专题训练：数列综合运用大题-人教版高二《数学》知识点同步讲与练

专题训练：数列综合运用大题1．（2022·江苏·盐城市第一中学高二阶段练习）有下列3个条件：①；②；③，，成等比数列.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答问题：设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）的最小值并指明相应的的值．【答案】（1）；（2）=5或者6时，取到最小值.【解析】（1）因为,所以，即是公差为2的等差数列，选择条件①：因为，所以，则，解得，所以；选择条件②：因为，所以，解得，所以；选择条件③：因为，，成等比数列，所以，即，解得，所以；（2）由（1）可知，，所以，因为，所以当或者6时，取到最小值，即2．（2022·江苏·星海实验中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，___________，.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.①；②；③注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求数列的通项公式；（2）记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）选择①，由知，当时，，由，得，即，当时，，解得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故.选择②，由知，当时，由，得，在中，令，则，满足上式，所以，即.选择③，由知，当时，由，得，在中，令，则，满足上式，所以.（2）由（1）知，，所以，所以数列的前项和为，对于任意的，，所以，即.设所以恒成立，即，所以单调递减，所以，于是有，故实数的取值范围为.3．（2022·福建·莆田第二十五中学高二阶段练习）从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，___________.（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】（1）若选择①，因为，所以，两式相减得，整理得,即，所以为常数列，而，所以；若选择②，因为，所以，两式相减，得，因为，所以是等差数列，所以；若选择③，由变形得，，所以，由题意知，所以，所以为等差数列，又，所以，又时，也满足上式，所以；（2）若选择①或②，，所以所以，两式相减得，则，故要使得，即，整理得，，当时，，所以不存在，使得.若选择③，依题意，，所以，故，两式相减得：，则，令，则，即，令，则，当时，，又，故，综上，使得成立的最小正整数的值为5.4．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）①为等差数列，且；②为等比数列，且.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在数列中，，________.（1）求的通项公式；（2）已知的前n项和为，试问是否存在正整数p，q，r，使得？若存在，求p，q，r的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，，，﹒【解析】（1）若选①：设等差数列的公差为d，则，∴，即．若选②：设等比数列的公比为q，则，∴，即；（2），，则两式相减得，，∴．∵，∴存在正整数p，q，r，使得，且，，．5．（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）已知数列，其中前项和为，且满足，．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式及其前项和．【答案】（1）证明见解析；（2），，．【解析】（1）证明：由题意，两边同时加3，可得，，数列是以8为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）可得，则，，故．6．（2021·广西·钟山中学高二阶段练习）已知数列为等比数列，，，，.（1）求数列､的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）设数列的公比为，则，所以，所以，所以；（2），所以.7．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由，取可得，又，所以，则.当时，由条件可得，两式相减可得，，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，因为，设等差数列的公差为，则，由成等比数列，所以，又，所以解得，故，（2），，.相减得，所以，所以所以.8．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二阶段练习（文））已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为成等比数列，所以，解得或（舍去）.故.（2）由（1）可得，故9．（2022·陕西·长安一中高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，，常数，且对一切正整数都成立.（1）求数列的通项公式；（2）设，，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）取，得，，，则，当时，，，上述两个式子相减得：，所以数列是等比数列,当，则.（2）当，且时，令，所以，所以，单调递减的等差数列（公差为）则当时，故数列的前6项的和最大.10．（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知为等差数列的前项和，若，．（1）求；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）＝；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，解得，故；（2）因为，所以，故.11．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知数列中，，（，），数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）求数列中的最大项和最小项，并说明理由．【答案】（1）；（2）；（3），，理由见解析【解析】（1）证明：，又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．∴.（2）由，得，即时，；时，，∴.（3）由，得又函数在和上均是单调递减．由函数的图象，可得：，.12．（2022·山西省浑源中学高二阶段练习）表示等差数列的前项的和，且，.（1）求数列的通项及；（2）求和【答案】（1），；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，由可得，因为，解得，所以，，.（2），当且时，；当且时，.综上所述，.13．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知等差数列的前n项和为，．（1）求的通项公式；（2）设数列满足，记数列的前项和为，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即；又因为，取，所以，即；故可得．故的通项公式为.（2）由，当时，，上述两式作差可得，又满足上式，综上；所以．当n为偶数时….∴．当n为奇数时，∴．故．14．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列是首项为4的单调递增数列，满足（1）求证：；（2）设数列满足，数列前㑔和，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：由题意得，，即，即，∵数列是首项为4的单调递增数列，，∴（2）由（1）得，即，即，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，故，则，∴15．（2022·陕西·白水县白水中学高二阶段练习）在数列中，，当时，其前n项和满足．（1）求证：是等差数列；（2）设，求的前n项和．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：∵当时，，，即：，又数列是以为首项，为公差的等差数列（2）由（1）知：∴16．（2022·山东潍坊·高二阶段练习）设数列的前n项和为，且满足．（1）求；（2）设求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，当时，因为，所以，得，所以数列为首项为3，公比为3的等比数列，得；（2），当n为偶数时，，当n为奇数时，，所以17．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知数列满足.（1）证明：数列为等比数列.（2）已知，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：当时，，则.因为，①所以，②由②①得，化简可得，，所以数列是一个公比为的等比数列.（2）由（1）可知，化简可得..所以.18．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，且，，（1）求数列的通项公式：（2）若数列满足，，求数列的前n项和为．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，，则，解得，所以；（2）因为，当时，即，当时，所以，即，当时也成立，所以，所以，，所以，所以.19．（2021·河北·邢台一中高二阶段练习）等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.（2）记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列?若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）由题意可知，有两种组合满足条件.①，此时等差数列中，，公差d=4，所以数列的通项公式为②，此时等差数列中，，公差d=2，所以数列的通项公式为.（2）若选择①，，则.若成等比数列，则，即，整理得，即此方程无正整数解，故不存在正整数，使成等比数列.若选择②，，则.若成等比数列，则，即，整理得，因为k为正整数，所以.故存在正整数，使得成等比数列.20．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知数列是公差不为的等差数列，且数列是等比数列，其中，，.（1）求；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知可得，则，，所以，，则，所以，，，则数列的公比为，所以，，所以，，所以，.（2），则，因此，.21．（2022·湖北·十堰东风高级中学高二阶段练习）数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1），；（2）或【解析】（1）当，，①，，②①－②得（*）在①中令，得，也满足（*），所以，，（2）由（1）知，，故，于是，因为随n的增大而增大，所以，解得或所以实数m的取值范围是或.22．（2021·河北保定·高二阶段练习）已知数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式.（2）令，，为数列的前n项和，求.（3）记.是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【解析】（1）当时，有，解得当时，由，得，两式相减得，整理得，所以是首项为1，公比为3的等比数列，故；（2）因为，所以，，所以；（3）因为，所以，由，得，即，进一步化简得.当n为奇数时，恒成立，因为是增函数，所以；当n为偶数时，恒成立，同理，所以故且，即存在实数，使得对任意的，恒有.23．（2021·湖南·周南中学高二阶段练习）已知数列中，，（），为数列的前n项和.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和；（3）在，之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析.【解析】（1）当时，，所以；又，所以对，有，故数列是1为首项3为公比的等比数列，通项公式为.（2）由（1）知，…①…②①−②得：，∴.（3）在数列不存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.理由如下：由已知得假设在数列中存在，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则，即，化简得，又因为m，k，p成等差数列，所以，故上式可以化简为，则，与已知矛盾.故在数列中不存在3项，,,（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.24．（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）数列的前n项和为，，，当时，，则，而当时，，即得，因此，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则，所以数列的通项公式是：（2）由（1）知，，对任意恒成立设，则，当，，单调递减，当，，单调递增，显然有，则当时，取得最大值，即最大值是，因此，，所以实数k的取值范围是25．（2022·山东·兰陵四中高二阶段练习）已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列.（2）设数列的前项和为，求，并求满足的的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为数列满足，，所以，因为，所以所以，数列为等差数列，公差为，首项为.（2）由（1）知，所以，所以，，，所以，，所以，，所以，解得，.所以，满足的的最大值为26．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知数列中，，当时，，记．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意得，所以，即．当时，．当时，也符合．综上，．（2）证明：由（1）得，当时；当时，，故当时，．综上，．27．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，，可得，即，解得或（舍去），所以数列的通项公式为.（2）由，可得因为与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，可得，所以，所以，设数列的前项和为，可得，则，两式相减，所以，因为，所以，所以，即.28．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且.（1）求与；（2）证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】（1）设数列的公差为d，因为，所以，解得或（舍），故，.（2）因为，所以.故，因为，所以，所以，所以，即.29．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项和