中考数学二轮复习拓展训练：反比例函数核心考点分类突破（原卷版+解析）

专题18反比例函数核心考点分类突破（原卷版）

第一部分典用如析

考点一分比例函数的图像和性质

类型1比较函数值的大小

典例1（2022春•上蔡县期中）已知双曲线丁=/（％V0），过点（1，V），（3,”），（-2,”），则下列结论

正确的是（）

A.yi<y2<y?）B.y3<yi<y2C.D.y3<y2<yi

典例2（2022秋•惠城区校级期末）已知点A（3,声），2（-6,”），C（-5,”）都在反比例函数丫=和勺

图象上，贝U（）

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

类型2与反比例函数有关的多结论选择题

典例3（2021秋•蓬莱市期末）一次函数〉=日+5（20）中变量x与y的部分对应值如下表

X…-10123

y,1••86420

下列结论：

①y随尤的增大而减小；②点（6,-6）一定在函数y=fcc+b的图象上；

③当了>3时，y>0；④当x<2时，"-l）x+b<0.其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

类型3由性质逆推函数解析式

典例4（2022•泰州）已知点（-3,yi）、（-1,y2）、（1,*）在下列某一函数图象上，且y3<yi<yi,那

么这个函数是（）

A.y=3xB.y=?>j?C.y=D.j=—

考点二反比例函数图像上点的坐标的特征

类型1求比例系数k的值

典例5（2022•南通）平面直角坐标系尤0y中，已知点A（m,6m）,B（3m,2n）,C（-3m,-2”）是函数

"WO）图象上的三点.若S^ABC=2,则左的值为.

典例6（2022•郸州区校级一模）如图，点A、8在反比例函数y=*（x>0）的图象上，延长4B交x轴于C

点，若△AOC的面积是24,且点8是AC的中点，则上的值为（）

20

C.8D.

3

类型2判断变化趋势

典例7（2022•丹东一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y=|（x>0）上的一个动点，过点A

作x轴的垂线，交x轴于点8,点A运动过程中△AOB的面积将会（)

A.逐渐增大B.逐渐减小

C.先增大后减小D.不变

类型3求几何图形的面积

典例8（2022•如皋市模拟）如图，点A为函数y=[（x>0）图象上一点，连接OA,交函数y=*（x>0）

的图象于点8,点C是无轴上一点，S.AO=AC,则AABC的面积为

类型4求点的坐标或字母的值

典例9（2022春•宝应县期末）如图，点A和点E（2,1）是反比例函数（尤＞0）图象上的两点，点8

在反比例函数y=q（x＜0）的图象上，分别过点A、8作y较的垂线，垂足分别为点C、D,AC=BD,

连接A8交y轴于点F.

（1）求公

（2）设点A的横坐标为。，点厂的纵坐标为相，求证：am=-2.

（3）连接CE、DE,当/CED=90°时，求A的坐标.

典例10（2022春•新吴区期末）如图，点A、。分别在函数y=-gy=|的图象上，点、B、C在无轴上，若

四边形A3CZ）为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为.

考点3反比例系数的几何意义

类型1求反比例系数

典例11（2021•宝应县一模）如图，回ABC。的顶点A、8在x轴上，顶点。在y轴上，顶点C在第一象限,

一

反比例函数y心k（尤＞0）的分支过点C,若团ABC。的面积为3,则仁.

典例12如图，在平面直角坐标系中，过原点的一条直线分别与反比例函数y--|（%<0）和反比例函数

产;（尤>°）的图象交于A、B两点，且03=204,则左的值为.

类型2求几何图形的面积

典例13（2022春•雨花区校级月考）如图，正比例函数>=质与函数y=［的图象交于A,B两点,BC//x

轴，AC〃y轴，则SAABC=.

考点4反比例函数综合题

类型1反比例函数与一次函数的综合

典例14（2021•武汉模拟）将双曲线y=［向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双

曲线与直线-2-左（Z>0）相交于两点，其中一个点的横坐标为〃，另一个点的纵坐标为人，则（。

-1）（8+2）的值为（）

A.-4B.-3C.4D.9

典例15（2022春•海安市期中）平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线y=［（k>2）相交于A,8两

点,其中点A在第一象限.设M（加，1）为双曲线y=5（k>2）上一点，直线AM,3M分别交y轴于C,

D两点，则0C-OD的值为.

类型2反比例与三角形综合

典例16（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数（x>0）的图象上，以。1为一边作等腰直角三角形

类型3反比例与四边形综合

17.（2021•鼓楼区校级模拟）如图，矩形042c的两边落在坐标轴上，反比例函数y=2的图象在第一象限

的分支交AB于点尸，交BC于点E,直线PE交y轴于点交x轴于点R连接AC.则下列结论：

①四边形ADEC为平行四边形；②S四边形ACFP=2左；③若S4CEF=1,S^PBE=4,则％=6；④若3Ap=BP,

则4ZM=。。.其中正确的是—.

第二部分专题理优加练

一.选择题（共7小题）

1.（2020春•江岸区校级月考）如图尸为双曲线y=］上到原点的线段的长度最短的一个点，若NA尸3=45°,

A.2kB.42kC.kD,与女无关的一个确定值

2.（2016•本溪）如图，点A、C为反比例函数y=W（xV0）图象上的点，过点A、C分别作轴，CD

轴，垂足分别为2、D,连接。4、AC,OC,线段。C交A3于点E,点£恰好为0c的中点，当^

3

AEC的面积为&时，左的值为（）

A.4B.6C.-4D.-6

3.（2021秋•渭滨区期末）如图，反比例函数y=9的图象经过A（-1,-2）,则以下说法错误的是（）

A.k=2B.x>Q,y随x的增大而减小C.图象也经过点8（2,1）D.当尤<-1时，y<-2

4.（2021春•南开区校级月考）若点A（xi,-3）,B（尤2,1）,C（月，3）在反比例函数y=―7的图象上,

则XI,XI,X3的大小关系是（）

A.X1<X2<X3B.X3<X1<X2C.X1<X3<X2D.X2<X3<X1

5.某一次函数的图象经过点（1,2）,且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（）

A.y=2x+4B.y=-2x+4C.y=3x+lD.-y=3x-1

6.如图，一次函数丁=妙+〃（机WO）的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,延长80交

AD1

反比例函数图象的另一支于点C,连接AC交x轴于点。，若二=二，则△ABC面积为（）

AC4

7.（2022•临沐县二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线y=-3尤向上平移3个单位，与y轴、x轴分

别交于点A、B,以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC.若反比例函数y=1（尤＞0）

的图象经过点C,则上的值为（）

二.填空题（共8小题）

8.（2020•江夏区模拟）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（1,3）,则另

一个交点坐标是.

9.（2021秋•三明期末）如图，点A,2为反比例函数（尤＞0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线,

垂足为C,AC与OB交于点。，OD=^OB.若△OC。的面积为2,则上的值为.

10.（2020秋•乳山市期末）反比例函数y=®和y=?在第一象限的图象如图所示.点A,B分别在y=|和y=《

的图象上，AB〃y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为.

11.（2020秋•温江区校级期末）如图，点A是反比例函数y=5（左>0）图象位于第一象限内的一支上的点,

OB

过点A作轴于点5过点5作3。〃。4交双曲线于点C,连接AC并延长，交x轴于点。，则武=

BD

12.（2021•锡山区模拟）如图，在团A3CZ）中，点B在y轴上，过原点，且Sa4BCD=15,A、C、。三点

在反比例函数y=1（女#0）的图象上，则上=—.

13.（2021•闽侯县模拟）已知过原点。的直线与双曲线>=（在一三象限分别交于A,8两点，点C在x轴

1

上，且NACB=90°,tan/ABC=W，则△ABC的面积为.

14.如图，反比例函数山=（的图象与一次函数>2=尤+2的图象交于48两点.当x满足时，yi<y2.

15.（2021•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线y=-x+>交反比例函数（x

JJX

>0）的图象于点A,B（点A在8的左上方），分别交无轴，y轴于点C,D,无轴于点E,交OB

1

于点F.若图中四边形BCEF与AAO尸的面积差为一，则△ABb与AOEF的面积差为.

2-----

三.解答题（共1小题）

16.（2021秋•成华区期末）如图1,直线y=-x+4&与x,y轴的交点分别为点A,B,与反比例函数产1（》

>0）的图象的两交点分别为点C,。，点M是反比例函数上一动点.

（1）求△OCD的面积；

（2）是否存在点使得△ODMs^OAD?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E,F,是否存在点使得矩形OEMF与

23

的重叠部分的面积s等于一？若存在，请求出点加的坐标；若不存在，请说明理由.

6

图1备用图

专题18反比例函数核心考点分类突破（解析版）

笫一部分寓用倒折

考点一分比例函数的图像和性质

类型1比较函数值的大小

典例1（2022春•上蔡县期中）已知双曲线产右（左<0）,过点（1,yi）,（3,*）,（-2,

”），则下列结论正确的是（）

A.y\<yi<y3B.yi<y\<yiC.y2<y3<jiD.yi<yi<yx

思路引领：根据k的符号确定反比例函数图象所在的象限，根据反比例函数的性质即可

得出答案.

解：'：k<0,

...反比例函数y=[a<0）的图象在第二、四象限，

•.•反比例函数的图象过点（1,尹）、（3,”）、（-2,*）,

・••点（1,yi）、（3,>2）在第四象限，（-2,”）在第二象限，

1•yiVy2V0,”>0,

Ayi<y2<y3.

故选：A.

总结提升：本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，注意：当ZV0时，反比例函数

y=>k<0）的图象在第二、四象限，在每个象限内y随X的增大而增大.

典例2（2022秋•惠城区校级期末）已知点A（3,VI）,8（-6,”），C（-5,*）都在反

比例函数y=金的图象上，则（）

A._yi<j2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.yi<y\<y3

思路引领：根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象

限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可.

解：：反比例函数y=]中，笈=4>0,

反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随尤的增大而减小，

:点A（3,yi）,8（-6,”），C（-5,”）都在反比例函数y=（的图象上，

.•"、C在第三象限内，A在第一象限内，

•*.yi>0,2Vo

故选：B.

10/44

总结提升：本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此

题的关键.

①y随x的增大而减小；②点（6,-6）一定在函数y=kx+6的图象上；

③当x>3时，y>0；④当x<2时，*-l）x+b<0.其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

思路引领：根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可.

解：由题意得，当x=l时，y=4,当x=0时，y=6,

解得：仁=[2,

3=6

函数解析式为：y=-2x+6,

①,仁-2<0,

随x的增大而减小，正确；

②当尤=6时，y=-2x6+6=-6,

.,.点（6,-6）一定在函数y=Ax+b的图象上，正确；

③由表格得出当x>3时，y<0,故错误；

④由表格得出当无<2时，kx+b>x,

（^-1）x+b>0,故错误；

故选：C.

总结提升：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的

解析式等知识点的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键.

11/44

类型3由性质逆推函数解析式

典例4(2022•泰州)已知点(-3,中)、(-1,”)、(1,*)在下列某一函数图象上，且

yi<y\<yi,那么这个函数是()

A.y=3尤B.y=3/C.y=[D.y=

思路引领：根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断*,yi,工

之间的关系，再判断即可.

解：A.y=3x,因为3>0,所以y随x的增大而增大，所以不符合题意；

B.y=3x2,当x=l和尤=-1时，y相等，即>3="，故不符合题意；

C.y=当x<0时，y随X的增大而减小，x>0时，y随x的增大而减小，所以y2<yi

<yi,不符合题意；

D.y=-|,当x<0时，y随x的增大而增大，尤>。时，y随x的增大而增大，所以*

<yi<yi,符合题意；

故选：D.

总结提升：本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握

相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断y的大小.

考点二反比例函数图像上点的坐标的特征

类型1求比例系数k的值

典例5(2022•南通)平面直角坐标系xOy中，己知点A(m,6m),B(3m,2")，C(-3m,

-2n)是函数y=5(厚0)图象上的三点.若SAABC=2,则左的值为.

思路引领：连接04,作AOLx轴于。，BE,无轴于E,由2、C点的坐标可知2、C关

于原点对称，则BO=C。，即可求得SAAOB=1,根据反比例函数系数上的几何意义得出

11

SAA08=S梯形ADEB+S/kAOO-梯形AOE小即可得出鼻|6"+2闵・|3加-列=1,求得m2=

由于k=6川，即可求得上

4,

解：如图，连接。A,作轴于£>,轴于E,

k

:点ACm,6m),B(3m,2”)，C(-3m,-2«)是函数(厚0)图象上的三点.

,・k=6m=6m/i,

••n~~irif

'.B(3m,2m),C(-3m,-2m),

・・・3、。关于原点对称，

:・BO=CO,

VSAABC=2,

12/44

••S>AOB=1,

,**S^,AOB=S梯形-S^BOE=S梯形A£)E3,

|6m+2m|*|3m-m\=lf

・•・2in_—19

1

\'k=6xQ,

o

k=垓，

总结提升：本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数4的几何意义，三角形的面

积，求得AAOB的面积为1是解题的关键.

典例6（2022•堇B州区校级一模）如图，点A、8在反比例函数y=[（x>0）的图象上，延长

AB交尤轴于C点，若AAOC的面积是24,且点8是AC的中点，则上的值为（）

思路引领:先根据B是AC的中点，表示出ABOC的面积，再利用上的几何意义表示出A4OH

和"OG的面积，即可得出AAHC和ABGC的面积，易证△AHCs/XBGC,根据面积的比

等于相似比的平方，列方程即可求出上的值.

解：连接08,过点A作AHLx轴于点”，过点8作GBLx轴于点G,如图所示：

13/44

HG

•・・3是AC的中点,

・_1_1_

,•^ABOC=2s△/℃=2x24=12,

根据女的几何意义，

SLAOH-S^BOG=qk,

.i

••S^AHC=S^AOC~SLAOH=24—2kj

1

SABGC=S^BOC~SLBOG~12—qk,

ZAHC=ZBGC=90°,

/ACH=/BCG,

：.△AHCS^BGC,

•・・3是AC的中点,

・••相似比为1：2,

・•・面积的比为1：4,

即S.GC:S/^AHC=1:4,

•I(12—]/c)：(24—qk)=1：4,

解得Z=16.

故选：B.

总结提升：本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形

的性质是解决本题的关键.

类型2判断变化趋势

典例7（2022•丹东一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y=|（尤＞0）上的一

x轴于点B,点A运动过程中ZkAOB的面积将会（）

B.逐渐减小

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C.先增大后减小D.不变

思路引领：比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，

这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是:川，且保持不变，所以点A运动过

1

程中△A03的面积将会不变，都是3=1.5,据此解答即可.

解：根据反比例函数系数左的几何意义，可得

点A运动过程中zkAOB的面积将会不变，

1

LAOB的面积为：-x3=1.5.

2

故选：D.

总结提升：此题主要考查了反比例函数系数上的几何意义的应用，解答此题的关键是要

明确：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所

构成的三角形的面积是:礼且保持不变.

类型3求几何图形的面积

典例8(2022•如皋市模拟)如图，点A为函数y=9(x>0)图象上一点，连接04交函数

1

y=^(x>0)的图象于点3,点C是尤轴上一点，且A0=AC,贝的面积为.

思路引领：根据题意可以分别设点A、点8的坐标，根据点。、A、8在同一条直线上可

以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A横坐标的两倍，

从而可以得到AABC的面积

解：

41

设点A的坐标为(。，一)，点8的坐标为(6,-)

ab

:点C是x轴上一点，且AO=AC

.♦.点C的坐标为(2a,0)

4

设过点0、点A的解析式为则一=ka

15/44

•・•直线3的解析式为：y^X

又：点8在直线OA上，

14

=±2(负值不合题意，舍去)

b

1411

..S"BC=S“"-SAOBC=2X2ax12x2ax万=4-2=2

故答案为：2

总结提升：此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.通过一次函数，三角形面积

的计算，突出考查的目的.

类型4求点的坐标或字母的值

典例9(2022春•宝应县期末)如图，点A和点E(2,1)是反比例函数(x>0)图象

上的两点，点B在反比例函数(x<0)的图象上，分别过点A、B作y较的垂线，

垂足分别为点C、D,AC^BD,连接AB交y轴于点尺

(1)求公

(2)设点A的横坐标为。，点尸的纵坐标为相，求证：am=-2.

(3)连接CE、DE,当NCED=90。时，求A的坐标.

思路引领：(1)将点E的坐标代入反比例函数y=](尤>0),即可得出答案；

(2)首先表示出A,B的坐标，再利用ASA证明AAC/之△BZW,得CF=DF,从而得

出厂的纵坐标；

8.____________2

(3)根据NCED=90。，得CD=2EF,则一=2722+(1-m)2,由(2)知，一=-m,

aa

16/44

代入解关于根的方程即可.

(1)解：：点E(2,1)是反比例函数y=((x>0)图象上的点,

••k~~1x2=2；

(2)证明：•・,点A的横坐标为〃，

2

・••点A的纵坐标为一，

a

'：AC=BDf

••B(~af——■),

a

■:AC//BD,

：.ZCAF=ZDBF,ZACF=ZBDF,

'：AC=BDf

：.AACF^ABDF(ASA),

，CF=DF,

,2

・・m=—,

a

••am=-2；

(3)解：,：ZCED=90°,CF=DF,

:・CD=2EF,

8.-------------------

A-=2J22+(l-m)2,

a

2

由(2)知，—=—m,

a

-4m=2^/22+(1—m)2,

解得m=l或_|，

当m=l时，a=-2(舍去)，

当m=—'时,a=I，

总结提升：本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，

全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键.

典例10（2022春•新吴区期末）如图，点A、。分别在函数y=-1,y=|的图象上，点、B、

C在x轴上，若四边形48co为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为.

17/44

思路引领：设点8(6,0),点CQ,0)利用反比例函数图象上点的坐标特征表示A3、

BC、CD,再根据正方形的性质求出b的值即可.

解：设点8(b,0),点C(a,0),

..•点A在反比例函数y=—1的图象上，

.•.点A。，-1),BPOB=-b,AB=-p

..•点C在反比例函数尸，的图象上，

3?

・・・点。(〃，-),BPOC=a,C£>=-,

aa

又是正方形，

：.AB=BC=CD,

即一方b=a-ab=

解得a=9，b=

.,.点A(-1,2),

故答案为：(—：,2).

总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函

数图象上点的坐标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点3,点C坐标，分

别表示出正方形的边长是解决问题的关键..

考点3反比例系数的几何意义

类型1求反比例系数

典例11(2021•宝应县一模)如图，团ABC。的顶点A、B在x轴上，顶点。在y轴上，顶点

C在第一象限，反比例函数y=[(x>0)的分支过点C,若团ABC。的面积为3,则仁.

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思路引领：过C作CE_LA5,通过说明△。。4也△CEB,可得矩形ODCE的面积等于平

行四边形A8CD的面积，设出点。的坐标，用坐标表示出线段CE,0E,结论可求.

解：如图，过点C作CELA3于连接0C,

：.AB<E=3.

•・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC.

：.ZDAO=ZCBA,

VDOXAO,CELAB,

：.ZDOA=ZCEB=90°.

:•△DOAWACEB(A4S).

••Sis.ODA=Sis.CEB•

•*»S矩形DOEC=S平行四边形A5CO=3・

：・OE・CE=3.

设C(〃，b),

・・・c在第一象限，

.•・〃>(),b>0.

：・OE=a,CE=b.

OE*CE=ab=3,

••k--ub~~3.

19/44

故答案为：3.

总结提升：本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数的图象上的点

的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质.用点的坐标表示相应线

段的长度是解题的关键.

典例12如图，在平面直角坐标系中，过原点的一条直线分别与反比例函数＞=（x＜0）

L-

和反比例函数y=*（无＞0）的图象交于A、8两点，且。8=2。4,则上的值为.

思路引领：过点A作ACLx轴于点C,过点2作BOLx轴于点。，则可证出△AOCs4

2。。，根据相似三角形的性质结合反比例函数系数上的几何意义即可求出左值，再根据

反比例函数y=［（尤＞0）的图象在第四象限，可确定左值，此题得解.

解：过点A作轴于点C,过点B作2。，彳轴于点£＞,如图所示.

：AC_Lx轴，8O_L无轴，

ZACO=ZBDO=90°.

又：ZAOC=ZBOD,

：.△—△BOD,

.SAB0D，BO、2.lfel.

..----------=(-)z=4,即an一=4,

S&AOCAO1

.\k=±4.

:反比例函数y=［（尤＞0）的图象在第四象限,

:・k=-4.

总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质以

20/44

及反比例函数系数k的几何意义，根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何

意义求出左值是解题的关键.

类型2求几何图形的面积

典例13（2022春•雨花区校级月考）如图，正比例函数y=fcc与函数y=g的图象交于A,B

两点，轴，轴，则SAABC=.

思路引领：先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定2点坐标，

于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式进行计算.

解：设A点坐标为（m,—）,则8点坐标为（-根，-三）,

m血

；.C点坐标为（m,一2），

m

P

：.AC=BC=2m,

m

118

AAABC的面积=^AC*BC=—=8.

乙Am

故答案为：8.

总结提升：本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、B.C

的坐标是解题的关键.

考点4反比例函数综合题

类型1反比例函数与一次函数的综合

典例14（2021•武汉模拟）将双曲线y=，向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度，

得到的新双曲线与直线》=依-2-左（左＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为°,另

一个点的纵坐标为"则（a-1）（6+2）的值为（）

A.-4B.-3C.4D.9

思路引领：由于一次函数y=丘-2-太过定点尸（1,-2）,P（1,-2）恰好是原点（0,

0）向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，双曲线向右平移

1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线＞=依-2-左晨＞0）

相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐

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标之间的关系求出答案.

解：•.,一次函数y=Ax-2-左(左>0),

.,.当尤=1时，y=-2,

,一次函数的图象过定点尸(1,-2),

,:P(1,-2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长

度得到的，

.•.将双曲线y=1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与

直线>=后-2-左(左>0)相交于两点，

33

.••在平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为Q-1,——)，(―,

a-lb+2

。+2),

•i_3

•■a~1=~b+2'

：.(a-l)(b+2)=-3,

故选：B.

总结提升：本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应

的两点关于原点对称是解决问题的关键.

典例15(2022春•海安市期中)平面直角坐标系尤Oy中，直线y=2尤与双曲线y=点(k>2)相

交于A,B两点，其中点A在第一象限.设M(机，1)为双曲线y=/(k>2)上一点，直

线AM,BM分别交y轴于C,D两点，则OC-OD的值为.

思路引领：设A(a,2a),则B(-a,-2a),分别待定系数法求出AM和8M的解析式，

进一步求出C和。点坐标，即可求0C-。。的值.

解：根据题意，设A(a,2a),则2(-tz,-2a),

,：M(m,1),

设AM的解析式为y=nx+b(/0),

代入A,M点坐标，得产：)=2a,

Vmn+b=1

2d—1

n=----

解得a—m

7a—2amf

b=------

a—m

■■AM的解析式为y=美/+党黑,

a-2am

：.C(0,-------),

a-m

a—2am

・•・OC=

a-m

设BM的解析式为y=cx+d(今0),

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代入8,M点坐标，得厂ac+d=12a

tcm+a=1

l+2a

c=

解得m+a

a—lam'

d=

m+a

1+2。.a—2am

・・・3M的解析式为y=

m+a-x+m+a

a-2am

：.D(0,----------),

m+a

•八八a—2a?72

=：,

••ODm+a

VA,M都在反比例函数图象上,

••YYl~—2。2,

a—2am+a—2am2/—4。2

：.OC-OD=7n=2,

a—mm+a~a2-m2

故答案为：2.

总结提升：本题考查了反比例函数图象上的点坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式

是解题的关键.

类型2反比例与三角形综合

典例16（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y=（（x>0）的图象上，以OA为一边作等

腰直角三角形OAB,其中/。48=90。，AO=AB,则线段OB长的最小值是（）

B.V2C.2V2D.4

思路引领：根据三角形。43是等腰直角三角形，当08最小时，04最小，再根据两点

间的距离公式解答即可.

解：・・•三角形OA8是等腰直角三角形,

・••当03最小时，0A最小,

2

设A点坐标为（a,—）,

a

：.OA=

7

.•XT>0,

23/44

r4

即：次-|———4K）,

aL

4

**•a2—5之4,

aL

;（a+>o,

两边同时开平方得：a—1=0,

当。=（时，0A有最小值，

解得。1=鱼，a2——V2（舍去），

点坐标为（或，V2）,

：.OA=2,

•.•三角形048是等腰直角三角形，。8为斜边，

：.OB=V2OA=2V2.

故选：C.

总结提升：本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

类型3反比例与四边形综合

17.（2021•鼓楼区校级模拟）如图，矩形0ABe的两边落在坐标轴上，反比例函数y=5的

图象在第一象限的分支交AB于点P,交BC于点E,直线PE交y轴于点交x轴于

点、F,连接AC.则下列结论：

①四边形ADEC为平行四边形；②S四边形ACFP=2A；③若SACEF=T,SAPBE=4,则左=6；

④若3Ap=BP,贝!1404=00.

其中正确的是—.

kk

思路引领：设点5的坐标为（b,a）,得到尸（一，a）,E（b,利用待定系数法求出

ab

（~t“_kk

直线PE的解析式为尸一叙+t+a,再求出尸（一+6,0）,Pa）,从而证出AP=

CF,所以四边形0ABC是矩形，证得四边形ACFP是平行四边形，所以S四边形ACFP=

CF,OA吟a=k,故②错误；由AC〃。人0A////BC,可证得四边形ADEC是平行四边

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上21””

形，故①正确；先由SACE尸=1,判断出y=2,再由SAPBE=4,得出；；（b-片）•（a-万）=

ab2a。

4,可求出％=6,判断出③正确；由3Ap=BP,判断出仍=4%，再求出点。坐标，即可

判断出④错误；即可得出结论.

解：设点8的坐标为（b,a）,

•••四边形ABC。为矩形，

AA（0,a）,C（b,0）,

•.•点P,E在反比例函数图形上，

kk

:・P（一,a）,E（b,一）,

ab

：・直线PE1的解析式为y=-京

令y=0,代入得，x=-+b,

k

：.F（一+b,0）,

a

：.CF=-+b-b=

aa

k

VP（—,a）,

a

•・A»nAP=k-

af

：.AP=CF,

・・•四