中考数学一轮复习专练：图形的初步认识（学生版+解析）

专题15图形的初步认识

【专题目录】

技巧1:活用判定两直线平行的六种方法

技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算

技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法

【题型】一、线段的中点

【题型】二、角的计算

【题型】三、与角平分线有关的相关计算

【题型】四、余角与补角的相关计算

【题型】五、对顶角相等进行相关计算

【题型】六、邻补角相等求角的度数

【题型】七、平行线的判定

【题型】八、平行线的应用

【题型】九、求平行线间的距离

【考纲要求】

1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义.

2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算.

3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.

【考点总结】一、直线、射线、线段与角

直线公理经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的，直线没有端点.

直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸，射

射线

线只有一个端点.

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点，有长短之分，将某一线段

线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.

两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.

直线1°=60',1'=60".

1周角=2平角=4直角=360。.

射线

余角、补角:如果两个角的和等于90。,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相

角

线段

等；如果两个角的和等于180。,就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等.

与角对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶

角相等.

角平分线角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.

垂线段公理直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.

(1)线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.

线段垂直平分

(2)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相

线

等的点在线段的垂直平分线上.

(1)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(2)平行线的性质：

①两条直线平行，同位角相等；

②两条直线平行，内错角相等；

平行线③两条直线平行，同旁内角互补.

(3)平行线的判定：

①同位角相等，两条直线平行；

②内错角相等，两条直线平行；

③同旁内角互补，两条直线平行.

【技巧归纳】

技巧1:活用判定两直线平行的六种方法

【类型】一、利用平行线的定义

1.下面的说法中，正确的是()

A.同一平面内不相交的两条线段平行B.同一平面内不相交的两条射线平行

C.同一平面内不相交的两条直线平行D.以上三种说法都不正确

【类型】二、利用“同位角相等，两直线平行”

2.如图，已知/ABC=/ACB,Z1=Z2,Z3=ZF,试判断EC与DF是否平行，并说明理由.

【类型】三、利用“内错角相等，两直线平行”

3.如图，已知NABC=NBCD,Z1=Z2,试说，明BE〃CF.

【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”

4.如图，ZBEC=95°,ZABE=120°,ZDCE=35°,则AB与CD平行吗？请说明理由.

【类型】五'利用"平行于同一条直线的两条直线平行.

5.如图，已知NB=/CDF,NE+NECD=180。.试说明AB〃EF.

【类型】六'利用"垂直于同一条直线的两条直线平行(在同一平面内)”

6.如图，AB_LEF于B,CD_LEF于D,Z1=Z2.

⑴试说明：AB/7CD；

(2)试问BM与DN是否平行？为什么？

EBDF

技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算

【类型】一、利用平角、对顶角转换求角

1.如图，已知直线AB,CD相交于点O,OA平分/EOC,若/EOC：/EOD=2：3,求/BOD的度数.

解：由NEOC:ZE0D.=2：3,

设/EOC=2x°,则/EOD=3x°.

因为NE0C+Z_______=180°()，

所以2x+3x=180,解得x=，36.

所以/EOC=72。.

因为0A平分NEOC(已知)，

所以ZAOC=|ZEOC=36°.

因为/BOD=NAOC(),

所以NBOD=.

【类型】二'利用垂线求角

2.如图，已知FELAB于点E,CD是过点E的直线，且/AEC=120。，则NDEF=

3.如图，MO_LNO于点O,OG平分/MOP,ZPON=3ZMOG,则/GOP的度数为

4.如图，两直线AB,CD相交于点O,0E平分NBOD,ZAOC：ZA0D=7：11.

(1)求/COE的度数；

(2)若OFLOE,求NCOF的度数.

F

【类型】三、直接利用平行线的性质求角

5.如图，已知AB〃CD,ZAMP=150°,/PND=60。.试说明：MP±PN.

【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角

6.如图，/.I与/2互补，Z3=135°,则/4的度数是（）

A.45°B.55°C.65°D.75°

7.如图，Zl=72°,Z2=72°,Z3=60°,求N.4的度数.

技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法

【类型】一、加截线（连接两点或延长线段相交）

1.如图，AB〃EF,CD_LEF,ZBAC=50°,则NACD=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【类型】二'过“拐点”作平行线

a."M”形图

2.如图，AB〃CD,P为AB,CD之间的一点，已知/2=28。，NBPC=58。,求N1的度数.

从“U”形图

3.(1)如图①，若AB〃DE,ZB=135°,/D=145。.求/BCD的度数.

(2)如图①，在AB〃DE的条件下，你能得出NB,ZBCD,ND之间的数量关系吗？请说明理由.

(3)如图②，AB〃EF,根据(2)中的猜想，直接写出/B+/C+/D+/E的度数.

c.“弄”形图

4.如图，AB〃DE,贝Ij/BCD,ZB,ND有何关系？为什么？

d.形图

5.如图，已知AB〃DE,ZBCD=30°,ZCDE=138°,求/ABC的度数.

e.形图

6.(1)如图，AB/7CD,若NB=130。，ZC=30°,求/BEC的度数；

(2)如图，AB〃CD,探究/B,ZC,/BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由.

【类型】三、平行线间多折点角度问题探究

7.(1)在图①中，AB//CD,则/E+/G与/B+/F+/D有何关系？

(2)在图②中，若AB〃CD,又能得到什么结论？

①②

【题型讲解】

【题型】一、线段的中点

例1、如图，已知AB=8cm,BD=3cm,C为AB的中点，则线段CD的长为cm.

I__________________।।_____________I

ACDB

【题型】二、角的计算

例2、如图，直线m〃n,直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则/a的余角等于（）

A.19°B,38°C.42°D.52°

【题型】三、与角平分线有关的相关计算

例3、如图，AB//CD,ZEFD=64°,NEEB的角平分线EG交CD于点G,则NGEB的度数为（）

A.66°B.56°C.68°D.58°

【题型】四、余角与补角的相关计算

例4、如图，E是直线C4上一点，NEE4=40。，射线EB平分NCEF,GELEF.则NG£B=（

B

G\

40°

E

A.10°B.20°C.30°D.40°

【题型】五、对顶角相等进行相关计算

例5、如图，AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是（）

A.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z1>Z4+Z5D.Z2<Z5

【题型】六、邻补角相等求角的度数

例6、如图，直线AB，CD相交于点。，OELCD,垂足为点。.若N3OE=40。，则NAOC的度数

为（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

【题型】七、平行线的判定

例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线。和b,得到a〃瓦理由是（）

A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【题型】八、平行线的应用

例8、如图，AB//CD,直线政分别交A3,CD于点E,F,EG平分ZBEF,若NEFG=乱。，则NEGD

的大小是（）

C.122°D.112°

【题型】九、求平行线间的距离

例9、设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距

离是5cm,则AB与EF的距离等于cm.

图形的初步认识（达标训练）

一、单选题

1.如图所示，下列条件中能说明。〃6的是（）

A.Z1=Z2B.N3=/4C.Z2+Z4=180°D.Zl+Z4=180°

2.如图，a//b,Zl=43°,则N2的度数是（）

A.137°B.53°C.47°D.43°

3.如图，AB//CD,CD//EF,那么()

A.18O°-Z2+Z1B.18O°-Z1-Z2

C.Z2=2Z1D.Z1+Z2

4.如图，AB//CD,G”平分ZAG凡Zl=66°,则N2的度数为（）

5.如图，AB||CD,ZCr>E=140°,则NA的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

6.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则N1的度数为（）

二、填空题

7.如图，直线则N1的度数为

8.如图，AB//CD,点E在CA的延长线上.若/BAE=50。，则/AC。的大小为

DC

三、解答题

9.已知，NABC和/DE产中，AB//DE,BC//EF.试探究:

A

D

B

F

图2

(D如图1,E>8与NE的关系是.,并说明理由;

(2)如图2,写出以J与/E的关系，并说明理由;

(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题.

图形的初步认识(提升测评)

一、单选题

1.如图，直线等腰直角AABC的两个顶点A、3分别落在直线4、，2上，ZACB=90°,若/1=18。,

则N2的度数是()

A.35°B.30°C.27°D.20°

2.如图，ZA3D为AABC的外角，3E平分ZABD,EB//AC,ZA=65°,则NEfiD的度数为（）

A.50°B.65°C.115°D.130°

3.如图，AB//CD,EF交AB、CD于点E、F,FG平■分NEFD,若NAEb=70。，则NEGE的度数为

()

c

A.70°B.35°C.50°D.55°

4.将一副直角三角尺按如图所示放置（其中/GE/=NGFE=45。，ZH=60°,Z£FH=30°）,满足点E在

AB上，点P在CD上，AB//CD,NAEG=20。，则NHFD的大小是（）

A.70°B.40°C.35D.65°

5.如图，已知直线。，b,c,d中，c_La,c_L。，直线6,c,d交于一点，若N2=36。，则/I等于（）

A.34°B.36°C.56°D.54°

二、填空题

6.已知一个含有30。角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若0=65。,则/2=度.

7.如图所示，A3〃CO,点E在。上，垂足为8,已知/BED=34。，则尸的度数为

AB

三、解答题

8.(1)课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”.

•C

AB

做法一:

①以3为圆心，任意长为半径作弧，分别交48,于点E,F；

②以C为圆心，BE长为半径作弧，交BC的延长线于点/；

③再以M为圆心，E尸长为半径作弧，与前弧交于点N；

④连接CN,则CN〃A3.

做法二：

DC

\X

A-------------------------------------------B

①以A为圆心，BC长为半径作弧；

②以C为圆心，48长为半径作弧；两弧交于点。，连接8；则CD〃AB.

请根据以上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：(各写出一个即可)

做法一：_____________________________________

做法二：_____________________________________

(2)如图，口ABCD中，DE=BF,请你再加一个条件，使四边形AEC尸为菱形，并证明.

专题15图形的初步认识

【专题目录】

技巧1:活用判定两直线平行的六种方法

技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算

技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法

【题型】一、线段的中点

【题型】二、角的计算

【题型】三、与角平分线有关的相关计算

【题型】四、余角与补角的相关计算

【题型】五、对顶角相等进行相关计算

【题型】六、邻补角相等求角的度数

【题型】七、平行线的判定

【题型】八、平行线的应用

【题型】九、求平行线间的距离

【考纲要求】

1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义.

2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算.

3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.

【考点总结】一、直线、射线、线段与角

直线公理经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的，直线没有端点.

直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸，射

射线

线只有一个端点.

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点，有长短之分，将某一线段

线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.

两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.

直线

1°=60',1'=60".

射线

角1周角=2平角=4直角=360。.

线段

余角、补角:如果两个角的和等于90。,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相

15/42

与角等；如果两个角的和等于180。,就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等.

对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶

角相等.

角平分线角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.

垂线段公理直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.

(1)线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.

线段垂直平分

(2)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相

线

等的点在线段的垂直平分线上.

(1)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(2)平行线的性质：

①两条直线平行，同位角相等；

②两条直线平行，内错角相等；

③两条直线平行，同旁内角互补.

平行线

(3)平行线的判定：

①同位角相等，两条直线平行；

②内错角相等，两条直线平行；

③同旁内角互补，两条直线平行.

【技巧归纳】

技巧1:活用判定两直线平行的六种方法

【类型】一'利用平行线的定义

1.下面的说法中，正确的是()

A.同一平面内不相交的两条线段平行B.同一平面内不相交的两条射线平行

C.同一平面内不相交的两条直线平行D.以上三种说法都不正确

【类型】二'利用“同位角相等，两直线平行”

2.如图，已知NABC=/ACB,Z1=Z2,Z3=ZF,试判断EC与DF是否平行，并说

明理由.

【类型】三、利用“内错角相等,两直线平行”

16/42

3.如图，已知/ABC=/BCD,Z1=Z2,试说，明BE〃CF.

【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”

4.如图，ZBEC=95°,ZABE=120°,NDCE=35。，则AB与CD平行吗？请说明理由.

【类型】五、利用“平行于同一条直线的两条直线平行'

5.如图，已知/B=/CDF,/E+/ECD=180。.试说明AB〃EF.

【类型】六、利用“垂直于同一条直线的两条直线平行（在同一平面内）”

6.如图，AB_LEF于B,CDJ_EF于D,Z1=Z2.

（1）试说明：AB〃CD；

（2）试问BM与DN是否平行？为什么？

MANC

EBDF

参考答案

1.c点拨：根据定义判定两直线平行，一定要注意前提条件：“同一平面内”，同时要注

意在同一平面内，不相交的两条线段或两条射线不能判定其平行.

2.解：EC〃DF,理由如下：VZABC=ZACB,

Z1=Z2,.\Z3=ZECB.

又..Z—F,；./ECB=NF.

；.EC〃DF（同位角相等，两直线平行）.

3.解：因为/ABC=NBCD,/1=/2,

所以NABC-/l=NBCD-/2,即/EBC=NFCB,

所以BE〃CF（内错角相等，两直线平行）.

4.解：AB〃CD,理由如下：延长BE,交CD于点F,则直线CD,AB被直线BF所截.

因为NBEC=95°,所以NCEF=180°—,95°=85°.

又因为NDCE=35。，

17/42

所以/BFC.=180°-NDCE-NCEF=180°-35°—85°=60°.

又因为/ABE=120。，

所以NABE+NBFC=180。.

所以AB〃CD（同旁内角互补，两直线平行）.

.点拨：.本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行，我们可考虑作一条.辅助

线，架起AB与CD之间的桥梁.

5.解：因为/B=NCDF,所以AB〃CD（同位角相等，两直线平行）.

因为NE+NECD=180。，

所以CD〃EF（同旁内角互补，两直线平行）.

所以AB〃EF（.平行于同一条直线的两直线平行）.

6.解：（1）VAB±EF,CD_LEF,

AB〃CD（在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行）.

（2）BM〃DN.理由如下：

VABXEF,CD±EF,ZABE=ZCDE=90°.

又=

ZABE-Z1=ZCDE-Z2.

即/MBE.=/NDE,；.BM〃DN（同位角相等，两直线平行）.

点拨：/I和/2不是同位角，不能误认为/I和N2是同位角，直接得出BM〃DN,

要得到BM〃DN,可说明NMBE=NNDE.

技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算

【类型】一'利用平角、对顶角转换求角

1.如图，已知直线AB,CD相交于点O,0A平分NE0C,若/E0C：NE0D=2：3,求

ZB0D的度数.

解：由/EOC：ZEOD.=2:3,

设NE0C=2x°,.则NE0D=3x°.

因为ZE0C+Z_______=180°（）,

一

所以2x+3x=180,解得x=.36.

所以/EOC=72。.

因为0A平分/EOC（已知），

所以NAOC=gNEOC=36。.

因为ZB0D=ZA0C（）,

18/42

所以NBOD=.

【类型】二、利用垂线求角

2.如图，已知FE±AB于点E,CD是过点E的直线，且NAEC=120。，则/DEF=

3.如图,MO_LNO于点O,OG平分/MOP,ZPON=3ZMOG，则/GOP的度数为

4.如图，两直线AB,CD相交于点O,OE平分/BOD,ZAOC：ZAOD=7：11.

(1)求/COE的度数；

(2)若OFLOE,求/COF的度数.

F

【类型】三、直接利用平行线的性质求角

5.如图，已知AB〃CD,ZAMP=150°,NPND=60。.试说明：MP_LPN.

【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角

6.如图，/.I与/2互补，Z3=135°,则/4的度数是()

A.45°B.55°C.65°D.75°

7.如图，Zl=72°,Z2=72°,Z3=60°,求N.4的度数.

19/42

4

3

/\2A

ha

参考答案

1.EOD；平角的定义；对顶角相等；36°2.30

3.54°点拨：设NGOP=x。，则/MOG=x。，ZPON=3x°,由题意得x+x+3x=360—

90,解得x=54.；.ZGOP=54°.

4.解：(l)VZAOCZAOD=711,ZAOC+ZAOD=180°,

ZAOC=70°,ZAOD=110°.

XVOE平分NBOD,ZDOE=|ZDOB=|zAOC=1x70°=35°.Z.ZCOE=180°-

ZDOE=180°-35°=145°.

(2)VOF±OE,AZFOE=90°.

又•.♦/DOE=35°,.,.ZFOD=90o-ZDOE=90°-3.5°=55o.

ZCOF=180°-ZFOD=180°-55°=125°.

5.解：如图，过点P向左侧作PE〃AB,

则ZAMP+ZMPE=180°.

/.ZMPE=180°-ZAMP=180°-150°=30°.

VAB/7CD,PE〃AB,APE//CD,

ZEPN=ZPND=60°.

ZMPN=ZMPE+ZEPN=30°+60°=90°,[来源浮，科，网Z,X,X,K]

即MPXPN.

6.A

7.解：：/l=72。，42=72。,/.Z1=Z2.

；.a〃b"./3+N4=180。.

又•.•/3=60°,.\Z4=120o.

技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法

【类型】一'加截线(连接两点或延长线段相交)

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AB

EDF

1.如图，AB〃EF,CDXEF,ZBAC=50°,则NACD=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【类型】二、过“拐点祚平行线

a.形图

2.如图，AB/7CD,P为AB,CD之间的一点，已知/2=28。，ZBPC=58°,求/I的度

数.

从“U”形图

3.⑴如图①，若AB〃DE,ZB=135°,3D=145。.求/BCD的度数.

(2)如图①，在AB〃DE的条件下，你能得出/B,ZBCD,/D之间的数量关系吗？请说

明理由.

(3)如图②，AB〃EF,根据(2)中的猜想，直接写出/B+NC+ND+NE的度数.

c.形图

4.如图，AB〃DE,则/BCD,ZB,/D有何关系？为什么？

5.如图，已知AB〃DE,ZBCD=30°,ZCDE=138°,求NABC的度数.

e.形图

6.(1)如图,AB〃CD,若NB=130。,ZC=30°,求NBEC的度数;

(2)如图，AB〃CD,探究/B,ZC,/BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由.

21/42

AB

【类型】三、平行线间多折点角度问题探究

7.(1)在图①中，AB〃CD,则NE+NG与NB+/F+ND有何关系？

(2)在图②中，若AB〃CD,又能得到什么.结论?

参考答案

1.C

2.解：方法一：过点P作射线PN〃AB,如图①.

VPN/7AB,AB〃CD,；.PN〃CD.N4=N2=28。.

VP.N//AB,.\Z3=Z1.

XZ3=ZBPC-Z4=580-28°=30°./.Z1=.30°.

方法二：过点P作射线PM〃AB,如图②.

：PM〃AB,AB〃CD,.,.PM/7C.D.

Z4=180°-/2=180°—28°=152°.

•/Z4+ZBP.C+Z3=360°,

.".Z3=360°-ZBPC-Z4=360o-58o-152o=150°.

：AB〃PM,/1=180°—/3=180°—150°=30°.

3.解：(1)过点C向左作CF〃AB,，/B+NBCF=180。.又：AB〃DE,；.CF.〃DE,；./FCD

+ZD=180°,AZB+ZBCF+ZFCD+ZD=180°+180°,即NB+/BCD+ND=360°,

/./BCD=360°—ZB-ZD=360°-135°-145°=80°.

(2)/B+NBCD+/D=360。.理由如下：过点C向左作CF〃AB,.•.NB+NBCF=180。.

又：AB〃DE,；.CF〃DE,AZFCD+ZD=180°,ZB+ZBCF+ZFCD+ZD=180°

+180°,即/B+/BCD+/D=360°.

(3)ZB+ZC+ZD+ZE=540°..

22/42

AB

J--N----"------F

C

4.解：ZBCD=/B—ND.理由如下:如图，过点C作CF〃AB.：CF/7AB,：.ZB=/BCF（两

直线平行，内错角相等）.；AB〃DE,CF〃AB,；.CF〃DE（平行于同一条直线的两条直线

平行）.；.NDCF=/D（两直线平行，内错角相等）.二/B—/D=/BCF—/DCF.：/BCD

=ZBCF-ZDCF,•,.ZBCD=ZB-ZD.

点拨：已知图形中有平行线和折线或拐角时,常过折点或拐点作平行线,构造出同位角、

内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了.

5.解：如图，过点C作CF〃AB.：AB〃DE,CFAB,Z.DE//CF.ZDCF=180°-ZCDE

=180°-138°=42°.，NBCF=NBCD+NDCF=300+42°=72°.又：AB〃CF,.\ZABC=

ZBCF=72°.

AB

/DE

LF

6.解：（1）过点E向左侧作EF〃AB,ZB+ZBEF=180°,

AZBEF=180°-ZB=50°,XVAB/7CD,且EF〃AB,

，EF〃CD,.,.ZFEC=ZC=30°,

ZBEC=ZBEF+ZFEC=50°+30°=80°.

（2）NB+NBEC—NC=180。.理由如下：过点E向左侧作EF〃AB,又：AB〃CD,

；.EF〃CD,AZFEC=ZC,

又ZBEF=ZBEC-ZFEC,ZBEF=/BEC-NC.

VAB/7EF,.,.ZB+ZBEF=180°,ZB+ZBEC-ZC=180°.

7.解：（1）/E+/G=/B+/F+/D.理由：过折点E,F,G分别作EM〃AB,FN/7AB,

GH//AB,如图所示，由A.B/7CD,得AB〃EM〃:FN〃GH〃CD,这样/1=NB,Z2=Z3,

Z4=Z5,/6=ND.因此/BEF+NFGD=N1+N2+N5+/6=NB+N3+N4+ND=

ZB+ZEFG+ZD.

（2）NEi+NE2+/E3+...+NEn=NB+NFi+NF2+...+/Fn-1+ND.

【题型讲解】

【题型】一、线段的中点

例1、如图，已知AB=8cm,BD=3cm,C为AB的中点，则线段CD的长为cm.

23/42

ACDB

【答案】1

【提示】

先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长.

【详解】

解：：C为AB的中点，AB=8cm,

11

.•.BC=—AB=—x8=4(cm),

22

VBD=3cm,

.*.CD=BC-BD=4-3=1(cm),

则CD的长为1cm；

故答案为：1.

【题型】二、角的计算

例2、如图，直线m〃n,直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则Na的余角等于()

A.19°B.38°C.42°D.52°

【答案】D

【解析】

试题分析:过C作CD〃直线m,：m〃n,；.CD〃m〃n,ZDCA=ZFAC=52°,Za=ZDCB,

VZACB=90°,AZa=90°-52°=38°,则/a的余角是52。.故选D.

考点：平行线的性质；余角和补角.

【题型】三、与角平分线有关的相关计算

24/42

例3、如图，AB//CD,NEFD=64°,/FEB的角平分线EG交CD于点G,则/GEB的度

数为()

A.66°B.56°C.68°D.58°

【答案】D

【提示】

根据平行线的性质求得NBEE再根据角平分线的定义求得/GE8.

【详解】

解：：AB〃CD,

.,.ZBEF+ZEFD=180°,

/.ZBEF=180o-64°=116°；

：EG平分/BEF,

；.NGEB=58。.

故选：D.

【题型】四、余角与补角的相关计算

例4、如图，E是直线C4上一点，NEE4=40。，射线EB平分NCER,GE±EF.则

NGEB=()

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【提示】

先根据射线平分NCEb,得出/CEB=/BEF=70°,再根据GE_LEF,可得

ZGEB=ZGEF-ZBEF即可得出答案.

【详解】

,：ZFEA=40°,

25/42

.•.ZCEF=140°,

;射线£B平分NCEF,

ZCEB=ZBEF=70°,

GE^EF,

：.ZGEB=ZGEF-ZBEF=90°-70°=20°,

故选：B.

【题型】五、对顶角相等进行相关计算

例5、如图，AB和CD相交于点0,则下列结论正确的是（）

A.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z1>Z4+Z5D.Z2<Z5

【答案】A

【提示】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案.

【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；

由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知

B选项为N2>/3,

C选项为/1=/4+/5,

D选项为/2>N5.

故选：A.

【题型】六、邻补角相等求角的度数

例6、如图，直线A3,CD相交于点。，OE工CD,垂足为点。.若N3OE=40。，则

C.60°D.140°

【答案】B

【提示】

26/42

已知OE，CE）,ZB<9E=40°,根据邻补角定义即可求出NAOC的度数.

【详解】

,/OEA.CD

；•NCOE=90。

,：ZBOE=40°

•••ZAOC=180?-ZCOE-ZEOB=180°-90°-40°=50°

故选：B

【题型】七、平行线的判定

例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和乩得到a〃瓦理由是（）

A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【答案】B

【提示】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可.

【详解】解：

；由题意a_LAB,b_LAB,

：.Z1=Z2

.,.a//b

所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，

故选：B.

【题型】八、平行线的应用

例8、如图，AB//CD,直线政分别交A3,CD于点E,F,EG平分NBEF,若

ZEFG=64°,则NEGD的大小是（）

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A,E,B

C/FGD

A.132°B.128°C.122°D.112°

【答案】C

【提示】利用平行线的性质求解NFEB，利用角平分线求解/BEG,再利用平行线的性质

可得答案.

【详解】解：•.•AB//CD,

:.NEFG+NFEB=180。,

ZEFG=64°,

/FEB=180°-64°=116°,

•:EG平分ZBEF,

:2FEG=/BEG=5^,

ABIICD

ZBEG+ZEGD=180°,

ZEGD=180°-58°=122°.

故选C.

【题型】九、求平行线间的距离

例9、设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm,

EF与CD的距离是5cm,则AB与EF的距离等于cm.

【答案】7或17.

【提示】

分两种情况讨论，EF在AB,CD之间或EF在AB,CO同侧，进而得出结论.

【详解】

解：分两种情况：

①当EF在AB,CD之间时，如图：

A-----------------------------------B

E-----------------------------------F

C-----------------------------------D

VAB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,

.'.EF与AB的距离为12-5=7(cm).

28/42

②当EF在AB,CD同侧时，如图：

A---------------------------------B

C---------------------------------D

E--------------------------------F

VAB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,

；.EF与AB的距离为12+5=17（cm）.

综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm.

故答案为：7或17.

图形的初步认识（达标训练）

一、单选题

1.如图所示，下列条件中能说明的是（）

A.N1=N2B.Z3=Z4C.Z2+Z4=180°D.Zl+Z4=180°

【答案】B

【分析】利用平行线的判定定理对各选项进行分析即可.

【详解】解：A.当/1=/2时，不能判定。〃6,故选项不符合题意；

B.当N3=N4时，/3与/4属于同位角，能判定故选项符合题意；

C.当/2+/4=180。时，/2与/4属于同旁内角，能判定c〃%故选项不符合题意；

D.当/1+/4=180。时，不能判定。〃匕，故选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用.

2.如图，a//b,Nl=43°,则N2的度数是（）

29/42

A.137°B.53°C.47°D.43°

【答案】D

【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得.

【详解】解：•.•。||瓦/1=43。，

.-.Z2=Z1=43°,

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

3.如图，若AB"CD,CD//EF,那么()

A.18O°-Z2+Z1B.18O°-Z1-Z2

C.Z2=2Z1D.Z1+Z2

【答案】A

【分析】先利用平行线的性质说明/3、ZK/4、/2间关系，再利用角的和差关系求出

ZBCE.

'：AB//CD,CD//EF,

AZ1=Z3,Z2+Z4=180°,

N4=180。一N2,

AZBC£=Z4+Z3=180°-Z2+Z1.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等“、“两直线平行,

同旁内角互补”是解决本题的关键.

4.如图，AB//CD,GH平分ZAGF,21=66。，则N2的度数为()

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E

4\G5

C\D

Fx

A.114°B.66°C.75°D.57°

【答案】D

【分析】根据平行的性质可得/1=/3GF,则可求出/AGR再根据HG平分/4GF,即可求

出/2.

【详解】•/AB//CD,Zl=66°,

：.Z}=ZBGF=66°,

：.ZAGF=180°-ZBGF=180°-66°=114°,

平分NAGR

•・•/2//AGF=114°x:57。，

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，根据平行线的性质得到N1=/BGF

是解答本题的关键.

5.如图，AB\\CD,ZCL>E=140°,则ZA的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

【答案】A

【分析】根据补角的定义，两直线平行内错角相等，计算求值即可；

【详解】SAB//CD,

ZA^ZCDA,

'：ZCDA=180°-ZCr>E=180°-140°=40°,

NA=40°,

故选：A.

【点睛】本题考查了相交线和平行线，掌握平行线的性质是解题关键.

6.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则N1的度数为（）

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A.75°B.105°C.120°D.135°

【答案】B

【分析】利用直角三角形的两锐角互余先求出N2和Z3的度数,再根据平角的定义求出Z4的

度数，最后由平行线的性质即可得出答案.

【详解】解：如图，

,//2=90°-60°=30°,

Z3=90°-45°=45°,

/4=180°-30°-45°=105°