n2，五边形数 N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六边形数 N(n,6)＝2n2－n………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．答案(1)1000(2)6n＋2解析(1)由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝eq\f(k－2,2)n2＋eq\f(4－k,2)n，∴N(10,24)＝eq\f(24－2,2)×100＋eq\f(4－24,2)×10＝1100－100＝1000.(2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.

填空提分专练(1)1．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)3456销售额y(万元)25304045根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为________(万元)．2、已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n的值为________．3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3)，点D在BC边上，∠ADC＝75°，则AD的长为________．4、已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α；其中正确命题的个数是________．5、在极坐标中，圆ρ=4cosθ的圆心C到直线的距离为．6、方程表示的曲线为C，给出下列四个命题：①曲线C不可能是圆；②若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则．其中正确命题序号是．填空提分专练(2)1．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．2．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是______________________．3．在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M.(1)满足∠AMB>90°的概率为________；(2)满足∠AMB>135°的概率为________．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2eq\r(3)，c＝2eq\r(2)，1＋eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c,b)，则C＝________.5、若函数f(x)＝|logax|(0<a<1)在区间(a,3a－1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．6、已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0<x1<x2<1的任意x1、x2，给出下列结论：①f(x2)－f(x1)>x2－x1；②x2f(x1)>x1f(x2)；③eq\f(f(x1)＋f(x2),2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)填空提分专练(3)1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于eq\r(5)，则该双曲线的标准方程为________．2．若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．3．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动．Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足eq\o(OQ,\s\up6(→))＝m⊗eq\o(OP,\s\up6(→))＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．5、设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)>f(x)恒成立，那么称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2013型增函数”，则实数a的取值范围是________．

三、解答题的八个答题模板【模板特征概述】“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1三角变换与三角函数的性质问题已知函数f(x)＝2cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＋1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间．审题路线图不同角化同角→降幂扩角→化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h→结合性质求解．规范解答示例构建答题模板解f(x)＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＋1＝2sinxcosx＋eq\r(3)(cos2x－sin2x)＋1＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为eq\f(2π,2)＝π.(2)∵－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴－1≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1≤3.∴当2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即x＝eq\f(π,12)＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3；当2x＋eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即x＝－eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1.(3)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(5π,12)＋kπ≤x≤eq\f(π,12)＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))(k∈Z).第一步化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式．第二步整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sinx，y＝cosx的性质确定条件．第三步求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果．第四步反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性.(2014·福建)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－eq\f(1,2).(1)若0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(\r(2),2)，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解:方法一(1)因为0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以cosα＝eq\f(\r(2),2).所以f(α)＝eq\f(\r(2),2)×(eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2))－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为[kπ－eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(π,8)]，k∈Z.方法二f(x)＝sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))．(1)因为0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以α＝eq\f(π,4)，从而f(α)＝eq\f(\r(2),2)sin(2α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(3π,4)＝eq\f(1,2).(2)T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为[kπ－eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(π,8)]，k∈Z.模板2解三角形问题在△ABC中，若acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(3,2)b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)求角B的取值范围．审题路线图(1)eq\x(化简变形)→eq\x(用余弦定理转化为边的关系)→eq\x(变形证明)(2)eq\x(用余弦定理表示角)→eq\x(用基本不等式求范围)→eq\x(确定角的取值范围)规范解答示例构建答题模板(1)证明因为acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝a·eq\f(1＋cosC,2)＋c·eq\f(1＋cosA,2)＝eq\f(3,2)b，所以a＋c＋(acosC＋ccosA)＝3b，故a＋c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))＝3b，整理，得a＋c＝2b，故a，b，c成等差数列．(2)解cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2,2ac)＝eq\f(3a2＋c2－2ac,8ac)≥eq\f(6ac－2ac,8ac)＝eq\f(1,2)，因为0<B<π，所以0<B≤eq\f(π,3).第一步定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向．第二步定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步求结果．第四步再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.(2014·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，cosB＝eq\f(1,3)，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解(1)由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2得c·acosB＝2.又cosB＝eq\f(1,3)，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×eq\f(1,3)＝13.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝6，,a2＋c2＝13，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,c＝2.))因为a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\f(1,3)2)＝eq\f(2\r(2),3)，由正弦定理，得sinC＝eq\f(c,b)sinB＝eq\f(2,3)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(4\r(2),9).因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\r(1－\f(4\r(2),9)2)＝eq\f(7,9).于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝eq\f(1,3)×eq\f(7,9)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(23,27).

模板3数列的通项、求和问题(2014·江西)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝eq\f(an,bn)，求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.审题路线图(1)eq\x(anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0)→eq\x(\f(an＋1,bn＋1)－\f(an,bn)＝2)→eq\x(cn＋1－cn＝2)→eq\x(cn＝2n－1)(2)eq\x(cn＝2n－1)→eq\x(an＝2n－1·3n－1)eq\o(→,\s\up7(错位相减法))eq\x(得Sn)规范解答示例构建答题模板解(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)，所以eq\f(an＋1,bn＋1)－eq\f(an,bn)＝2，即cn＋1－cn＝2，所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.第一步找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．第二步求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式．第三步定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)．第四步写步骤：规范写出求和步骤．第五步再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.

已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{an}的前n项和为f(n)－c.数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2)．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和为Tn，问满足Tn>eq\f(1001,2012)的最小正整数n是多少？解(1)∵f(1)＝a＝eq\f(1,3)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.由题意知，a1＝f(1)－c＝eq\f(1,3)－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－eq\f(2,9)，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－eq\f(2,27).又数列{an}是等比数列，∴a1＝eq\f(a\o\al(2,2),a3)＝eq\f(\f(4,81),－\f(2,27))＝－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)－c，∴c＝1.又公比q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,3)，∴an＝－eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n(n∈N*)．∵Sn－Sn－1＝(eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1))(eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1))＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2)．又bn>0，eq\r(Sn)>0，∴eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝1.∴数列{eq\r(Sn)}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，eq\r(Sn)＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)Tn＝eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋eq\f(1,b3b4)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,2n－1×2n＋1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).由Tn＝eq\f(n,2n＋1)>eq\f(1001,2012)，得n>eq\f(1001,10)，∴满足Tn>eq\f(1001,2012)的最小正整数n的值为101.

模板4利用空间向量求角问题(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝eq\r(3)，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图(1)eq\x(M是AB中点，四边形ABCD是等腰梯形)eq\o(→,\s\up7(AB＝2CD))eq\x(CD∥AMCD＝AM)⇒eq\x(▱AMC1D1)→eq\x(C1M∥平面A1ADD1)(2)eq\x(CA，CB，CD1两两垂直)→eq\x(建立空间直角坐标系，写各点坐标)→eq\x(求平面ABCD的法向量)→eq\x(将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角)规范解答示例构建答题模板(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC.又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA.连接AD1，如图(1)．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因为C1M∥D1A.又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.(2)解方法一如图(2)，连接AC，MC.由(1)知CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC＝AD＝MC，由题意得∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC为正三角形，因此AB＝2BC＝2，CA＝eq\r(3)，因此CA⊥CB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C－xyz，所以A(eq\r(3)，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，eq\r(3))，因此Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，所以eq\o(MD1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，\r(3)))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)).设平面C1D1M的一个法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1C1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(MD1,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y＝0，,\r(3)x＋y－2\r(3)z＝0，))可得平面C1D1M的一个法向量n＝(1，eq\r(3)，1)．又eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0,0，eq\r(3))为平面ABCD的一个法向量，因此cos〈eq\o(CD1,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(CD1,\s\up6(→))·n,|\o(CD1,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(\r(5),5).所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为eq\f(\r(5),5).方法二由(1)知平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，过点C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N，如图(3)．由CD1⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，因此∠D1NC为二面角C1－AB－C的平面角．在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，可得CN＝eq\f(\r(3),2).所以ND1＝eq\r(CD\o\al(2,1)＋CN2)＝eq\f(\r(15),2).所以Rt△D1CN中，cos∠D1NC＝eq\f(CN,D1N)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(15),2))＝eq\f(\r(5),5)，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为eq\f(\r(5),5).第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．第四步求夹角：计算向量的夹角．第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.

如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．解(1)以A为坐标原点，分别以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)．所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(2,0，－4)，eq\o(C1D,\s\up6(→))＝(1，－1，－4)．所以cos〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(C1D,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1B,\s\up6(→))·\o(C1D,\s\up6(→)),|\o(A1B,\s\up6(→))|×|\o(C1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(18,\r(20)×\r(18))＝eq\f(3\r(10),10).所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为eq\f(3\r(10),10).(2)由题意，知eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量．设平面ADC1的法向量为m＝(x，y，z)，因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(0,2,4)，由m⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，m⊥eq\o(AC1,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,2y＋4z＝0.))取z＝1，得y＝－2，x＝2，所以平面ADC1的一个法向量为m＝(2，－2,1)．设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为θ，所以|cosθ|＝|cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，m〉|＝|eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·m,|\o(AC,\s\up6(→))|×|m|)|＝|eq\f(－4,2×3)|＝eq\f(2,3)，得sinθ＝eq\f(\r(5),3).所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为eq\f(\r(5),3).

模板5圆锥曲线中的范围问题椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为eq\r(2)，离心率为eq\f(\r(2),2)，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→)).(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围．审题路线图eq\x(设l：y＝kx＋m)→eq\x(l，c相交Δ>0得m，k的不等式)→eq\x(\o(AP,\s\up6(→))＝3\o(PB,\s\up6(→)))→eq\x(得m，k关系式)→eq\x(代入m，k的不等式消k)→eq\x(得m范围)规范解答示例构建答题模板解(1)设椭圆C的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，设c>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝1，b＝c＝eq\f(\r(2),2).故椭圆C的方程为y2＋eq\f(x2,\f(1,2))＝1，即y2＋2x2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,2x2＋y2＝1，))得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)x1＋x2＝eq\f(－2km,k2＋2)，x1x2＝eq\f(m2－1,k2＋2).因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，所以－x1＝3x2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2，,x1x2＝－3x22.))所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.所以3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,k2＋2)))2＋4·eq\f(m2－1,k2＋2)＝0.整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.当m2＝eq\f(1,4)时，上式不成立；当m2≠eq\f(1,4)时，k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)，由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0，所以k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)>0.解得－1<m<－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<m<1.即所求m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).第一步提关系：从题设条件中提取不等关系式．第二步找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式．第三步得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围．第四步再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线